陳 磊，肖 進(jìn)，趙 宇，杜文漢

（常州工學(xué)院 電氣與光電工程學(xué)院，江蘇 常州 213002）

雙kicked棘輪模型中粒子香農(nóng)熵演化的研究

陳 磊，肖 進(jìn)，趙 宇，杜文漢

（常州工學(xué)院 電氣與光電工程學(xué)院，江蘇 常州 213002）

Delta-kicked模型是可以實(shí)現(xiàn)棘輪效應(yīng)的哈密頓型量子模型。在雙kicked型棘輪模型中，2個頻率不同的閃爍勢交替作用于1個具有均勻零動量初態(tài)的粒子，在量子共振被激發(fā)的條件下，模型中便出現(xiàn)棘輪效應(yīng)。在不同的量子共振下，粒子香農(nóng)熵演化出現(xiàn)了不同的規(guī)律。研究表明從香農(nóng)熵演化的角度分析，可以更好地判斷量子共振是否被激發(fā)。

雙kicked棘輪模型；量子共振；香農(nóng)熵

1　雙kicked棘輪模型研究背景

棘輪效應(yīng)是很有趣的現(xiàn)象，它是指在沒有平均定向力的作用下出現(xiàn)了粒子的定向運(yùn)動。這個效應(yīng)源于人們試圖從熱漲落里提取能量做功［1］。棘輪效應(yīng)在許多技術(shù)和器件領(lǐng)域里都有著重要的潛在應(yīng)用價(jià)值，例如整流器、電子泵、分子開關(guān)、粒子分離器件以及其他微觀和介觀輸運(yùn)器件［2］。費(fèi)曼的思維實(shí)驗(yàn)［3］表明，由于熱力學(xué)第二定律的限制，棘輪效應(yīng)不可能出現(xiàn)在熱平衡系統(tǒng)中。因此為了實(shí)現(xiàn)棘輪效應(yīng)，就要通過額外的擾動來打破系統(tǒng)的熱平衡狀態(tài)。另外，系統(tǒng)的對稱性會阻止定向粒子流的出現(xiàn)，所以系統(tǒng)的對稱性也要被破壞［4-5］。滿足條件的棘輪模型有很多種類型，早期的棘輪模型中噪聲是必要因素，后來陸續(xù)出現(xiàn)了許多不含噪聲的棘輪模型，如耗散混沌動力學(xué)型棘輪模型、純哈密頓型棘輪模型。

棘輪效應(yīng)在量子領(lǐng)域同樣存在。例如利用光晶格可以很容易地在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)量子勢（quantum delta-kicked勢，QDK勢），基于QDK勢的量子棘輪模型已經(jīng)有所研究［6-7］。在這個模型中，1個雙頻非對稱光晶格周期性地作用于1個粒子。當(dāng)量子共振發(fā)生時（有效普朗克常數(shù)取一些特殊值），可以出現(xiàn)定向的粒子流動，即棘輪效應(yīng)。此外，利用2個單頻的閃爍勢周期性交替作用于具有對稱初態(tài)的粒子也可以實(shí)現(xiàn)棘輪效應(yīng)［8］。這個模型就是雙kicked模型。熵是對系統(tǒng)混亂度（無序度）的度量。通常系統(tǒng)在演化時，其熵值總是要增加的，這就是著名的熵增加原理。在研究雙kicked模型中粒子在波數(shù)空間中的香農(nóng)熵演化規(guī)律時，我們發(fā)現(xiàn)粒子香農(nóng)熵的演化特征，與量子共振是否被激發(fā)以及棘輪效應(yīng)是否出現(xiàn)有著密切的聯(lián)系。以下介紹了幾種不同的量子共振條件下，粒子香農(nóng)熵演化的具體規(guī)律，并給出了相應(yīng)的理論解釋。

2　粒子香農(nóng)熵演化的具體規(guī)律

雙kicked棘輪模型的含義：原先的雙頻棘輪勢sin （x）+αsin（2x）被替換為2個單頻勢sin（x）和sin（2x），這2個勢交替作用于粒子。該模型中粒子遵從的薛定諤方程為：

在雙kicked模型中，系統(tǒng)的時間周期變?yōu)樵鹊腝DK模型［6］時間周期的2倍。粒子態(tài)矢量的演化過程可以描述為：

這里

理論上求和指標(biāo)i是有無窮多個的，但在實(shí)際計(jì)算中取有限項(xiàng)，只要求和項(xiàng)的數(shù)目大到一定程度即可。在實(shí)際計(jì)算中我們還會用n替換t，只計(jì)算在一些離散的時刻粒子香農(nóng)熵的值，并進(jìn)而分析粒子香農(nóng)熵演化的規(guī)律。另外粒子的初態(tài)設(shè)為零動量態(tài)。

圖1　雙kicked模型中粒子的與S隨時間演化的曲線

圖2　4種量子共振被激發(fā)的條件下，雙kicked模型中粒子的與S隨時間演化的曲線

3　結(jié)論

本文對雙kicked模型中粒子香農(nóng)熵的演化進(jìn)行了描述和分析。在這個模型中，2個閃爍勢以等時間間隔的形式交替作用于初態(tài)為零動量態(tài)的粒子。在量子共振被激發(fā)的條件下，棘輪效應(yīng)出現(xiàn)，同時粒子香農(nóng)熵的演化比較劇烈。通過對幾種不同的量子共振條件下，棘輪效應(yīng)的特征以及粒子香農(nóng)熵演化特征的分析，我們發(fā)現(xiàn)相對于從棘輪效應(yīng)是否發(fā)生的角度分析，從粒子香農(nóng)熵演化的角度，可以更全面地對量子共振是否被激發(fā)進(jìn)行判斷。

［1］ VON SMOLUCHOWSKI M.,Experimentell nachweisbare,der üblichen Thermodynamik widersprechende Molekular ph？nomene［J］.Physik.Zeitschr. 1912,（13）：1069-1080.

［2］ H？GGI P.,MARCHESONI F.,Artificial Brownian motors：Controlling transport on the nanoscale［J］.Rev.Modern Phys.2009,（81）：387-443.

［3］ FEYNMAN R.P.,LEIGHTON R.B.,SANDS M.,The Feynman Lectures on Physics（Vol.I）［M］,Addison-Wesley,Reading,MA,1966,pp.46.1-46.9 （Chapter 46）.

［4］ FLACH S.,YEVTUSHENKO O.,ZOLOTARYUK Y.,Directed current due to broken time-space symmetry［J］,Phys.Rev.Lett.2000,（84）：2358-2361.

［5］ YEVTUSHENKO O.,FLACH S.,ZOLOTARYUK Y.et al.Rectification of current inac-drivennonlinearsystems andsymmetry propertiesof the Boltzmannequation［J］.Europhys.Lett.2001,（54）：141-147.

［6］ LUNDH E.,WALLIN M.,Ratchet Effect for Cold Atoms in an Optical Lattice ［J］.Phys.Rev.Lett.2005,（94）：110603-110606.

［7］ KENFACK A.,GONG J.B.,PATTANAYAK A.K.,Controlling the Ratchet Effect for Cold Atoms［J］.Phys.Rev.Lett.2008,（100）：044104-044107.

［8］ CHEN Lei,XIONG Chao,YUAN Hong-chun,et al.,A delta-kicked model for the quantum ratchet effect［J］.Physica A 2014,（398）：83-85.

［9］ RYU C.,ANDERSEN M.F.,VAZIRI A.,et al.Strongly Correlated States of Ultracold Rotating Dipolar Fermi Gases［J］.Phys.Rev.Lett.2006,（99）：160403-160406.

Study on the Evolution of the Shannon Entropy in the Double Kicked Ratchet Model

CHENLei,XIAOJin,ZHAOYu,DUWen-han
（College ofElectrical And Optical Engineering,Changzhou Institute ofTechnology,Changzhou 213002,China）

The Delta-kicked model is a Hamiltonian model of the ratchet effect.In the double ratchet ratchet model,two different frequencies of the flashing potential alternately with a uniform zero momentum initial state of particles in a，excited in the quantum resonance conditions，model appeared ratchet effect.Under different quantum resonances,the evolution of the Shannon entropy of the particles has different rules.The study shows that the quantumresonance is excited bythe analysis ofthe Shannon entropyevolution.

Double kicked ratchet model；Quantumresonance；Shannon entropy

TP211+.6

A

1674-8646（2015）12-0006-03

2015-08-17

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：11247323、11447002）

陳磊（1982-），男，安徽六安人，博士，講師，主要從事量子信息與薄膜太陽能電池研究。