李新華，周緒波

（中南林業(yè)科技大學 機電工程學院，長沙 410000）

0 引言

相似理論是結(jié)構(gòu)模型試驗研究中，指導(dǎo)試驗?zāi)Ｐ徒：颓蠼獾睦碚摶A(chǔ) 。將相似理論與有限元的數(shù)值模擬仿真技術(shù)結(jié)合在一起運用到工程分析中已成為一種普遍且實效的路徑[1]。

1 相似理論

相似理論經(jīng)過不斷的修改和完善，已是相當成熟，其理論基礎(chǔ)被確立相似三定理。

1）相似第一定理：現(xiàn)象彼此相似，兩者單值條件相同，則相似準則的數(shù)值比值為1[2]。

2）相似第二定理：當任意一個物理現(xiàn)象包含N個物理量，且這些物理量中含有K個基本量，則這N個物理量可以由相似準則π1，…… ，πN-K之間的函數(shù)關(guān)系來表示。

對于任一現(xiàn)象的物理方程可以表示為：

根據(jù)相似第二定理轉(zhuǎn)化為：

3）相似第三定理：彼此現(xiàn)象的單值條件（系統(tǒng)的幾何條件、介質(zhì)物理性質(zhì)）相似，且由單值條件導(dǎo)出的相似準則在數(shù)值上相等，則現(xiàn)象彼此相似[3]。

相似理論應(yīng)用到模型試驗中的重要作用是確定相似現(xiàn)象中各個對應(yīng)參數(shù)的相似比，而求解相似比通常選用量綱分析法。

2 量綱分析法

2.1 基本概念

量綱：表征物理量按其性質(zhì)不同而劃分的類別，即量綱表示的是物理量的種類[4]。

根據(jù)國際單位制中的七個基本量的量綱，可以推導(dǎo)出其他常見物理量的量綱，如表1所示。

表1 常見導(dǎo)出物理量的量綱

2.2 量綱分析法的優(yōu)勢

在解決實際問題時，多采用三種求解方法：定律分析法、方程分析法和量綱分析法[5]。

1）定律分析法要求對所研究問題涉及到的多個物理規(guī)律有清楚的認識，認清內(nèi)在聯(lián)系。所以對于不同的研究人員對于同一問題的認知以及所考慮的重點不同，便會產(chǎn)生不同的結(jié)果，方法的可靠性和準確性容易受到外界影響。

2）對于方程分析法來說，能解決的問題的基礎(chǔ)是能夠得到問題的數(shù)學模型，但是對于某些問題而言，其數(shù)學模型難以建立或獲取，因此方程分析法的局限性顯而易見。

3）量綱分析法的理論基礎(chǔ)來源于量綱齊次方程的數(shù)學理論。通常來講，用以說明物理現(xiàn)象的方程都是齊次的。同時具有確定的量綱，因此量綱分析法解決實際問題更加方便。具體有關(guān)方面的詳細介紹和應(yīng)用可參考文獻[6，7]。

上述三種方法，經(jīng)過對比可以發(fā)現(xiàn)，量綱分析的適用性以及適用范圍優(yōu)于另外兩種方法。研究同樣采用量綱分析法。

以門式起重機[8]為實例，運用量綱分析推導(dǎo)出門式起重機各個參數(shù)相似比，根據(jù)相似比重新進行建模以及加載，求得的應(yīng)力等參數(shù)與實際進行比較分析，來表明相似理論的應(yīng)用價值與實際研究。

3 相似理論應(yīng)用與研究

實例分析對象為株洲天橋起重機股份有限公司生產(chǎn)的32/10t電動雙梁門式起重機。起重機由兩主梁和兩端梁、兩撓性支腿和兩剛性支腿、小車運行機構(gòu)和大車運行機構(gòu)組成。起重機跨度20m，主梁長41.5m，起升高度為15m。有限元仿真平臺是數(shù)值模擬仿真軟件ANSYS Workbench[9]。

3.1 相似常數(shù)的求解

根據(jù)門式起重機實際工作情況，選取其主要的物理參數(shù)，運用相似理論中的相似第二定理，建立物理相似準則：

選取力，長度，時間為相似模型的基礎(chǔ)量綱。推導(dǎo)出各物理量的量綱矩陣。

表2 各物理量的量綱矩陣

原型與模型在幾何形狀上相似，在材料特性和邊界條件三個方面完全相同，所以選取材料密度ρ、彈性模量E、構(gòu)件長度L為基本量綱。因此可以得知Cρ=ρ/ρm=1，CE=E/Em=1，CL=L/Lm=λ，（C表示起重機原型參數(shù)與模型參數(shù)的相似比，ρ、E 、L、μ表示原型的參數(shù)，ρm、Em、Lm、μm表示模型的參數(shù)，λ表示模型相對于原型縮小的比例）。

根據(jù)上述研究過程中原型與模型參數(shù)的已知比例結(jié)合相似理論，其余參數(shù)的相似常數(shù)（相似比）為：

以此推導(dǎo)出起重機原型參數(shù)與模型參數(shù)的相似比：

3.2 起重機原型有限元分析

原型與各個相似比的建模軟件為NX。分析軟件為ANSYS Workbench，分析得出數(shù)據(jù)匯總到Microsoft Excel，最后結(jié)合Origin繪圖軟件進行曲線繪制。

圖1為起重機原型的有限元模型，起重機原型主梁高度1.85m，寬1.2m，全長41.25m。為避免多變量對研究結(jié)果的影響，采用單一工況。載荷施加在距離剛性支腿側(cè)端梁20.95m處，考慮重力載荷和起重載荷和風載荷的作用，假定起重載20T。有限元模型都采用Tetrahedrons方式進行網(wǎng)格劃分。

圖1 起重機原型有限元模型

起重機原型主梁應(yīng)力分布情況如圖2所示。

圖2 起重機原型主梁架應(yīng)力分布圖

3.3 各個相似比模型有限元分析

研究共采取五個相似比，從λ=10到λ=30，以等差形式Δλ=5分別建模，導(dǎo)入到ANSYS Workbench分析結(jié)果如圖3所示。

圖3 30倍相似比主梁架應(yīng)力分布圖

圖4 25倍相似比主梁架應(yīng)力分布圖

圖5 20倍相似比主梁架應(yīng)力分布圖

圖6 15倍相似比主梁架應(yīng)力分布圖

通過圖2～圖7的對比和對收集到的應(yīng)力數(shù)值進行分析，原型和模型在主梁上等效應(yīng)力的分布規(guī)律是一致的。從這一工況來看，危險區(qū)域發(fā)生在距離剛性支腿側(cè)端梁20.625m處。

圖7 10倍相似比主梁架應(yīng)力分布圖

原型有限元分析中生成2867698個節(jié)點和1597945個單元。各個相似比模型生成的單元數(shù)和節(jié)點數(shù)明顯少于原型，例如30倍相似比的模型生成677860個節(jié)點和304581個單元，10倍相似比的模型生成1016545個節(jié)點和754655個單元。起重機原型需要在計算機工作站上計算時間超過8個小時，而各個相似比模型只需要在普通個人計算機上計算1～3小時。在得到精準結(jié)果的情況下，有限元分析的過程中運用相似理論，大幅度減少了工作量、節(jié)約時間和資源。

3.4 相似比與誤差規(guī)律分析

對于門式起重機在研究和實際工程應(yīng)用過程中，對于主梁架的校核更加著重局部關(guān)鍵位置而不是全部。對于本文研究對象，根據(jù)圖8起重機原型主梁架應(yīng)力曲線，著重考慮圖示三個關(guān)鍵位置。

圖8 起重機原型主梁架應(yīng)力曲線

圖9 起重機有限元分析研究位置示意圖

表3 各個相似比與原型主梁架應(yīng)力值

表4 各個相似比與原型主梁架應(yīng)力相對誤差值

位置1、位置2、位置3分別距起重機主梁架左側(cè)17.1875m、20.625m、24.922m。分別采取設(shè)定的相似比進行建模導(dǎo)入到ANSYS Workbench進行有限元分析，得出各個相似比應(yīng)力值并求出與原型應(yīng)力值的相對誤差。

1）對于正百分比的數(shù)據(jù)，根據(jù)相似模型得出的數(shù)據(jù)大于實際原型數(shù)據(jù)，考慮到校核時都會添加一個安全系數(shù)，因此實際運用中根據(jù)相似模型的應(yīng)力數(shù)據(jù)得出起重機的其他參數(shù)更加滿足實際的要求。若要在實際應(yīng)用中得到更加精準的結(jié)果，可以根據(jù)上圖得到誤差值還原到原型當中去。例如相似比為10倍時，在起重機主梁架20.625m處（即應(yīng)力最大處）的誤差為4%。實際應(yīng)用中，根據(jù)10倍相似比得到的應(yīng)力值減小4%即為原型的應(yīng)力值。

2）對于負百分比的數(shù)據(jù)，根據(jù)相似模型得出的數(shù)據(jù)小于實際原型的數(shù)據(jù)。根據(jù)上圖，三點位置處應(yīng)力誤差可以控制在10%以內(nèi)，在實際運用中要加以校正。同樣若要獲取更加精準的結(jié)果，可以將應(yīng)力值還原到原型當中去。

4 結(jié)論

1）本文采取多個相似比在有限元分析中引入相似理論，在彌補分析不足，克服其局限性的同時,提高分析效率，節(jié)約資源和時間。

2）采用多個相似比建模進行有限元分析，得到應(yīng)力值數(shù)據(jù)，與原型的數(shù)據(jù)匯總。通過對實際工程應(yīng)用中比較重要的三個位置的應(yīng)力數(shù)據(jù)分析，得出各個相似比模型應(yīng)力值與原型的應(yīng)力值十分接近，其數(shù)值誤差滿足實際工程要求。

研究過程中相似倍數(shù)的選取十分重要，不僅影響模型的大小，同樣影響載荷的大小，直接決定結(jié)果的準確性。

以λ代表相似倍數(shù)，根據(jù)相似理論計算，模型所受載荷的大小的相似倍數(shù)變?yōu)棣?。假設(shè)λ取為40，則模型所受力的大小縮小1600倍。

因此相似倍數(shù)不能取值較大或者較小，除載荷會發(fā)生明顯變化外，不利于起重機內(nèi)部微小結(jié)構(gòu)的建模，同樣會對整體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不確定的影響。若是裝配模型，也會影響零件之間的裝配關(guān)系。導(dǎo)入有限元分析軟件時也會發(fā)生結(jié)構(gòu)上的變化，導(dǎo)致不能求解，影響求解結(jié)果的準確性。綜合以上考慮，因此在實際工程應(yīng)用時，優(yōu)先選取低相似比進行求解。

3）通過對數(shù)據(jù)的分析，得出較小相似比在滿足精度的前提下，具有良好的實際應(yīng)用價值。同時證實了在大型結(jié)構(gòu)件的有限元分析中，結(jié)合相似理論，成為一種新的解決途徑。

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