蘇紅芬

幾何最值問題是中考數(shù)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)問題，涉及的內(nèi)容可覆蓋整個(gè)初中平面幾何知識(shí).而很多幾何最值問題往往可以轉(zhuǎn)化為以圓為載體的問題，這類問題集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)于一體，能全方位地考查同學(xué)們的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、解題技巧以及數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)，成為中考試題中的一朵奇葩.本文將結(jié)合2015年湖北武漢中考選擇題最后一題，就圓中的最值問題加以歸類總結(jié)，并通過舉例說明它們的解法.

一、 動(dòng)點(diǎn)在圓上，定點(diǎn)在圓外（內(nèi)）

例1 （2015·湖北武漢）如圖1，△ABC、△EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M.當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值是（ ）.

A. 2- B. +1

C. D. -1

【全面解析】先考慮讓△EFG和△BCA重合，然后把△EFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AD、DG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角相等，旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段相等，容易發(fā)現(xiàn)∠ADG=∠FDC，DA=DG，DF=DC，故∠DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA.又根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可知∠FDG=90°，所以∠DFG+∠DGF=90°，即∠DFC+∠CFG+∠DGF=90°. 所以∠AMC=∠MGF+∠CFG=∠AGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC+∠DGF+∠CFG=90°. 故點(diǎn)M始終在以AC為直徑的圓上，做出該圓，設(shè)圓心為O，連接BO與⊙O相交于點(diǎn)P，線段BP的長(zhǎng)即為線段BM長(zhǎng)的最小值. BP=BO-OP=-1，故選D.

【難點(diǎn)突破】本題發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M始終在以AC為直徑的圓上是解題的重要突破口. 考慮讓△EFG和△BCA重合，然后把△EFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出解題思路是分析有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的重要方法.

【回歸本質(zhì)】①定性分析：動(dòng)點(diǎn)M在圓上，定點(diǎn)B在圓外（內(nèi)），求線段BM最短（最長(zhǎng)）的方法是作定點(diǎn)與圓心的連線.如圖2，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，則BM最小，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，則BM最大.

②定量計(jì)算：邊長(zhǎng)為2的等邊三角形一邊上的中線BO=，故BM長(zhǎng)的最小值BP=BO-OP=-1.

【提煉模型】①當(dāng)點(diǎn)B在⊙O外，在⊙O上取一點(diǎn)M，M在何處，BM有最小值？M在何處，BM有最大值？

②當(dāng)點(diǎn)B在⊙O內(nèi)，情況又怎樣？

答：作定點(diǎn)B與圓心O的連線. 當(dāng)點(diǎn)M在P點(diǎn)時(shí)，BM有最小值；當(dāng)點(diǎn)M在N點(diǎn)時(shí)，BM有最大值.

變式 （2014·江蘇徐州一模）如圖5，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1.點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，寫出線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值.

【全面解析】（1） 理清“變”與“不變”. 如果先抓“變化”的量，△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P既在旋轉(zhuǎn)又在線段AC上運(yùn)動(dòng)，比較難以把握，所以應(yīng)先抓“不變”的量.①點(diǎn)E始終在以定點(diǎn)B為圓心，AB即2為半徑的圓上.②點(diǎn)P始終在線段AC上，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P距定點(diǎn)B的距離最大為6；當(dāng)BP與線段AC垂直時(shí)，點(diǎn)P距定點(diǎn)B的距離最小為BC·sin30°=3，所以無論△ABC繞點(diǎn)B如何旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡始終在以定點(diǎn)B為圓心，3和 6為半徑的兩個(gè)同心圓之間的圓環(huán)上.

（2） 假定E點(diǎn)不動(dòng)，這個(gè)問題可以分解成圓內(nèi)一定點(diǎn)到圓上一動(dòng)點(diǎn)最值問題的基本圖形.

其中，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F處時(shí)，EP1最小，最小值為3-2=1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)K處時(shí)，EP1最大，最大值為6+2=8.

【難點(diǎn)突破】本題發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E始終在以定點(diǎn)B為圓心，AB即2為半徑的圓上以及點(diǎn)P始終在以定點(diǎn)B為圓心，3和6為半徑的兩個(gè)同心圓之間的圓環(huán)上是解題的關(guān)鍵.

二、 動(dòng)點(diǎn)在直線上，定點(diǎn)在直線外

例2 （2014·云南）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCO的頂點(diǎn)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4），點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-5），點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R>0）為半徑長(zhǎng)畫圓，得到的圓稱為動(dòng)圓P. 若設(shè)動(dòng)圓P的半徑長(zhǎng)為AC，過點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F. 請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中，是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請(qǐng)求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【全面解析】（1） 轉(zhuǎn)化的思想.

①S四邊形DEPF=2S△DPE=DE·PE=DE·

=；

②四邊形DEPF的面積要最小，只要DP最小，當(dāng)DP⊥AC時(shí)最小，此時(shí)DP=9sin∠DCP=，四邊形DEPF的面積的最小值為.

（2） 函數(shù)思想建立四邊形面積與線段DP的函數(shù)，利用函數(shù)增減性確定P點(diǎn)的位置.

【難點(diǎn)突破】圓心P作為動(dòng)點(diǎn)在直線AC上，定點(diǎn)D在直線AC外，根據(jù)垂線段最短原理即可解決.

變式 如圖10，平面直角坐標(biāo)系中，A（-4，0），B（0，4），C（2，0），D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥AB，DF⊥AC，連接EF、AD，則線段EF的最小值為多少？

【全面解析】首先要發(fā)現(xiàn)A、F、D、E四點(diǎn)共圓，可以用圓的定義“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)”來說明，也可以依據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四點(diǎn)共圓的經(jīng)驗(yàn)來判斷.得出EF是以AD中點(diǎn)為圓心，AD為半徑的圓中的弦.其次，要利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的兩倍，從而得出∠EGF=90°，△EGF是等腰直角三角形，故EF=·AD=AD.建立函數(shù)，要使得EF最小，只要AD最小，從而將問題引入動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上，定點(diǎn)A在直線BC外這種基本模型，根據(jù)垂線段最短原理即可解決.

【難點(diǎn)突破】①要發(fā)現(xiàn)A、F、D、E四點(diǎn)共圓；

②能夠得出∠EGF=90°，△EGF是等腰直角三角形；

③運(yùn)用垂線段最短原理；

④會(huì)利用三角函數(shù)正確求解.

綜上所述，對(duì)于幾何最值問題，同學(xué)們遇到時(shí)不必驚慌失措，常?？梢韵胍幌搿盎瘓A”策略，重點(diǎn)可以用到以下兩個(gè)結(jié)論：1. 兩點(diǎn)之間，線段最段；2. 垂線段最短.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）