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        考慮全面 觸類旁通

        2015-09-10 07:22:44陳俊
        初中生世界·九年級(jí) 2015年10期
        關(guān)鍵詞:判別式一元二次方程整數(shù)

        陳俊

        “分類討論”思想是數(shù)學(xué)研究的一種重要思想,常常要根據(jù)研究對(duì)象的性質(zhì)差異,分別對(duì)各種不同的情況予以分析,培養(yǎng)同學(xué)們思維的條理性、縝密性和科學(xué)性.本文以一元二次方程為例,談?wù)劮诸愑懻撍枷朐诮忸}中的運(yùn)用.

        一、 對(duì)“方程類型”的討論

        例1 已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍.

        【分析】當(dāng)二次項(xiàng)m2x2的系數(shù)m2=0時(shí),方程是一元一次方程,確有實(shí)數(shù)根;當(dāng)m2≠0時(shí),方程是一元二次方程,由題意得Δ≥0,最后將兩種情況的答案加以綜合.

        解:(1) 當(dāng)m2=0,即m=0時(shí),方程為一元一次方程x+1=0,有實(shí)數(shù)根x=-1;

        (2) 當(dāng)m2≠0,即m≠0時(shí),方程為一元二次方程,由題意得:

        【點(diǎn)評(píng)】由于這里二次項(xiàng)系數(shù)為待定系數(shù),所以不能從形式上認(rèn)為這一定是一元二次方程,故要考慮是一元一次方程的可能.

        變式題1 已知方程m2x2+3mx+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍.

        二、 對(duì)“方程的根”的討論

        例2 當(dāng)整數(shù)m取何值時(shí),關(guān)于x的一元二次方程mx2-4x+4=0與x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整數(shù).

        【分析】第一道方程是一元二次方程,則m≠0.“根是整數(shù)”包含兩層含義:①方程有根,即Δ≥0;②取得整數(shù)根.根據(jù)題意,先解出m的取值范圍,再得出m的整數(shù)值,從而驗(yàn)證兩道方程是否都同時(shí)有整數(shù)根.

        解:由題意得,m≠0.

        ∵方程均有實(shí)數(shù)根,

        當(dāng)m=-1時(shí),方程mx2-4x+4=0為x2+4x-4=0,解得方程的根為x=-2±2,它的根不是整數(shù),故m=-1舍去.

        當(dāng)m=1時(shí),方程mx2-4x+4=0的根為x1=x2=2,方程x2-4mx+4m2-4m-5=0的根為x1=5,x2=-1,均為整數(shù),所以m=1.

        【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)方程的“特殊根”的討論.當(dāng)m=±1時(shí),只能說明兩道方程有實(shí)數(shù)根,還需進(jìn)一步討論有整數(shù)根的情況.

        例3 已知關(guān)于x的方程:x2-(m-2)x-=0.

        (1) 求證:無論m取什么實(shí)數(shù)值,這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根.

        (2) 若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)x1、x2滿足x2=x1+2,求m的值及相應(yīng)的x1、x2.

        【分析】(1) 根據(jù)方程根的判別式判斷根的情況,只要證明判別式Δ的值恒為正值即可;

        (2) 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=m-2,x1·x2=-≤0,再去掉絕對(duì)值符號(hào)得到x2=-x1+2或-x2=x1+2,然后分類解方程.

        解:(1) Δ=[-(m-2)]2-4-=2(m-1)2+2,

        ∵2(m-1)2≥0,

        ∴2(m-1)2+2>0,即Δ>0,

        所以方程總有兩個(gè)相異的實(shí)根.

        (2) 根據(jù)題意得,x1+x2=m-2,x1·x2=

        -≤0,

        ∴x1≤0,x2≥0或x1≥0,x2≤0.

        ①若x1≤0,x2≥0,則x2=-x1+2,

        即x1+x2=2,∴m=4.

        此時(shí)x2-2x-4=0,

        ②若x1≥0,x2≤0,則-x2=x1+2,

        即x1+x2=-2,

        ∴m=0,此時(shí)x2+2x=0,

        x1=0,x2=-2.

        【點(diǎn)評(píng)】本例是根據(jù)方程根的符號(hào)進(jìn)行分類討論,去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵.

        變式題2 關(guān)于x的一元二次方程為(m-1)x2-2mx+m+1=0.

        (1) 求出方程的根;

        (2) m為何整數(shù)時(shí),此方程的兩個(gè)根都為正整數(shù)?

        參考答案

        變式題1:

        解:當(dāng)m=0時(shí),不合題意;當(dāng)m≠0時(shí),方程是一元二次方程,由題意得,Δ=(3m)2-4m2=5m2≥0,∴m≠0.

        變式題2:

        (作者單位:江蘇省南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué))

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