彭翠紅

我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更重要的是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，這樣才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，下面我們舉幾個(gè)與“一元二次方程”相關(guān)的實(shí)例.

一、 傳播問(wèn)題

例1 甲型H1N1流感病毒的傳染性極強(qiáng)，某地因1人患了甲型H1N1流感沒(méi)有及時(shí)隔離治療，經(jīng)過(guò)兩天的傳染后共有9人患了甲型H1N1流感.（1） 平均每天一個(gè)人傳染了幾人？（2） 如果按照這個(gè)傳染速度，再經(jīng)過(guò)5天的傳染后，這個(gè)地區(qū)一共將會(huì)有多少人患甲型H1N1流感？

【分析】假設(shè)平均每天一個(gè)人傳染x人，如果前一天只有1個(gè)人感染，1天后感染總?cè)藬?shù)上升為（x+1）人；前一天2個(gè)人感染，1天后感染總?cè)藬?shù)上升為（x+1）+（x+1）=2（x+1）人；前一天有a個(gè)人感染，1天后感染總?cè)藬?shù)上升為a（x+1）人；若前一天（x+1）個(gè)人感染，1天后感染總?cè)藬?shù)上升為（x+1）（x+1）=（x+1）2人.對(duì)于例1，1天后感染的總?cè)藬?shù)是（x+1）人，再過(guò)一天后感染總?cè)藬?shù)上升為（x+1）2人，即兩天后的感染總?cè)藬?shù)；又過(guò)一天感染總?cè)藬?shù)上升為（x+1）3人，即三天后的感染總?cè)藬?shù)……；再過(guò)5天即7天后的感染總?cè)藬?shù)為（x+1）7人.

解：（1） 設(shè)平均每天一個(gè)人傳染了x人，

由題意得：（x+1）2=9，

解這個(gè)方程，得：

x1=2，x2=-4（x2=-4不合題意，舍去）.

（2） （x+1）7=37=2 187（人）.

答：（1） 每天平均一個(gè)人傳染了2人；（2） 再經(jīng)過(guò)5天的傳染后，這個(gè)地區(qū)一共將會(huì)有2187人患甲型H1N1流感.（可見(jiàn)傳播力量的強(qiáng)大）

練練身手1 某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？

二、 增長(zhǎng)率問(wèn)題

例2 （2015·甘肅蘭州） 股票每天的漲、跌幅均不超過(guò)10%，即當(dāng)漲了原價(jià)的10%后，便不能再漲，叫作漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的10%后，便不能再跌，叫作跌停.已知一只股票某天跌停，之后兩天時(shí)間又漲回到原價(jià)，若這兩天此股票股價(jià)的平均增長(zhǎng)率為x，則x滿足的方程是（ ）.

A. （x+1）2=11/10 B. （x+1）2=10/9

C. 1+2x=11/10 D. 1+2x=10/9

【分析】本題的難點(diǎn)是跌停前的單價(jià)未知，而且單價(jià)經(jīng)歷了跌停，連續(xù)兩次增長(zhǎng)共三個(gè)階段.我們可以假設(shè)跌停前的單價(jià)為單位1，則跌停后單價(jià)為9/10，即第一個(gè)階段后的結(jié)果；增長(zhǎng)1天后的單價(jià)為增長(zhǎng)前的（x+1）倍，為9/10（1+x），即第二個(gè)階段后的總結(jié)果；增長(zhǎng)2天后是1天后的（x+1）倍，為9/10（x+1）2，即第三個(gè)階段后的總結(jié)果.因此可得方程：9/10（x+1）2=1，方程兩邊同乘10/9得：（x+1）2=10/9.所以選B.

【點(diǎn)評(píng)】無(wú)論是流感傳播問(wèn)題還是增長(zhǎng)率的問(wèn)題，都可以理解為每過(guò)一天，數(shù)量將是前一天的（1+x）倍，若原始數(shù)量是a，則一天后總數(shù)量是a（1+x），兩天后總數(shù)量是a（1+x）2，三天后總數(shù)量是a（1+x）3，……，n天后總數(shù)量是a（1+x）n，用乘積的形式表示若干天后的數(shù)量比用和的形式要簡(jiǎn)潔很多.

三、 利潤(rùn)問(wèn)題

例3 百佳超市將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元出售時(shí)，能賣500個(gè)，已知該商品每漲價(jià)1元，其銷售量就要減少10個(gè)，為了賺8 000元利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？

【分析】上述問(wèn)題中如果銷售價(jià)按照單價(jià)50元的話，每個(gè)利潤(rùn)是10元，可以賣出500個(gè)，共可獲利5 000元，無(wú)法完成利潤(rùn)8 000元的目標(biāo)，所以只有改變單價(jià)并控制適當(dāng)?shù)膯蝺r(jià)，才可以完成獲得利潤(rùn)8 000元的任務(wù).設(shè)商品單價(jià)為（50+x）元，則每個(gè)商品得利潤(rùn)[（50+x）-40]元，因?yàn)槊繚q價(jià)1元，其銷售會(huì)減少10，則每個(gè)漲價(jià)x元，其銷售量會(huì)減少10x個(gè)，故銷售量為（500-10x）個(gè)，根據(jù)每件商品的利潤(rùn)×件數(shù)=8 000，則應(yīng)用（500-10x）·[（50+x）-40]=8 000.

解：設(shè)每個(gè)商品漲價(jià)x元，則銷售價(jià)為（50+x）元，銷售量為（500-10x）個(gè)，由題意得：（500-10x）·[（50+x）-40]=8 000，

整理得：x2-40x+300=0，

解得：x1=10，x2=30.

經(jīng)檢驗(yàn)x1=10，x2=30都符合題意.

當(dāng)x=10時(shí)，50+x=60，500-10x=400；

當(dāng)x=30時(shí)，50+x=80，500-10x=200.

答：要想賺8 000元，售價(jià)為60元或80元.若售價(jià)為60元，則進(jìn)貨量應(yīng)為400個(gè)；若售價(jià)為80元，則進(jìn)貨量應(yīng)為200個(gè).

四、 面積問(wèn)題

例4 一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示，要在這塊土地上沿東西和南北方向分別挖4條和2條小渠，如果小渠的寬相等，而且要保證余下的耕地面積為9 600 m2，那么水渠應(yīng)挖多寬？

【分析】這類問(wèn)題的特點(diǎn)是，挖渠所占面積只與挖渠的條數(shù)和渠道的寬度有關(guān)，而與渠道的位置無(wú)關(guān). 為了研究問(wèn)題方便可分別把東西和南北方向的渠道移動(dòng)到一起（最好靠一邊），如圖（2）所示.那么剩余可耕的長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)為（162-2x） m，寬為（64-4x） m；

解：設(shè)水渠的寬為x m，由題意得：

（162-2x）（64-4x）=9 600，

解得：x1=1，x2=96（x2=96不合題意，舍去）.

答：水渠的寬為1 m.

練練身手2 （2015·四川自貢）利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），另三邊用58 m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)面積為200 m2的矩形場(chǎng)地.求矩形的長(zhǎng)和寬.

參考答案

練練身手1：

解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，則主干數(shù)量為1，支干數(shù)量為x，小分支數(shù)量為x2，由題意得：1+x+x2=91，

解得：x1=-10，x2=9（x1=-10不合題意，舍去）.

答：每個(gè)支干長(zhǎng)出9個(gè)小分支.

【點(diǎn)評(píng)】本體是傳播類的問(wèn)題，但與例1甲型H1N1流感病毒的傳播問(wèn)題也有些許差別，流感傳播者第一天傳染后，第二天第三天還繼續(xù)參與傳播；而支干傳播問(wèn)題，主干傳播給支干后，主干就不參與繼續(xù)傳播，只由支干來(lái)傳播給小分支.

練練身手2：

解：設(shè)垂直于墻的一邊為x米，由題意得：x（58-2x）=200，解得：x1=25，x2=4.

經(jīng)檢驗(yàn)x1=25，x2=4都符合題意.

∴另一邊長(zhǎng)為8米或50米.

答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為25米時(shí)寬為8米，當(dāng)矩形的長(zhǎng)為50米時(shí)寬為4米.

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué)）