一、 七橋漫步

格尼斯堡城是由條頓騎士團(tuán)在1308年建立，曾作為東普魯士的首府。第二次世界大戰(zhàn)后，成為前蘇聯(lián)最大的海軍基地。現(xiàn)在的格尼斯堡位于立陶宛和波蘭之間。在第二次世界大戰(zhàn)時(shí)，法軍經(jīng)這里入侵波蘭。后來(lái)蘇軍也從這里打進(jìn)德國(guó)，所以格尼斯堡是一座名城。同時(shí)這里也誕生過(guò)許多偉大人物，其中包括18世紀(jì)著名的唯心主義哲學(xué)家康德和19世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家希爾伯特。

但是，最早給這座城市帶來(lái)聲譽(yù)的橫跨布列格爾河，把格尼斯堡連成一體的七座橋梁。

這一別致的橋群，引來(lái)了眾多的游人，同時(shí)還引發(fā)了數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重要的研究。

一天又一天，這七座橋上走過(guò)了無(wú)數(shù)的行人，腳下的七橋觸發(fā)了人們的靈感，一個(gè)有趣的問(wèn)題在民間傳開(kāi)“能否在一次散步中每座橋都走一次，而且只能走一次，最后又回到原來(lái)的出發(fā)點(diǎn)？”這個(gè)問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，人人都樂(lè)意去測(cè)試一下自己的智力，可是把全城人的智力加在一起，也沒(méi)有找到一條合適的路線。這個(gè)問(wèn)題傳開(kāi)以后，許多歐洲有學(xué)問(wèn)的人也參與思考，同樣是一籌莫展。就這樣，格尼斯堡這個(gè)“七橋問(wèn)題”給人們提供了豐富的樂(lè)趣和數(shù)學(xué)興味，因而使得這座波羅的海的海濱古城聞名遐邇。

二、歐拉與格尼斯堡七橋問(wèn)題

1735年有幾名大學(xué)生寫信給當(dāng)時(shí)正在俄國(guó)彼得堡科學(xué)院任職的天才數(shù)學(xué)家歐拉，請(qǐng)他幫助解決。歐拉并未輕視生活中的小問(wèn)題，他似乎看到了其中隱藏某種新的數(shù)學(xué)方法。

事實(shí)上，要走遍七座橋的所有走法有7！=5040種，要想一一試驗(yàn)是不可能的，只能另找一種新方法。歐拉依靠他深厚的數(shù)學(xué)功底，運(yùn)用嫻熟的變換技巧，經(jīng)過(guò)一年的研究，于1936年，29歲的歐拉向彼得堡科學(xué)院提交了一份為《格尼斯堡七橋》的論文，圓滿的解決了這一問(wèn)題。歐拉不僅解決了七橋問(wèn)題，而且他提出飛思想導(dǎo)致了一門新的數(shù)學(xué)分支——“圖論”的誕生。

歐拉是如何解決七橋問(wèn)題的？又是如何證明要想一次走過(guò)七座橋是不可能的呢？歐拉的方法十分巧妙：

（1）不考慮4個(gè)地區(qū)的大小、形狀，不妨將它們看成是鏈接橋梁的4個(gè)點(diǎn)；

（2）不考慮橋梁的曲直、長(zhǎng)短，不妨將它們看成連接4個(gè)點(diǎn)的7條線。

于是一座儀態(tài)萬(wàn)千的格尼斯堡古城在歐拉筆下就變成了一個(gè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單是幾何圖形。

于是七橋問(wèn)題就變成了用筆不重復(fù)的（筆不離開(kāi)紙面）畫出這個(gè)幾何圖形的問(wèn)題，即“一筆畫”問(wèn)題。如果可以畫出來(lái)，則必有一個(gè)起點(diǎn)和一個(gè)終點(diǎn)，如果這兩點(diǎn)不重合，則與起點(diǎn)或終點(diǎn)相交的線必為奇數(shù)條（稱為奇點(diǎn)），如果起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，則與之相交的線必為偶數(shù)條（稱為偶點(diǎn)），而除了起點(diǎn)與終點(diǎn)外，其他點(diǎn)也必為偶點(diǎn)。據(jù)以上分析，如果一個(gè)圖形可以一筆畫出來(lái)，則必須滿足兩個(gè)條件：

（1）圖形必須是連通的，即任一點(diǎn)通過(guò)一些線一定能達(dá)到其他任意點(diǎn)。（2）圖中的奇點(diǎn)數(shù)只能是0或2.

回頭來(lái)看七橋問(wèn)題，4個(gè)點(diǎn)全為奇點(diǎn)，故七橋問(wèn)題無(wú)解。

歐拉當(dāng)時(shí)發(fā)表這一結(jié)果時(shí)，震驚了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界。

三、引申與推廣

歐拉解決七橋問(wèn)題的方法并不深?yuàn)W，但他的新穎之處不僅在于另辟蹊徑的解題思路，更在于“一筆畫”問(wèn)題雖然是一個(gè)幾何問(wèn)題，可是這種幾何問(wèn)題卻是歐幾里得幾何里沒(méi)有研究過(guò)的。

在“一筆畫”問(wèn)題里，長(zhǎng)度、角度、面積、體積都沒(méi)有了，四大塊陸地變成了四個(gè)點(diǎn)；連線的長(zhǎng)短曲直、交點(diǎn)的方位都無(wú)關(guān)緊要，要緊的只是點(diǎn)線之間的相關(guān)位置或相互連接的情況，如下兩圖都沒(méi)有改變七橋問(wèn)題“一筆畫”的性質(zhì)。

后來(lái)布勒格爾河上又架起第八座橋來(lái)——鐵路橋，這又使人們想起了那有趣的問(wèn)題。雖然一次不重復(fù)走遍七座橋不可能，那八座橋呢？從圖中可以已看出，“奇點(diǎn)”只有兩個(gè)（D、C），所以可以一次不重復(fù)走遍八座橋。