周小偉

在日常生活中，統(tǒng)計和概率的簡單應用比較普遍，幾乎無處不在，如買彩票、擲骰子、游戲是否公平、預測銷售量等，這些大家非常熟悉的游戲或者活動，都可以由同學們自己動手實驗，建立統(tǒng)計和概率的模型，通過簡單的計算得到一個合理的解釋或正確的預測. 在近幾年的中考數(shù)學試題中，統(tǒng)計和概率的簡單應用都作為一個重要的知識點進行考查，立意新穎，分值較大，突出了數(shù)學應用于生活的理念，得到大家的高度重視，下面結(jié)合這一章的知識分類評析.

一、 統(tǒng)計的合理性

在進行數(shù)據(jù)的收集、整理、統(tǒng)計和分析時，常常需要抽取一個合理的樣本，根據(jù)樣本的情況估計總體的情況，解決這類問題的關鍵是要體會收集數(shù)據(jù)結(jié)果的不確定性和多樣性，理解抽樣的必要性以及樣本抽取的合理性，再根據(jù)抽取的樣本，運用統(tǒng)計的知識進行合理的預測.

例1 （2014·南京）為了了解某市120 000名初中學生的視力情況，某校數(shù)學興趣小組收集有關數(shù)據(jù)，并進行整理分析.

（1） 小明在眼鏡店調(diào)查了1 000名初中學生的視力，小剛在鄰居中調(diào)查了20名初中學生的視力，他們的抽樣是否合理？并說明理由.

（2） 該校數(shù)學興趣小組從該市七、八、九年級各隨機抽取了1 000名學生進行調(diào)查，整理他們的視力情況數(shù)據(jù)，得到如下的折線統(tǒng)計圖（如圖1）.

請你根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，估計該市120 000名初中學生視力不良的人數(shù)是多少？

【分析】（1） 他們的抽樣都不合理. 因為如果1 000名初中學生全部在眼鏡店抽取，那么該市每個學生被抽到的機會不相等，樣本不具有代表性，如果只抽取20名初中學生，那么樣本的容量過小，樣本不具有廣泛性.

（2） 根據(jù)題意得：

×120 000=72 000（名），

該市120 000名初中學生視力不良的人數(shù)是72 000名.

【點評】此題考查的知識點是抽樣調(diào)查的可靠性、用樣本估計總體以及折線統(tǒng)計圖. 解決此題的關鍵是要理解樣本的合理抽取直接關系到對總體估計的精準程度，抽取的樣本必須同時具有代表性和獨立性，同時讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息也是解決問題的關鍵.

例2 （2014·江蘇南通）九年級（1）班開展了為期一周的“敬老愛親”社會活動，并根據(jù)學生做家務的時間來評價他們在活動中的表現(xiàn)，老師調(diào)查了全班50名學生在這次活動中做家務的時間，將統(tǒng)計的時間（單位：小時）分成5組：

A. 0.5≤x<1；B. 1≤x<1.5；C. 1.5≤x<2；D. 2≤x<2.5；E. 2.5≤x<3；并制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖2）：

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1） 這次活動中學生做家務時間的中位數(shù)所在的組是______；

（2） 補全頻數(shù)分布直方圖；

（3） 該班的小明同學這一周做家務2小時，他認為自己做家務的時間比班里一半以上的同學多，你認為小明的判斷符合實際嗎？請用適當?shù)慕y(tǒng)計知識說明理由.

【分析】（1） C組的人數(shù)是：50×40%=20（人），B組的人數(shù)是：50-3-20-10-2=15（人），把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列，由于共有50個數(shù)，第25、26位都落在1. 5≤x<2范圍內(nèi)，則中位數(shù)落在C組，故答案為：C；

（2） 根據(jù)（1）得出的數(shù)據(jù)補圖如圖3：

（3） 符合實際.

設中位數(shù)為m，根據(jù)題意，m的取值范圍是1.5≤m<2，

∵小明幫父母做家務的時間大于中位數(shù)，∴他幫父母做家務的時間比班級中一半以上的同學多.

【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖的讀圖能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力. 利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決相關問題.

二、 規(guī)則的公平性

概率與我們的日常生活息息相關，它能解決一些簡單的實際問題，幫助我們作決定，作估計，解釋一些實驗現(xiàn)象，澄清日常生活中的一些錯誤認識，解決這類問題的關鍵是要把一些實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型，體會概率模型的作用以及運用概率思考問題的特點.

例3 （2014·江蘇鹽城）如圖4所示，可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤被3等分，指針落在每個扇形內(nèi)的機會均等.

（1） 現(xiàn)隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，停止后，指針指向1的概率為______；

（2） 小明和小華利用這個轉(zhuǎn)盤做游戲，若采用如圖5的游戲規(guī)則，你認為對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明理由.

【分析】（1） 隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，停止后，三個等可能的情況中出現(xiàn)1的情況有一種，故指針指向1的概率為；

（2） 列表得：

所有等可能的情況有9種，其中兩數(shù)之積為偶數(shù)的情況有5種，兩數(shù)之積為奇數(shù)的情況有4種，

∴P（小明獲勝）=，P（小華獲勝）=，

∵>，∴該游戲不公平.

【點評】此題考查了游戲公平性，以及列表法與畫樹狀圖法，判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

例4 （2014·江蘇連云港）如圖6，在一個不透明的袋子中裝有四個球，分別標有字母A、B、C、D，這些球除了字母外完全相同，此外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的四張正方形卡片，每張卡片兩面的字母相同，分別標有字母A、B、C、D. 最初，擺成如圖7的樣子，A、D是黑色，B、C是白色.

兩次操作后觀察卡片的顏色.

（如：第一次取出A、第二次取出B，此時卡片的顏色變成 ）

（1） 求四張卡片變成相同顏色的概率；

（2） 求四張卡片變成兩黑兩白、并恰好形成各自顏色的矩形的概率.

【分析】（1） 畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結(jié)果，四張卡片變成相同顏色的有4種情況，

∴四張卡片變成相同顏色的概率為；

（2） ∵四張卡片變成兩黑兩白，并恰好形成各自顏色矩形的有8種情況，

∴四張卡片變成兩黑兩白，并恰好形成各自顏色矩形的概率為：=.

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率. 列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件. 用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

同學們，上面我們列舉了本章內(nèi)容的一些典型題目，這些題目多考查了統(tǒng)計和概率的一些簡單應用，只要各位同學熟悉教材中的幾個統(tǒng)計量，合理抽取樣本，理解用樣本估計總體的必要性，會建立合適的概率模型并進行簡單的計算，一定能合理地解釋生活中的一些概率問題，并能在中考中熟練地解決這些題目.

（作者單位：江蘇省無錫市倉下中學）