果 然，毛興鵬，李紹濱

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，150001哈爾濱)

信號測向技術(shù)近幾十年來受到國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注，一系列重要算法被提出，包括DBF類經(jīng)典算法、MUSIC［1］類信號子空間算法、ESPRIT［2］算法和最大似然算法［3-4］，以及很多衍生算法［5-9］.其中MUSIC算法由于具備較高測向精度［9-11］、適中的運算量以及性能不受陣列波束寬度影響，可適用于各種陣列形式等特點，成為眾多學(xué)者和技術(shù)人員研究的焦點.

雖然MUSIC算法可以應(yīng)用于各種陣列，但是不理想的陣列形式會帶來嚴重的陣列模糊，導(dǎo)致空間譜中出現(xiàn)偽峰進而影響DOA(direction of arrival)估計性能.理論上可證明，均勻線陣(Uniform linear array，ULA)中陣元的間距不得超過半波長，否則會出現(xiàn)陣列模糊［12］.對非均勻線陣和陣元數(shù)較少的均勻圓陣(uniform circular array，UCA)，當陣列尺寸較大時，也會由于類似的原因在空間譜中形成偽峰，影響對真實信號方向的辨別.文獻［13］中基于微分幾何思想，提出一種檢驗陣列模糊方法，但是無法消除陣列模糊.對于陣元間距小于等于半波長的線陣和圓陣，雖然陣列模糊現(xiàn)象得以避免，要得到較高的測向精度及分辨力性能，需要較大的陣列口徑，從而需要大量陣元，導(dǎo)致系統(tǒng)成本和復(fù)雜度大大提高.基于波束形成準則進行優(yōu)化得到稀布陣［14-18］是一種有效降低陣列陣元數(shù)目的方法，文獻［19-21］對稀布陣的去陣列模糊進行研究，在二維平面陣情況下，仍然需要較多的陣元組陣.

針對上述問題，本文提出一種基于不同口徑的陣列組合成的組合陣列進行DOA估計方法.該方法既可以解決陣列模糊問題，又具有較好的算法精度和分辨力性能，同時所需要的陣元數(shù)目較少，與傳統(tǒng)的MUSIC算法相比能有效降低系統(tǒng)復(fù)雜度和算法運算量.本文在給出該算法基本原理基礎(chǔ)上，通過理論分析和計算機仿真系統(tǒng)研究該算法的精度和分辨力等性能，并與稀布陣等現(xiàn)代DOA估計方法進行對比.

1 基礎(chǔ)理論

1.1 經(jīng)典模型與MUSIC算法的基本原理

考慮一個M個陣元組成的陣列，N個不完全相干的與陣列處于同一平面的窄帶信號從不同方向到達陣列，如圖1所示.

圖1 信號入射模型

第i個陣元的輸出為

式中:sk(t)為第k個信號，ni(t)為加性高斯白噪聲，ω0為N個窄帶信號的中心頻率;參數(shù)τki為相對基準陣元第k個信號到達第i個陣元的時延，其形式取決于信號的到達角度和陣列的形式.對ULA來說，τki為(i-1)dsinθk/c，θk為第k個信號的方位角，d為陣元間距，c為光速;對于由M個陣元組成的 UCA，τki=rcos(φk-2πi/M)sinθk/c，φk與θk分別為第k個信號的方位角和俯仰角，r為UCA的半徑.對于一個任意平面陣列，τki=((xicosφk+yisinφk)sinθk)/c，xi與yi為第i個陣元的位置.用向量的形式輸入信號為X(t)=［x1(t)，…，xM(t)］T.則經(jīng)數(shù)字采樣后的輸入信號為

X(t)協(xié)方差矩陣為

式中:ⅠM為M階單位陣;λi代表Rx特征值，且有

為加性高斯噪聲方差;ui為對應(yīng)λi特征值向量.在二維陣列MUSIC算法中，定義空間譜為

這里‖·‖代表向量的歐幾里得范數(shù)，UN=(uN+1，uN+2，…，uM)為噪聲子空間矩陣.向量a為導(dǎo)向矢量，其形式與矩陣A中的列向量相似.a中的每個元素為方位角的函數(shù)，這樣空間譜P可看做方位角和俯仰角的函數(shù)P(φ，θ).計算空間譜值，其中N個峰值的位置即為到達信號方位的估計值.

1.2 二維陣列模糊

文獻［12］給出:對ULA陣列，當陣元間距小于等于半波長時可得秩N-1的抗模糊特性(即目標個數(shù)少于N-1的信號，都不會造成陣列模糊).但對于UCA，陣列模糊的論證變得很復(fù)雜.文獻給出關(guān)于UCA不充分的一些結(jié)論，但并不能排除圓陣的最差特性.文獻［13］給出利用高維微分幾何方法對線陣的均勻剖分模糊性的分析，可擴展到圓陣當中，不能排除其他類型的陣列模糊.為避免陣列模糊的出現(xiàn)，現(xiàn)有方法一般采用減小陣元間隔或者設(shè)計特殊陣列形式的方法.圖2采用8陣元5倍波長半徑的圓陣繪制的空間譜圖，單一入射信號方向為方位角41.3°，俯仰角34°，能看到空間譜受到嚴重的陣列模糊影響，出現(xiàn)大量偽峰.

1.3 空間譜計算的運算復(fù)雜度

采用減小陣元間隔方法克服陣列模糊需要更多陣元，導(dǎo)致系統(tǒng)成本增加和復(fù)雜度提高，并加重運算負擔.即使能找到一種可避免陣列模糊，而且只需少量陣元的大尺寸稀布陣列［22-23］，由于口徑較大，也會導(dǎo)致空間譜中得到過分尖銳的峰，這也給譜峰搜索帶來了困難.

圖3(a)、(b)都是在采用半徑為5倍波長的7陣元UCA，信噪比、快拍數(shù)相同，信號從方位角41°，俯仰角34°入射時得到的空間譜，圖3(a)中，在方位角上對空間譜采用了1°的采樣間隔，在圖3(b)中采用了2°的采樣間隔.在俯仰角上均采用了1°采樣間隔.圖3(a)獲得清晰的譜峰，也避免陣列模糊現(xiàn)象，但是將采樣間隔提高到2°之后，空間譜形狀就變得較差，難以分辨出真實譜峰.其他大口徑稀疏陣列也存在類似問題.即使成功設(shè)計出可避免陣列模糊現(xiàn)象的大尺寸稀布陣，也要對空間譜進相當行密集的采樣計算才能得到良好的譜峰形狀.這對實際系統(tǒng)的計算能力提出較高要求.

圖3 不同采樣率下空間譜對比

1.4 陣列口徑與測向精度和分辨力關(guān)系

衡量DOA測向算法的兩個重要指標是估計精度和對于空間臨近信號的分辨力.文獻［10］分析MUSIC算法的測向精度性能，文獻［11］則給出MUSIC算法分辨力性能分析.研究表明，除信噪比、快拍數(shù)等因素外，測向精度和分辨力與陣列中陣元布置密切相關(guān)，更大的陣列口徑和更多的陣元數(shù)目，都對算法性能有所幫助，而其中陣列的口徑起著更為顯著的作用.為避免陣列模糊而增加大量陣元，并不會像擴大陣列的口徑那樣顯著提高算法性能，反而會導(dǎo)致算法復(fù)雜度大大提高.如果能夠采用一種新的陣列，在較大的陣列口徑內(nèi)，使用較少的陣元就能夠避免陣列模糊，就可在大幅提高系統(tǒng)性能的基礎(chǔ)上避免系統(tǒng)復(fù)雜度和運算量的增加.

2 多孔徑組合陣列測向算法

為利用較大口徑實現(xiàn)更理想的測向精度和分辨力性能，同時避免陣列模糊和過分銳利的譜峰帶來的較大空間譜計算復(fù)雜度，本文提出一種利用不同口徑的陣列構(gòu)成的組合陣進行測向的算法.

2.1 陣列形式

以口徑不同的圓陣形成的組合陣列為例，內(nèi)側(cè)采用6陣元組成半徑為半波長的均勻圓陣，外側(cè)采用3陣元、半徑為5倍波長的均勻圓陣，如圖4所示.外側(cè)大尺寸陣列可帶來較高的測向精度和分辨力性能，而內(nèi)側(cè)小陣列的排布使算法可有效回避陣列模糊的影響，同時提供對較多信號的檢測能力.

圖4 組合陣的形式示意

但如果直接對此陣列采用MUSIC算法，由于陣列孔徑較大，得到的空間譜峰仍然很銳利，給譜峰搜索帶來困難.為解決這個問題，給出一種改進的空間譜表達式，并說明改進帶來的益處.

2.2 改進的空間譜形式

對于式(4)中空間譜P(θ)表達式，可得另一種空間譜的形式為

Z(φ，θ)為P(φ，θ)的倒數(shù).在到達信號對應(yīng)的位置，Z(φ，θ)值接近0.但由于噪聲影響，在對應(yīng)信號到達方向上，Z(φ，θ)有一定誤差，在多于一個信號的情況下使P(φ，θ)對應(yīng)峰值的高度有較大不同，相差達到5 dB甚至更多.在信噪比發(fā)生變化時，譜峰高度的變化也變得很劇烈.非常尖銳的譜峰以及不同的峰值高度，都對空間譜的計算和譜峰檢測造成困難.因此給出一個新的空間譜表達形式

式中:β為一個很小的數(shù)值.易知(φ，θ)與P(φ，θ)有相近的形狀，可利用(φ，θ)進行信號的方位估計.在Z(φ，θ)遠小于β時，(φ，θ)≈1/β，因此在所有的信號方位上(φ，θ)都具有高度相近的譜峰.且在采取較小尺寸的陣列時，它使空間譜形狀得以平滑.可利用小尺寸陣列，適當降低空間譜的采樣率，估計出信號的大致方位之后，再利用外側(cè)大尺寸稀疏陣列提供的較高精度和分辨力特性，對信號波達方向進行更為精確估計.

說明(φ，θ)可在多大程度上降低空間譜的采樣間隔.假設(shè)采用圖5所示組合陣列的內(nèi)側(cè)6陣元UCA，單信號到達角度為方位角φ0，俯仰角為90°.為簡化推導(dǎo)，考慮方位角的采樣.記(φ，90°)為(φ).由于低采樣率的限制，假設(shè)最近的采樣值為0.只要證明(0)與(φ0)的數(shù)值相差較小，說明該采樣率能成功估計出目標到達方向的近似值.假設(shè)0＜φ0(當0＞φ0，分析方式相似)，有

式中(φ)為(φ)的導(dǎo)數(shù).由式(6)可知

利用‖a0‖2=aH(φ)a(φ)=M.在單信號情況下，和a(φ)=將 內(nèi) 側(cè) 陣列的導(dǎo)向矢量代入，并考慮到M=6.

由式(10)、(11)得到在信號到達方位附近，有

代入式(8)可得

式中φ＜φ0.將式(13)代入式(8)可得

當取β=0.1時，當方位角上空間譜的計算步進擴大至4°，有|φ00|≥2°，可得(φ0)(0)≤3.607.而(θ0)≈10，譜峰高度下降不大.在MUSIC算法的譜峰檢測當中，通常認為低于最高譜峰值5 dB之內(nèi)的極值，都可認為該方向有信號到達.在譜峰最大值為10，譜峰高度下降大小＜4.43時，滿足這個條件.因此當采樣間隔不超過4°時，僅采用內(nèi)測小陣列可以檢測出所有譜峰.式(14)并沒考慮分母變化的影響，而仿真表明，當方位角采樣擴大到5°的時候也能得到可接受的空間譜.當俯仰角＜90°時，易知采樣間隔仍然滿足要求.對于俯仰角做基本相同的分析，得到相似的結(jié)論.用(φ，θ)形式的空間譜，可先用內(nèi)側(cè)陣列采用較大的采樣間隔估計出信號的大致到達角度，再利用外側(cè)陣列小范圍搜索，從而降低計算復(fù)雜度.

2.3 算法說明和步驟

首先利用內(nèi)側(cè)小陣列計算空間譜得到信號到達角的大致位置，然后在信號到達角范圍附近，利用外側(cè)的大口徑陣列進行更密集的空間譜計算，得到更精確的角度估計結(jié)果.

舉例說明該算法的流程.假定空間中3個信號分別從方位角 25.35°、35.12°、213°，俯仰角40.21°、40.5°、71.2°入射.信噪比為 5 dB，快拍數(shù)100.

先利用內(nèi)側(cè)陣元計算式(6)所示空間譜，俯仰角和方位角采樣間隔均為4°.得到圖5(a)的空間譜(這里空間譜的高度采用絕對數(shù)值).根據(jù)該空間譜形狀，可確定信號大致來向.取最大峰值的一半作為門限，認為超過門限的區(qū)域內(nèi)可能有信號到達.由于內(nèi)側(cè)陣列本身分辨力的限制，有時并不能成功分辨出空間中鄰近的信號，但只要能夠成功得到信號的到達區(qū)域，就可利用外側(cè)陣列更高的分辨率進行進一步的區(qū)分.能夠看到兩個譜峰高度值都在7附近，能夠清晰檢出.

在獲得目標信號到達角的大致范圍后，可加入外側(cè)陣元的快拍進行更細致的搜索.為進一步節(jié)約運算量，可對外側(cè)陣元的快拍進行＜1的加權(quán)，即將外側(cè)陣元的增益降低，再與內(nèi)側(cè)陣元一起計算空間譜.這時得到較平滑的空間譜，可繼續(xù)采用較大的采樣間隔搜索譜峰位置.外側(cè)陣元得到的數(shù)據(jù)降低到原始值的0.3倍，采樣間隔為2°，在上一步確定的信號到達范圍內(nèi)，得到的空間譜圖見圖5(b).設(shè)定門限，進一步縮小信號可能的到達范圍.

提高外側(cè)陣列的增益，在上一步得到的信號到達角范圍的基礎(chǔ)上，縮小采樣間隔.直接使用整個陣列的原始數(shù)據(jù)計算空間譜，采樣間隔為1°.可見圖5(c)得到相當銳利的譜峰.如果掃描步進已經(jīng)達到所需精度，可對信號的方位進行估計.否則再次縮小范圍和采樣間隔，進行更精確的搜索.

圖5 算法中各個步驟生成的空間譜

算法步驟總結(jié)如下:

1)對陣列接收到的數(shù)據(jù)，只采用內(nèi)側(cè)陣列的數(shù)據(jù)計算式(6)中的空間譜，用較大的空間譜計算步進，確定波達信號的大致范圍.

2)加入經(jīng)過衰減的外側(cè)陣列數(shù)據(jù)，減小空間譜計算步進，在上一步確定的信號到達范圍內(nèi)再次進行搜索.

3)直接采用所有陣元的原始數(shù)據(jù)，在第2步中確定計算空間譜中再次縮小范圍進行搜索.如還沒有達到精度要求，重復(fù)這一步，逐次減小計算步進，直到滿足估計精度.

3 算法的精度、分辨力性能與復(fù)雜度分析

從理論分析基于組合陣列的新算法的精度和分辨力性能，且與其他3種稀布陣的性能進行對比.定量比較本算法和普通MUSIC算法的計算復(fù)雜度.

3.1 MUSIC算法和基于組合陣改進MUSIC算

法的精度性能分析

文獻［10］給出了MUSIC算法的測向精度公式的一個重要結(jié)果.

式中:ωi為需要估計的參數(shù)，可看做信號的方位角φ或是俯仰角θ.i為參數(shù)的估計結(jié)果，K為陣列采樣的快拍數(shù)

在多信號情形下，由于與信號子空間對應(yīng)的特征值難以求出，難以利用該公式得到準確信號誤差.但對于單信號和2個信號情況，特征值和特征向量有近似公式可計算，可定量分析誤差大小.

在單信號情形下，式(15)變?yōu)?/p>

其中:

將式(17)～(19)代入式(16)化簡為

在2個信號的情形下:

式中i=1、2.將式(21)～(24)代入式(25)，可得到類似式(20)的表達結(jié)果.

若陣列形式已知，式(20)、(25)給出單信號和2個信號情形下，MUSIC算法的估計精度.

圖6給出了測向誤差的理論結(jié)果，仿真中使用快拍數(shù)為50.陣列1、2、3分別采用半徑為3～5倍波長的9單元均勻圓陣，組合陣列的形式見圖4和圖6(a)為單個信號情形下，當信噪比變化時，不同半徑的UCA陣列方位角測向誤差曲線.信號入射方向為方位角15°，俯仰角60°.圖6(b)為2個信號情形下，當信噪比變化時，不同半徑UCA陣列的方位角測向誤差曲線.2個信號入射方向的方位角分別為 15°和 137°，俯仰角均為 60°.

圖6(a)、(b)看到，MUSIC算法的測向精度隨陣列口徑變大而提高，符合理論分析結(jié)果.而組合陣列測向性能接近陣列1和陣列2，略差于半徑為5倍波長的陣列3.式(20)中，分母部分包含有陣列的陣元數(shù)N，可知陣元數(shù)對算法的精度性能也有一定的影響.而式(25)中系數(shù)，結(jié)合式(21)、(22)可知，陣列陣元數(shù)越多，λ1和λ2的數(shù)值越大，而測向誤差的方差就越小.因此本文中對算法在精度性能方面并沒有太大優(yōu)勢.但在信噪比＞5 dB時，組合陣列在單信號和多信號下都能得到方差在0.1°以下的方位角測向誤差，可滿足實際應(yīng)用的需求.

圖6 方位角測向誤差理論計算結(jié)果

3.2 與MUSIC算法的分辨力性能對比

DOA算法的另一個重要指標是對空間到達方向鄰近信號的分辨力性能.文獻［10］中給出兩個信號能夠成功分辨的準則.僅分析方位角的分辨能力，俯仰角的分析完全類似.假設(shè)2個信號的到達方向方位角為φ1和φ2，俯仰角相同，推導(dǎo)省去.當P((φ1+φ2)/2)＜P(φ1)且P((φ1+φ2)/2)＜P(φ2)，即Z((φ1+φ2)/2)＞Z(φ1)且Z((φ1+φ2)/2)＞Z(φ2)時，2個鄰近信號可分辨.為使分辨結(jié)果可靠，預(yù)留5 dB誤差空間，即當式(26)、(27)兩式成立時，鄰近信號能成功分辨.

記φ0=(φ1+φ2)/2，a0=a(φ0).由零譜的定義知:

對文獻［24］中的式(30)加以變換

式中i=1、2，

將式(28)～(30)代入式(26)、(27)，可得

將式(22)～(24)代入式(31)并將快拍數(shù)K移到左側(cè)

得到對于某陣列，給定的信噪比和信號到達角時，需要多少快拍數(shù)才能成功區(qū)分信號到達角度.可據(jù)此來判斷算法的性能，需要快拍數(shù)較少的算法無疑有更大的優(yōu)越性.

圖7給出采用不同陣列形式時分辨力性能對比.仿真中使用2個等功率的不相干信號，其入射方位角分別為 29.75°、32.76°，俯仰角均為 60°.由式(32)得到3種不同半徑UCA和本文中提出的陣列與算法，成功分辨這2個信號所需的快拍數(shù).能夠看到本文采用的陣列分辨力性能相當于4倍波長半徑的9陣元UCA.

圖7 分辨力性能理論結(jié)果對比

3.3 算法精度性能分析

常規(guī)MUSIC算法與文中算法對單一空間譜值的運算量相差不多，因此計算復(fù)雜度大小取決于算法需要計算的空間譜點數(shù).對于常規(guī)MUSIC算法，空間譜點數(shù)取決于對空間譜的采樣步進，而空間譜的采樣步進又取決于希望得到的算法精度.假設(shè)希望算法具備0.5°以內(nèi)的誤差，通常需要0.5°的采樣步進.在方位角變化范圍為0～360°，俯仰角變化方位為0～90°時，需要個空間譜點數(shù).但是如果采用文中的方法，在當前陣列布局的情況下，第一次全局計算空間譜，可采用4°的大采樣步進，考慮到整數(shù)除法因素，需要計算的空間譜點數(shù)為360/4×(90/4+1)≈2 160.后續(xù)步驟中搜索范圍要遠遠小于全局搜索范圍，需要的空間譜點數(shù)也遠少于第一次計算出的點數(shù)，因此計算復(fù)雜度可能降低50倍以上.由于到達信號的個數(shù)可能不同，需要計算的點數(shù)也可能有變化.

4 仿真結(jié)果

進一步采用蒙特卡洛仿真來對比采用組合陣列和稀布陣時MUSIC算法性能.

目前還沒有專門針對MUSIC算法提出并進行相應(yīng)優(yōu)化的稀布陣，因此將本文提出的算法與文獻［15-17］中給出的3種稀布陣列運行MUSIC算法時的性能進行對比.文獻［15-16］中的陣列均為為長、寬分別為5倍波長和2.5倍波長的矩形平面陣列，陣元數(shù)量為108，陣元擺放方式有所不同;文獻［17］中為由43個陣元組成的稀疏同心圓陣列.

圖8(a)、(b)給出單個信號情況下，本文提出的陣列與半徑不同的9陣元UCA的測向誤差對比，以及3種稀布陣的測向誤差對比.仿真條件加性高斯白噪聲，均采用50快拍數(shù)，單個信號從方位角 15.13°，俯仰角 60.52°入射.圖中給出各種陣列形式下同時考慮俯仰角和方位角得到的測向誤差標準差.圖8(c)、(d)則是2個信號的情形，其他仿真條件與前相同，信號分別從方位角15.13°、30.75°入射，俯仰角 60.52°、60.31°入射.能看到，基于組合陣列的新算法雖然測向誤差與3倍波長的圓陣基本一致，略差于其他陣列，但是仍然具備較好的測向精度性能.

圖9(a)、(b)給出本文提出的陣列與半徑不同的9陣元UCA的分辨力對比，以及3種稀布陣的分辨力對比.仿真條件加性高斯白噪聲，50快拍數(shù).2 個信號分別從方位角29.73°、32.76°入射，俯仰角60.52、60.31°入射.圖中給出組合陣以及其他稀布陣成功分辨出這2個信號的概率.在分辨力性能上，本文提出的陣列要略低于5倍波長半徑的UCA，與4倍波長UCA基本一致，相對其他的UCA陣列和稀布陣，新陣列都具有更高的分辨能力.

表1給出文中算法與常規(guī)MUSIC算法在不同的空間譜計算步進下需要的空間譜點數(shù)對比.這里方位角與俯仰角的變化范圍均為0～90°與0～360°.文中算法第1步從4°搜索步進開始，每次搜索步進減半.由于不同陣列的陣元數(shù)有多種可能，僅統(tǒng)計空間譜的計算點數(shù).表1中看到，MUSIC算法隨著所需精度的提高，需要降低步進，使得計算點數(shù)快速增加.本文給出的算法，隨著步進的降低計算點數(shù)僅有少量增加，使得計算量上升很小.因此在計算復(fù)雜度方面，本文算法有較大優(yōu)勢.

圖8 本文陣列與其他陣列的精度性能仿真結(jié)果對比

圖9 本文陣列與其他陣列的分辨力性能對比

表1 空間譜所需計算點數(shù)對比

5 結(jié)語

提出一種利用組合陣列進行信號波達方向估計的算法.傳統(tǒng)的DBF算法和MUSIC類超分辨測向算法通常要求陣列中的陣元間距≤半波長.在采用大口徑陣列以提高算法性能的時候，就需要大量的陣元，導(dǎo)致系統(tǒng)復(fù)雜度大大提高.如果仍然采用大口徑陣列，減少陣元數(shù)目，則會導(dǎo)致難以預(yù)測的陣列模糊問題.本文提出算法能夠回避較少陣元的陣列產(chǎn)生的模糊問題，同時利用大的陣列口徑提高算法的測向精度和分辨力性能，并且在一定程度上降低了計算復(fù)雜度和系統(tǒng)的硬件復(fù)雜度.

［1］SCHMIDT R.Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］. Antennas and Propagation， IEEE Transactions on，1986，34(3):276-280.

［2］ ROY R，PAULRAJ A，KAILATH T.ESPRIT-A subspace rotation approach to estimation of parameters of cisoids in noise［J］.Acoustics，Speech and Signal Processing，IEEE Transactions on，1986，34(5):1340-1342.

［3］BOHME J.Estimation of source parameters by maximum likelihood and nonlinearregression［C］//Acoustics，Speech， and SignalProcessing， IEEE International Conference on ICASSP’84.［S.l.］:IEEE，1984:271-274.

［4］BRESLER Y.Maximum likelihood estimation of a linearly structured covariance with application to antenna array processing［C］//Spectrum Estimation and Modeling，1988，F(xiàn)ourth Annual ASSP Workshop on.Minneapolis:IEEE，1988:172-175.

［5］YAN Fenggang，JING Ming，QIAO Xiaolin.Low-complexity DOA estimation based on compressed MUSIC and its performance analysis［J］. SignalProcessing， IEEE Transactions on，2013，61(8):1915-1930.

［6］閆金山，彭秀艷，王咸鵬.基于酉變換的虛擬陣列DOA估計算法［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，44(4):136-140.

［7］GAO Feifei，GERSHMAN A B.A generalized ESPRIT approach to direction-of-arrival estimation［J］.Signal Processing Letters，IEEE，2005，12(3):254-257.

［8］梁國龍，張柯，安少軍，等.聲矢量陣快速子空間方位估計算法［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2014，46(7):76-80.

［9］ RAO B D，HARI K.Performance analysis of root-MUSIC［J］.Acoustics，Speech and Signal Processing，IEEE Transactions on，1989，37(12):1939-1949.

［10］KAVEH M，BARABELL A.The statistical performance of the MUSIC and the minimum-norm algorithms in resolving plane waves in noise［J］.Acoustics，Speech and Signal Processing，IEEE Transactions on，1986，34(2):331-341.

［11］ZHOU Changguo，HABER F，JAGGARD D L.A resolution measure for the MUSIC algorithm and its application to plane wave arrivals contaminated by coherent interference［J］.Signal Processing，IEEE Transactions on，1991，39(2):454-463.

［12］TAN K C，GOH Z.A detailed derivation of arrays free of higher rank ambiguities［J］.Signal Processing，IEEE Transactions on，1996，44(2):351-359.

［13］ MANIKASA， PROUKAKISC. Modelingand estimation of ambiguities in linear arrays［J］.Signal Processing，IEEE Transactions on，1998，46(8):2166-2179.

［14］HAUPT R L.Thinned arrays using genetic algorithms［J］.Antennas and Propagation，IEEE Transactions on，1994，42(7):993-999.

［15］賈維敏，林志強，趙鵬，等.一種多約束稀布線陣的天線綜合方法［J］.電子學(xué)報，2013，41(5):926-930.

［16］陳客松，何子述.平面稀布天線陣列的優(yōu)化算法［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2009，24(2):193-205.

［17］唐斌，陳客松，楊曉波.圓形口徑平面天線陣列的多約束稀布優(yōu)化方法［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2013，28(1):21-27.

［18］王維博.粒子群優(yōu)化算法研究及其應(yīng)用［D］.成都:西南交通大學(xué)，2012.

［19］HE Ziyuan，ZHAO Zhiqin，YANG Kai，et al.Solving ambiguity for sparse array via particle swarm optimization ［C］//International Conference on Computational Problem-Solving 2011.Chengdu:IEEE，2011:316-319.

［20］HE Ziyuan，ZHAO Zhiqin，NIE Zaiping，et al.Method of solving ambiguity for sparse array via power estimation based on MUSIC algorithm［J］.Signal Processing，2012，92(2):542-546.

［21］HE Ziyuan，ZHAO Zhiqin，NIE Zzaiping，et al.Resolving manifold ambiguities for sparse array using panar sbstrates［J］.Antennas and Propagation，IEEE Transaction，2012，60(5):2558-2562.

［22］AGRAWAL M，TAN K C.Higher rank ambiguity for star arrays［J］.Signal Processing，Elsevier，2004，84(12):2265-2269.

［23］冷文，王安國.均勻圓陣來波方向估計的解模糊算法［J］.天津大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)與工程技術(shù)版，2011，44(2):152-156.

［24］FRIENDLANDER B，WEISS A J.The resolution threshold of a direction-nding algorithm for diversely polarized arrays［J］.Signal Processing，IEEE Transactions on，1994，42(7):1719-1727.