趙幗娟，張雷

(吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，吉林長春130022)

目前有關(guān)機(jī)床幾何誤差的研究主要集中在各項(xiàng)幾何誤差的測量方法和幾何誤差綜合模型的建立等方面［1-11］。超精密加工中加工精度同時(shí)受到時(shí)變的熱誤差、隨機(jī)誤差以及位置相關(guān)的幾何誤差的影響，通過分析測量的原始數(shù)據(jù)，將不同性質(zhì)的誤差因素進(jìn)行分離是誤差補(bǔ)償?shù)南葲Q條件。

Jae Ha Lee等基于最小二乘多項(xiàng)式函數(shù)將測量數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差與機(jī)床的幾何誤差進(jìn)行分離，并通過對殘余誤差進(jìn)行均方差檢驗(yàn)確定最佳的幾何誤差模型［12］。Daisuke Kono等利用傅里葉變換在頻域中對測得的誤差值進(jìn)行分析，將幾何誤差從與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)誤差中分離出來［13］。由于測量得到的誤差值兩端很少滿足周期性，所以傅里葉級數(shù)并不能準(zhǔn)確地表達(dá)幾何誤差。Weidong Zhun等基于最小二乘法，應(yīng)用3次B樣條逼近的方法建立幾何誤差模型［14］?；谧钚《朔ǖ腂樣條逼近計(jì)算復(fù)雜，且需要對其逼近結(jié)果進(jìn)行評判，為追求全局性將重要的數(shù)據(jù)點(diǎn)分離出去，導(dǎo)致模型不準(zhǔn)確。由于高次多項(xiàng)式擬合會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，適用于觀測數(shù)據(jù)誤差較大的場合，并不能準(zhǔn)確地表示機(jī)床的幾何誤差。如果對測量數(shù)據(jù)簡單求均值后應(yīng)用以上方法建模會將時(shí)變的熱誤差和隨機(jī)誤差包含在幾何誤差元素中，這樣就會在補(bǔ)償時(shí)出現(xiàn)過補(bǔ)或少補(bǔ)的現(xiàn)象［15］。

基于以上，本文研究氣浮直線驅(qū)動平臺定位誤差的分離技術(shù)，從測量數(shù)據(jù)中分離隨機(jī)誤差、位置相關(guān)的幾何誤差及時(shí)變的熱誤差，建立精確的幾何定位誤差模型，來實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償。

1 定位誤差的測量與分析

為研究氣浮直線驅(qū)動平臺定位誤差的組成及誤差分離方法，對氣浮直線驅(qū)動平臺的定位誤差進(jìn)行了試驗(yàn)測量。

1.1 測量設(shè)備及測量環(huán)境

測量設(shè)備為Renishaw公司的XL-80激光系統(tǒng)，如圖1(a)所示。測量現(xiàn)場圖1(b)所示，在超精密實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行測量，環(huán)境溫度控制在20℃，數(shù)據(jù)處理按照ISO 230-2標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。

圖1 測量條件Fig.1 Measuring condition

1.2 定位誤差測量與分析

試驗(yàn)過程中采用激光干涉儀測量氣浮直線驅(qū)動平臺的定位誤差，氣浮直線驅(qū)動平臺的行程范圍為0～200 mm，每5 mm取一個(gè)測量點(diǎn)，共41個(gè)測量點(diǎn)，導(dǎo)軌運(yùn)行速度為100 mm/s。分別在常溫下，開機(jī)連續(xù)正反向測量1次、連續(xù)正反向重復(fù)測量3次，測量結(jié)果如圖2所示。圖2(a)為連續(xù)正反向測量1次的結(jié)果，圖2(b)為連續(xù)正反向重復(fù)測量3次的結(jié)果。對比2幅圖可以看出，每次測量結(jié)果重復(fù)性很低，而且數(shù)值變化很大，但是曲線的形狀幾乎不變，只是整體斜率發(fā)生了變化，具有一定的規(guī)律性。說明氣浮直線驅(qū)動平臺運(yùn)動過程中，存在一個(gè)時(shí)變的誤差。其原因是氣浮直線驅(qū)動平臺由直線電機(jī)提供直線運(yùn)動，直線電機(jī)的磁軌和推力線圈之一直接與運(yùn)動平臺相連接，由于其結(jié)構(gòu)緊湊，驅(qū)動過程中產(chǎn)生大量的熱，會使運(yùn)動平臺產(chǎn)生熱變形，進(jìn)而產(chǎn)生時(shí)變的熱誤差。因此，氣浮直線驅(qū)動平臺的定位誤差包括位置相關(guān)的幾何誤差、時(shí)變的熱誤差以及隨機(jī)誤差。

圖2 不同工況下的定位誤差值Fig.2 The positioning errors of different conditions

為研究各誤差對氣浮直線驅(qū)動平臺定位誤差的影響，建立預(yù)測模型，需要將隨機(jī)誤差去除，再將時(shí)變的熱誤差與位置相關(guān)的幾何誤差進(jìn)行分離。

2 隨機(jī)誤差去除

在測量過程中，一定存在隨機(jī)誤差。通常以全部測得值的算術(shù)平均值作為最后的測量結(jié)果。雖然這樣可以使隨機(jī)誤差獲得抵償效應(yīng)，卻不能排除隨機(jī)誤差的影響，必須在算術(shù)平均值上加修正值，才能得到最接近真值的計(jì)算結(jié)果。

2.1 隨機(jī)誤差數(shù)學(xué)期望修正均值

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，基于隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大小不同，求出隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望，用于修正測量值的算術(shù)平均值，以得到更可靠的誤差值，用于運(yùn)動平臺的誤差補(bǔ)償。測量的隨機(jī)誤差為殘余誤差δi(x)，是由實(shí)際誤差測量值yi(x)減去均值y-(x)得出的，表達(dá)式為

均值由測量值yi(x)之和除測量次數(shù)n得出，表達(dá)式為

首先找出由式(1)計(jì)算得到的殘余誤差δi(x)中的最小值δ1(x)和最大值δm(x)，選取略小于δ1(x)的數(shù)a和略大于δm(x)的數(shù)b，根據(jù)測量次數(shù)n確定組數(shù)k，則有 2k+1 個(gè)誤差區(qū)間tj，(j=0，±1，±2，…，±k)。假設(shè)殘余誤差δi(x)落到區(qū)間tj中，則有 (2j-1)L≤δix()≤(2j+1)L，式中L為區(qū)間寬度。

數(shù)出 δ0(x)，δ1(x)，…，δn(x)落在區(qū)間tj中的頻數(shù)ni，則殘余誤差落入誤差區(qū)間的概率為

最終通過計(jì)算得出最佳估計(jì)值y-用來代表幾何誤差元素的最佳值，表示為

表1 定位誤差均值修正Table 1 The mean value of position error modification

2.2 測量數(shù)據(jù)殘余誤差統(tǒng)計(jì)學(xué)分布

圖3為連續(xù)正反向重復(fù)測量20次得出的位置點(diǎn)殘余誤差概率分布圖，除位置點(diǎn)x=40 mm和x=180 mm外，其他位置點(diǎn)概率分布并不對稱，這說明平均值(x)并不是最佳值。根據(jù)式(5)求得修正值，最終修正結(jié)果如表1所示。修正后殘余誤差已經(jīng)定量，可以從氣浮直線驅(qū)動平臺的定位誤差中去除。

圖3 殘余誤差概率分布Fig.3 The residual error probability distribution

3 時(shí)變熱誤差的分離

通過對均值進(jìn)行修正后，去除了氣浮直線驅(qū)動平臺的隨機(jī)誤差，還需要將時(shí)變的熱誤差分離出來，從而得到位置相關(guān)的定位誤差δxx，如圖4(a)中曲線分別為連續(xù)正反向測量1次并進(jìn)行修正后得出的均值1、連續(xù)正反向重復(fù)測量3次并進(jìn)行修正后得出的均值2和連續(xù)正反向重復(fù)測量20次并進(jìn)行修正后得出的均值3，3條曲線均已將運(yùn)動平臺的隨機(jī)誤差去除。

圖4(b)中b1、b2和b3為對位置相關(guān)幾何誤差δxx的擬合曲線［16］:

圖4 定位誤差的均值和擬合曲線Fig.4 Mean value and fitting curve of the positioning error

從圖4(a)中可以看出測量均值隨著測量次數(shù)的增加在數(shù)值上發(fā)生很大的變化，但曲線的整體形狀幾乎不變，只是斜率發(fā)生了變化，說明時(shí)變的熱誤差對測量均值的影響很大。要得到準(zhǔn)確的與位置相關(guān)的幾何誤差，必須對均值進(jìn)行處理，將時(shí)變的熱誤差分離出去。對3個(gè)均值進(jìn)行一次多項(xiàng)式擬合后，用均值減去相應(yīng)測量位置點(diǎn)的擬合值得到與位置相關(guān)的幾何誤差如圖5所示。在同一個(gè)位置點(diǎn)上，由于測量次數(shù)的增加，直線電機(jī)產(chǎn)生的熱量增加。在同一個(gè)位置點(diǎn)，2次測量擬合值的變化相減，可以得到該點(diǎn)的熱誤差值。連續(xù)正反向重復(fù)測量20次后，根據(jù)同一位置點(diǎn)上熱誤差值的變化，得出時(shí)變的熱誤差如圖6所示。從圖6可以看出，熱誤差的最大值可達(dá)到4 μm，對氣浮直線驅(qū)動平臺的定位精度影響非常嚴(yán)重，需要根據(jù)圖6的曲線對時(shí)變的熱誤差進(jìn)行在線實(shí)時(shí)補(bǔ)償。

通過對數(shù)據(jù)均值的修正和一次多項(xiàng)式擬合可以有效的將隨機(jī)誤差、時(shí)變的熱誤差與位置相關(guān)的幾何誤差分離，得到位置相關(guān)的幾何誤差。進(jìn)一步需要建立位置相關(guān)的幾何誤差的預(yù)測模型，以便對其進(jìn)行補(bǔ)償。

圖5 位置相關(guān)的幾何誤差Fig.5 The positioning error associated with position

圖6 時(shí)變的熱誤差Fig.6 The time varying thermal error

4 位置相關(guān)的幾何誤差建模

通過對圖5所示的位置相關(guān)的幾何誤差的觀察，可以發(fā)現(xiàn)誤差走勢和坐標(biāo)位置呈現(xiàn)非線性的關(guān)系，而且測量結(jié)果為離散數(shù)據(jù)，并不能完全反應(yīng)整個(gè)工作空間任意位置的誤差值。需要根據(jù)已有的離散幾何誤差值建立位置相關(guān)的幾何誤差的預(yù)測模型。

使用NURBS曲線插值的方法對位置相關(guān)的幾何誤差進(jìn)行插值。

假設(shè)測量數(shù)據(jù)點(diǎn)為Qi=(xi，yi)(i=0，1，…，m)，用B樣條曲線對其進(jìn)行插值，該插值曲線將由n個(gè)控制頂點(diǎn)Pj(j=0，1，…，n)與節(jié)點(diǎn)矢量U=［u0u1…un+k+1］來定義。建立一個(gè)系數(shù)矩陣為(n+1)×(n+1)的線性方程組:

其中，Nj，k(ui)為基函數(shù)，其定義為

計(jì)算過程中使曲線的首末端點(diǎn)與首末數(shù)據(jù)點(diǎn)一致，使曲線的分段連接點(diǎn)分別依次與B樣條曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)一一對應(yīng)，即Qi點(diǎn)有節(jié)點(diǎn)值uk+i(i=0，1，…，m)。端點(diǎn)插值要求節(jié)點(diǎn)矢量ui由下式選擇:

對數(shù)據(jù)點(diǎn)Qi=(xi，yi)(i=0，1，…，m)的弦長參數(shù)化，得參數(shù)值序列ui(i=0，1，…m)如下式所示:

其中，d為總弦長，則可得到相應(yīng)定義域內(nèi)節(jié)點(diǎn)值

用于插值的m+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)Qi=(xi，yi)(i=0，1，…，m)的3次樣條插值曲線方程可寫為

其中，曲線定義域u∈[ui，ui+1]?[u3，un+1]，將定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值依次代入方程(12)中，應(yīng)滿足插值條件，即

線性方程組(13)可改寫為如下矩陣形式，其中系數(shù)矩陣中的元素均為B樣條基函數(shù)值，只與節(jié)點(diǎn)值有關(guān)。

求解即可得出全部未知控制頂點(diǎn)，輸入測量誤差值Qi=(xi，yi)，(i=0，1，…，40)通過式(7)～(14)求解線性方程組，得到節(jié)點(diǎn)矢量U和控制頂點(diǎn)Pj，最終插值結(jié)果如圖7所示。

通過NURBS插值，得到的插值模型與位置相關(guān)的幾何誤差測量曲線相吻合，并得到了位置相關(guān)的幾何誤差的預(yù)測模型，從而可以得到任意位置點(diǎn)的幾何誤差值，在納米級加工及測量過程中，可以實(shí)現(xiàn)對幾何誤差進(jìn)行精準(zhǔn)的預(yù)測和補(bǔ)償。

圖7NURBS插值結(jié)果Fig.7 Result of NURBS interpolation

5 結(jié)束語

本文通過對氣浮直線驅(qū)動平臺定位誤差的測量，得出氣浮直線驅(qū)動平臺的定位誤差由位置相關(guān)的幾何誤差、時(shí)變的熱誤差以及隨機(jī)誤差組成。通過統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，對氣浮直線驅(qū)動平臺的定位誤差進(jìn)行誤差分離，去除隨機(jī)誤差的影響，并分離出時(shí)變的熱誤差及位置相關(guān)的幾何誤差。時(shí)變的熱誤差對氣浮直線驅(qū)動平臺的定位精度影響非常嚴(yán)重，需要對時(shí)變的熱誤差進(jìn)行在線實(shí)時(shí)補(bǔ)償。利用NURBS曲線插值的方法，建立了位置相關(guān)的幾何誤差的預(yù)測模型，根據(jù)此模型可以求得任意位置點(diǎn)的幾何誤差值，從而對位置相關(guān)的幾何誤差進(jìn)行精準(zhǔn)的預(yù)測和補(bǔ)償，為氣浮直線驅(qū)動平臺的誤差補(bǔ)償提供參考和借鑒意義。

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