王　紅，楊　平，2，鄧軍林，董　琴

加筋板彈塑性斷裂的J積分計算

王紅1，楊平1，2，鄧軍林1，董琴1

1武漢理工大學交通學院，湖北武漢430063
2武漢理工大學高性能艦船技術教育部重點實驗室，湖北武漢430063

以EPRI斷裂分析方法為基礎，對符合Ramberg-Osgood應力應變關系的材料，結合筋板相互影響系數(shù)，提出一個考慮材料應變硬化性能的船體加筋板彈塑性斷裂的J積分計算公式，采用有限元軟件ANSYS進行數(shù)值模擬，并比較理論計算結果與有限元模擬結果。結果表明：理論計算結果比較接近有限元模擬結果，表明該理論模型能較好地反映加筋板的斷裂規(guī)律與加筋條的止裂性能，可直接用于加筋板在疲勞載荷作用下的理論分析，對于船體結構彈塑性斷裂分析具有重要的參考價值。

J積分；加筋板；應變硬化材料；彈塑性斷裂

網(wǎng)絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20150128.1201.003.html

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引用格式：王紅，楊平，鄧軍林，等.加筋板彈塑性斷裂的J積分計算［J］.中國艦船研究，2015，10（1）：46-50. WANG Hong，YANG Ping，DENG Junlin，et al.Elasto-plastic fracture analysis of J integration for stiffened plates［J］. Chinese Journal of Ship Research，2015，10（1）：46-50.

0　引言

近年來，隨著船舶大型化的發(fā)展，船體主尺度不斷增大，為減輕結構重量而采用的高強度鋼越來越多，船體結構變得越來越“軟”，船舶結構的應力及變形也越來越大。因此，大型船舶結構的低周疲勞斷裂損傷問題顯得十分突出，成為大型船舶發(fā)展中亟待解決的關鍵性問題。對于大型船舶而言，低周疲勞斷裂對船舶結構的損傷要遠大于高周疲勞損傷。

低周疲勞在疲勞斷裂中占據(jù)著非常重要的地位，而在工程中遇到的低周疲勞斷裂問題通常為大范圍屈服斷裂，且這種屈服斷裂屬于彈塑性斷裂力學范疇，故尋找一種實用且簡單有效的求解彈塑性斷裂力學的方法很有必要。求解彈塑性斷裂力學的常用方法有裂紋尖端張開位移（Crack Tip Opening Displacement，CTOD）法與J積分法。但到目前為止，CTOD彈塑性疲勞裂紋擴展規(guī)律的研究仍處于實驗數(shù)據(jù)積累階段，僅在實驗上取得了較多的研究成果［1-2］，理論分析模型很少［3］，有限元計算模擬更少，尚不能與實驗結果相吻合。而J積分法主要用于彈塑性和大范圍屈服情況下材料韌度的評定，且其與應力強度因子K、能量釋放率G和裂紋尖端張開位移CTOD之間均存在一定關系，可以作為中間變量求解大范圍屈服斷裂和全面屈服斷裂問題［4-5］。因此，研究J積分法在低周疲勞裂紋擴展階段具有十分重要的意義。此時，在大范圍屈服斷裂情況下，J積分理論既能夠定量地表示裂紋尖端區(qū)域彈塑性應力應變場的強度，也可通過實驗測定作為工程斷裂問題的判據(jù)。

1　加筋板結構的J積分理論分析模型

加筋板結構是船舶與海洋工程結構中最基本的結構。但到目前為止，大量學者針對加筋板斷裂性能方面的研究大多針對飛機結構中的鉚接結構，且僅限于線彈性范圍，更多的研究局限于裂紋板材，而對船舶焊接加筋板結構，型材含裂紋的彈塑性研究涉及較少。大量的研究結果表明，裂紋擴展驅動力與材料的應力應變性能有關［6］。本文通過理論分析，得到具有應變硬化材料特性的加筋板結構在拉伸載荷下J積分理論分析模型，并討論其彈塑性性能。圖1為帶中心穿透裂紋的船舶加筋板結構的幾何模型（筋條分別在板中1/4和3/4位置處）。

圖1　含有中心穿透裂紋的加筋板結構幾何模型Fig.1　The geometry model of stiffened plate with center through crack

1.1板材J積分理論計算模型

到目前為止，已有大量有限元計算和實驗證明，20世紀80年代初美國電力研究院（EPRI）提出的彈塑性斷裂評定的方法對船舶問題來說具有足夠的精度［7］。本文以EPRI斷裂分析方法的J積分驅動力曲線為基礎，通過理論推導和分析建立寬板在拉伸載荷作用下的J積分理論分析模型。

本文做如下假設：1）船體板材為平面應力情況；2）對于裂紋尺寸與板寬比a/W較小的拉伸載荷下的寬板試樣，無量綱試樣形狀因子Y趨近于1，而線彈性情況下裂紋尺寸a相對板寬W很小，故Y可近似取1。

本文材料（硬化材料）滿足Ramberg-Osgood應力應變關系：

式中：ε，σ分別為工作應變和工作應力；εY，σY分別為材料的屈服應變和屈服應力；α為材料常數(shù)；n為材料應變硬化指數(shù)。

根據(jù)EPRI工程方法，有J積分驅動力曲線方程［8］

式中：Jp（a，n）為裂紋原始長度a和材料應變硬化指數(shù)n的J積分塑性分量；Je（ae）為根據(jù)裂紋有效長度ae協(xié)調后的J積分彈性分量，ae為考慮材料冪硬化特性，進行塑性區(qū)修正的Irwin有效裂紋長度，即

式中：?為CTOD擴展驅動力；P為按單位厚度進行歸一化處理后的外載荷；PY為單位厚度時的極限載荷；rY為引入材料應變硬化特性后的修正塑性區(qū)長度，即

式中：K1為應力強度因子；β為系數(shù)，平面應力情況下，β=2。

塑性區(qū)修正尺寸rY的特點為：對于符合應變硬化規(guī)律的材料，n取1～∞（當n=1時，為彈性材料，不必考慮塑性區(qū)長度的修正，即rY=0；當n→∞時，為理想彈塑性材料，rY與von Mises屈服準則定義的塑性區(qū)尺寸一致）。

在線彈性條件下，有

式中：G為能量釋放率；對于平面應力情形彈性模量E′=E。

由斷裂力學知，線彈性條件下，無限寬裂紋板在拉伸載荷下的應力強度因子為

將式（4）代入式（3）后，再代入式（6），最后代入式（5），可得J積分彈性分量

J積分的全塑性分量表達式為［7］

式中，h1為與a/W和n有關的系數(shù)。

綜合上述理論推導，將Je和JP相加可得寬板在拉伸載荷下的J積分理論分析表達式，即

根據(jù)EPRI斷裂分析方法，平面應力情況下，寬板在拉伸載荷下有

由于本文推導的是工程應用的J積分理論分析模型，因而可進行以下簡化（簡化是偏于安全的）：對于J積分全塑性解部分，EPRI手冊僅僅給出了a/W≥0.125時h1的數(shù)據(jù)，本文a/W取值范圍為0.1～0.8，故本文根據(jù)該數(shù)據(jù)，由外推法得到a/W=0.1時，h1＜5.4，取h1=5.4。

綜上所述，可得寬板拉伸載荷作用下J積分的理論計算模型為

1.2加筋板結構的J積分理論計算模型

關于加筋板筋條對板強度的影響，F(xiàn)ujikubo等［9］提出用含有參數(shù)k的解析表達式來表示加強筋對板強度的影響系數(shù)，即

式中：tw是加強筋腹板厚度；t為帶板厚度；對于不同的型材，系數(shù)η取值不同，角鋼η=0.98-0.14（L/W），扁鋼η=0.12-0.02（L/W），T型鋼當L/W在2～3時η=0.6（L/W），當L/W在3～5時η=1-0.133（L/W），L/W為板的邊長比。

加筋板拉伸載荷下J積分的理論計算式為

由此式可知，加筋板彈塑性斷裂的主要影響因素有：裂紋長度、材料性能、外載荷、板主尺度、筋條類型與截面尺寸等。當材料與板主尺度一定時，J積分隨裂紋長度與外載荷增加而增大，隨筋條截面尺寸的增加而減小。

2　有限元數(shù)值仿真

考慮筋條對焊接加筋板結構的疲勞裂紋擴展壽命的影響，Mahmoud等［10］進行了一系列數(shù)值模擬。本文采用文獻［10］的焊接加筋板結構模型，結合有限元分析軟件ANSYS中的疲勞斷裂分析模塊對加筋板結構的J積分進行仿真計算。為了模擬裂紋尖端的奇異性，在裂尖處設置奇異單元。圖2表示加筋板結構J積分仿真分析的有限元模型和裂尖網(wǎng)格劃分圖。

圖2　含中心穿透裂紋的加筋板1/4有限元模型和裂尖網(wǎng)格劃分圖Fig.2　The 1/4 FE model of center through cracked stiffened plate and the crack tip mesh diagram

選取的加筋板結構幾何尺寸為：長2L= 1 600 mm，寬2W=800 mm，筋條間距2S=400 mm，板厚t=5 mm。初始裂紋長度2a=80 mm。材料參數(shù)：彈性模量E=2.06×105MPa，泊松系數(shù)μ=0.3，屈服強度σY=235 MPa。圖3為3點彎曲試樣的J阻力曲線，ASTM E1820-1999a采用的鋼材為DH40鋼。圖4為加筋板與光板的J阻力曲線，其中加筋板筋條選用T90×4/60×4，單位為mm。圖5為選取3種不同加筋板剛度比λ=EsAs/EWt分別為0.1，0.2，0.3的J阻力曲線，筋條截面尺寸（單位：mm）分別為：T90×4/60×4，T60×4/40×4，T30×4/20×4。剛度比為筋、板的拉伸剛度比，其中Es，As分別為筋條的彈性模量與橫截面積。圖6為載荷—J積分曲線，其中選取裂紋長度40 mm，筋條間距80 mm，考慮到加筋板從彈性狀態(tài)到彈塑性狀態(tài)，外載荷范圍取10～120 MPa。

圖33　點彎曲試樣的J阻力曲線Fig.3　The J resistance curves of three-point bending specimen

圖4　加筋板與光板的J阻力曲線Fig.4　The J resistance curves of stiffened plate and plate without stiffener

圖53　種剛度比下加筋板的J阻力曲線Fig.5　The J resistance curves of stiffened plate with three stiffness ratios

圖6　載荷—J積分曲線Fig.6　The load-J integration curve

從圖3中可以看出：本文所采用的有限元計算模型結果與已有的ASTM E1820-1999a實驗模型結果吻合良好，可以驗證文中有限元計算的正確性。

從圖4中可以看出：

1）加筋板的理論計算結果與有限元計算結果符合良好，且理論計算值比有限元計算值大，說明此理論計算模型是偏于安全的。在本模型中，加筋板的理論計算值比光板的有限元計算值稍大。

2）從隨裂紋長度變化的J積分曲線來看，加筋條的存在對裂紋板有一定的加強作用。相較于無筋條中心裂紋板，隨著裂紋長度的增大，無加筋條裂紋板的J積分總是大于加筋板的J積分，表明加筋條可以提高結構的強度和剛度，具有良好的止裂性能。在筋條附近，加筋條的存在顯著降低了加筋板結構的J積分，從而降低疲勞裂紋擴展速率，即在相同載荷作用下加筋板結構相對光板的疲勞裂紋擴展壽命明顯增大。

3）板與加筋板2種結構的J積分曲線在裂紋初始擴展階段較為緩慢，隨著裂紋長度的增大，其擴展速率也不斷增大，裂紋失穩(wěn)擴展現(xiàn)象極有可能發(fā)生。

4）在裂紋長度與板寬比值小于0.4和大于0.6的范圍內，加筋條對裂尖處J積分的影響不大，說明筋條對裂紋板的加強作用不太明顯；裂紋尖端擴展到筋條附近時，裂尖處J積分明顯降低，說明筋條對含裂紋板有較為顯著的加強作用，以上說明筋條對裂紋尖端J積分具有一定影響。

從圖5可以看出：

1）相較于無筋條中心裂紋板，隨著裂紋長度的增大，加筋條對J積分的影響隨著加筋板剛度比的增加而不斷增大，加筋板的剛度比增加，在筋條處其J積分的下降幅度也隨之增加，使得結構止裂能力增加。

2）對于裂紋長度的不同，不同剛度比加筋板表現(xiàn)的加強效果也不一致。裂紋尖端距離筋條稍遠時，3種剛度比對應的J積分曲線比較接近，說明在此區(qū)域筋條對裂紋板的加強作用不太明顯。但裂紋尖端越靠近筋條時，3種剛度比對應的J積分值區(qū)別越大，說明加筋板剛度比的增大，其抑制加筋板裂紋擴展的能力也增強，表明在筋條附近區(qū)域，加筋板的剛度比對加筋板的止裂特性有較大影響。

從圖6中可以看出：

1）隨著所加外載荷的不斷增大，裂尖處J積分也不斷增大，且初始階段增加比較緩慢。

2）所加外載荷與J積分之間的關系呈冪次關系。

3　結論

通過對船舶加筋板結構的J積分從理論及數(shù)值方面進行分析，可得如下結論：

1）加筋條具有良好的止裂性能，且加筋板的剛度比對加筋板的止裂特性有較大影響，加筋板的剛度比增大則抑制加筋板裂紋擴展的能力增強。

2）J積分中引入筋條對板的加強系數(shù)，得到了加筋板的低周疲勞J積分模型，經(jīng)驗證明與工程實際情況相符。

3）本文得到的考慮應變硬化效應的加筋板J積分理論計算模型與有限元結果符合較好，接近工程實際，為低周疲勞彈塑性斷裂研究提供了新的途徑和方法。用EPRI提供的彈塑性評定公式，計算得到了應變疲勞裂紋擴展過程中不同裂紋長度所對應的J積分值。因而，EPRI斷裂分析方法是一套行之有效的J積分計算方法。

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［責任編輯：胡文莉］

Elasto-Plastic Fracture Analysis of J Integration for Stiffened Plates

WANG Hong1，YANG Ping1，2，DENG Junlin1，DONG Qin1
1 School of Transportation，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China
2 Key Laboratory of High Performance Ship Technology of Ministry of Education，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China

Based on the EPRI method of fracture analysis and combined with the interaction coefficient of stiffeners and plates，a computational formula of J integration is proposed in this paper for the material that coincides with the Ramberg-Osgood stress-strain relationship.Meanwhile，numerical simulation is carried out with the finite element software ANSYS，whose results are compared with the data obtained from the theoretical model.It is shown that the theoretical model can be viewed as reliable，which accurately reflects the fracture behavior of the stiffened plate and the anti-crack property of stiffeners.Therefore，it can be di?rectly applied into the theoretical analysis of stiffened plates under fatigue loads.Overall，the results in this paper are of vital importance for the low cycle fatigue research on hull structures.

J integration；stiffened plate；strain-hardening material；elasto-plastic fracture

U661.41

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2015.01.007

2014-08-29

網(wǎng)絡出版時間：2015-1-28 12:01

國家自然科學基金資助項目（51479153）；中央高校研究生自主創(chuàng)新資助項目（2014-zy-019）

王紅，女，1989年生，碩士生。研究方向：船舶與海洋結構物設計制造，結構安全性與可靠性研究。E?mail：wanghong2011xyz@163.com

楊平（通信作者），男，1955年生，博士，教授，博士生導師。研究方向：船舶與海洋結構物設計制造，結構安全性與可靠性研究。E?mail：pyangwhut@163.com