常 娟，杜迎雪，劉衛(wèi)鋒

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系，河南 鄭州450015)

區(qū)間數(shù)多指標(biāo)決策問題廣泛地應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)、管理及現(xiàn)實生活中，研究者針對這一問題提出了很多決策方法，如劉家學(xué)［1］提出了多指標(biāo)決策的最優(yōu)線性分派法，張吉軍［2-3］給出了權(quán)重為區(qū)間數(shù)的多指標(biāo)決策問題的逼近理想點法和灰色關(guān)聯(lián)分析法.但區(qū)間數(shù)取值范圍往往過大，不能體現(xiàn)取值的重心，會造成較大的信息誤差.針對這一不足，卜廣志［4］定義了三參數(shù)區(qū)間數(shù)，并提出了三參數(shù)區(qū)間數(shù)灰色模糊綜合評價法的方法和步驟.在此基礎(chǔ)上，胡啟洲［5］介紹了逼近理想點法在解決權(quán)重為區(qū)間數(shù)的三參數(shù)多指標(biāo)決策問題中的應(yīng)用.吳紅華［6］通過建立三參數(shù)區(qū)間數(shù)的綜合評價模型給出了其在災(zāi)害損失評估中的應(yīng)用.汪新凡［7］介紹了三參數(shù)區(qū)間數(shù)據(jù)信息的集成算子及其在決策中的應(yīng)用.然而，在現(xiàn)實中對于三參數(shù)區(qū)間數(shù)中重心的選擇往往是模糊的.因此，胡軍華［8］提出了四參數(shù)區(qū)間數(shù)，并給出了一種基于四參數(shù)區(qū)間數(shù)的集結(jié)算子的決策方法.

本研究針對四參數(shù)區(qū)間數(shù)的多指標(biāo)決策問題提出了逼近理想點法.首先，介紹了區(qū)間數(shù)的相關(guān)定義，給出了四參數(shù)區(qū)間數(shù)的一些運算形式，定義了四參數(shù)區(qū)間數(shù)向量間的距離.隨后，通過定義正負(fù)理想點和計算各方案到理想點的距離及貼近度實現(xiàn)方案的優(yōu)劣排序，確定最優(yōu)方案.最后，通過實例說明了此方法在實際問題中的應(yīng)用.

1 相關(guān)概念

定義1［9］設(shè)R為實數(shù)域，a，b∈R且a≤b，則稱閉區(qū)間［a，b］為區(qū)間數(shù)，即兩參數(shù)區(qū)間數(shù).特別地，當(dāng)a=b時區(qū)間數(shù)就退化為實數(shù)，即確定數(shù).

定義2三參數(shù)區(qū)間數(shù)指用3個參數(shù)來表示的區(qū)間數(shù)，記為α=［al，a*，au］，其中的al，a*，au∈R且al≤a*≤au.al和au分別表示區(qū)間數(shù)取值的下限和上限，稱為區(qū)間數(shù)的下限和上限;a*表示此區(qū)間數(shù)中取值可能性最大的數(shù)，稱為三參數(shù)區(qū)間數(shù)的重心或最理想值，且滿足，fmax=f(a*).

定義3四參數(shù)區(qū)間數(shù)是用4個參數(shù)表示的區(qū)間數(shù)，記為α=［al，a*l，a*u，au］，其中的al，a*l，a*u，au∈R且al≤a*l≤a*u≤au.al和au分別表示此區(qū)間數(shù)的下限和上限，稱為四參數(shù)區(qū)間數(shù)的下限和上限;a*l和a*u分別表示在此區(qū)間內(nèi)的下限最可能值與上限最可能值，也是此區(qū)間的雙重心點.當(dāng)a*l=a*u時，α退化為三參數(shù)區(qū)間數(shù);當(dāng)al=a*l=a*u=au時，α退化為普通實數(shù).

定義4設(shè)四參數(shù)區(qū)間數(shù)α=［al，a*l，a*u，au］，β=［bl，b*l，b*u，bu］，k∈R.定義如下運算:α+β=［al+bl，a*l+b*l，a*u+b*u，au+bu］，kα=［kal，ka*l，ka*u，kau］(k≥0)，kα=［kau，ka*u，ka*l，kal］(k＜0)，αβ=，這里要求al，bl＞0.

定義5設(shè)四參數(shù)區(qū)間數(shù)α=［al，a*l，a*u，au］，β=［bl，b*l，b*u，bu］，定義|α-β|=max{|al-bl|，|a*l-b*l|，|a*u-b*u|，|au-bu|}為四參數(shù)區(qū)間數(shù)α，β的距離.

定義6 設(shè)ξ={α1，α2，…，αn}，η={β1，β2，…，βn}表示兩個四參數(shù)區(qū)間數(shù)的向量，其中，，，i=1，2，…，n，定義為ξ，η的距離．

容易驗證d(ξ，η)滿足下面3個性質(zhì):

(1)d(ξ，η)≥0，且d(ξ，η)=0當(dāng)且僅當(dāng)ξ=η;

(2)d(ξ，η)=d(η，ξ);

2 四參數(shù)區(qū)間數(shù)多指標(biāo)決策的逼近理想點法

2.1 建立決策矩陣和規(guī)范化決策矩陣

設(shè)方案集為X={x1，x2，…，xm}，指標(biāo)集為U={u1，u2，…，un}，指標(biāo)權(quán)重集為w={w1，w2，…，wn}，決策者根據(jù)第i個指標(biāo)uj給出評價對象xi的屬性值為四參數(shù)區(qū)間數(shù)，于是四參數(shù)區(qū)間數(shù)決策矩陣可表示為

由于各指標(biāo)的量綱各異，所以需要對決策矩陣進(jìn)行無量化處理.令J+={效益型指標(biāo)}，J+={成本型指標(biāo)}，可利用以下公式對矩陣A規(guī)范化得到矩陣，其中

2.2 建立加權(quán)規(guī)范決策矩陣

將已知的權(quán)重w={w1，w2，…，wn}加權(quán)到規(guī)范化矩陣上，得到加權(quán)規(guī)范化矩陣其中，］，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n.

2.3 確定正負(fù)理想方案

2.4 計算距離和貼近度

設(shè)第i個方案到正理想方案A+的距離為，到負(fù)理想方案A-的距離為，由定義6可得

記第i個方案到正理想點A+的貼近度為ei，則，i=1，2，…，m.按貼近度由大到小排列，貼近度越大，則方案越優(yōu).

3 應(yīng)用

近年來，中國淡水湖水質(zhì)富營養(yǎng)化日趨嚴(yán)重，表1分別為中國5個湖泊的實測數(shù)據(jù).已知指標(biāo)中總磷、耗氧量、總氮含量越少，則透明度越高，水質(zhì)就越好，各指標(biāo)的權(quán)重集為{0.28，0.25，0.25，0.22}.現(xiàn)對5個湖泊的水質(zhì)進(jìn)行綜合評估.

表1 5個湖泊評價參數(shù)的實測數(shù)據(jù)Tab.1 Observation data of attribute parameters for 5 lakes

步驟1建立決策矩陣，對決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化，得矩陣

步驟2加權(quán)后的決策矩陣

步驟3確定正負(fù)理想點

正理想點A+={［0.28，0.28，0.28，0.28］，［0.25，0.25，0.25，0.25］，［0.25，0.25，0.25，0.25］，［0.22，0.22，0.22，0.22］}.

負(fù)理想點A-={［0.040 3，0.041 4，0.044 5，0.045 6］，［0.025 8，0.031，0.034，0.037 5］，［0.01，0.018 5，0.026 8，0.041 8］，［0.005 5，0.009 9，0.014 3，0.022］}.

步驟4計算貼近度

故有e3＞e5＞e4＞e2＞e1，即5個湖泊水質(zhì)的優(yōu)劣次序為A3＞A5＞A4＞A2＞A1.

［1］劉家學(xué)，黃德成.多指標(biāo)決策的最優(yōu)線性分派法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2000，22(7):25-27.

［2］張吉軍.權(quán)重為區(qū)間數(shù)的多指標(biāo)決策問題的逼近理想點法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2002，24(11):76-78.

［3］張吉軍.區(qū)間數(shù)多指標(biāo)決策問題的灰色關(guān)聯(lián)分析法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2005，27(6):1030-1033.

［4］卜廣志，張宇文.基于三參數(shù)區(qū)間數(shù)的灰色模糊綜合評判［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2001，23(9):43-45.

［5］胡啟洲，張衛(wèi)華，于莉.三參數(shù)區(qū)間數(shù)研究及其在決策分析中的應(yīng)用［J］.中國工程科學(xué)，2007，9(3):47-51.

［6］吳紅華，李正農(nóng).災(zāi)害損失評估的三參數(shù)區(qū)間數(shù)模糊綜合評判法［J］.自然災(zāi)害學(xué)報，2008，17(5):64-69.

［7］汪新凡.三參數(shù)區(qū)間數(shù)據(jù)信息集成算子及其在決策中的應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008，30(8):1468-1473.

［8］胡軍華，林增鈺.基于四參數(shù)區(qū)間數(shù)的多準(zhǔn)則決策方法［J］.運籌與管理，2013，22(6):84-91.

［9］Sengupta A，Pal T K.On comparing interval numbers［J］.European Journal of Operational Research，2000(127):28-43.