王　云, 劉冬梅

(東華大學 a. 理學院; b. 信息科學與技術(shù)學院, 上海 201620)

一個帶Logistic源的吸引-排斥趨化模型的定性分析

王云a, 劉冬梅b

(東華大學 a. 理學院; b. 信息科學與技術(shù)學院, 上海 201620)

利用先驗估計技巧, 證明了一個帶Logistic源的吸引-排斥趨化模型整體解的存在性和有界性. 進一步, 在初始細胞密度有正下界和Logistic阻尼系數(shù)充分大的假設之下,當時間趨于無窮大時, 證明了該模型解在L2(Ω)意義下收斂到非零常數(shù)靜止解.

趨化性; 吸引; 排斥; 有界性; 收斂性

趨化性(chemotaxis)是指細胞由信號濃度變化而引起的偏向運動. 趨化吸引是指細胞朝信號濃度增大的地方遷移, 而趨化排斥是指細胞朝遠離信號濃度增大的地方運動. 經(jīng)典的趨化模型[1]由Keller-Segel在1970年提出, 該模型是刻畫細胞的趨化吸引現(xiàn)象, 在數(shù)學上它也已被進行廣泛而深入的研究[2-3]. 該模型有一個顯著特點, 即其解有可能在有限時間內(nèi)爆破. 然而, 在現(xiàn)實生活中, 趨化吸引和排斥現(xiàn)象同時存在, 從而產(chǎn)生有趣的生物斑圖[4-5].

因此, 本文考慮如下的吸引-排斥趨化模型：

(1)

這里Ω?Rn(n≥2)是一個有界光滑區(qū)域; χ, ξ, μ, α, β, γ和δ均為給定的正常數(shù). u=u(x,t), v=v(x, t), w=w(x, t),其中, u表示細胞密度, v表示由細胞分泌的吸引同伴的化學物質(zhì)濃度, w表示由細胞分泌的排斥同伴的化學物質(zhì)濃度. 模型(1)中第一個方程表明: 除隨機運動外, 細胞的運動同時受到吸引和排斥兩種機制的影響; 另外, 細胞的出生和死亡滿足Logistic定律. 由于化學物質(zhì)濃度的擴散率遠比細胞的擴散率大, 因此, 在模型(1)中的第二個和第三個方程中, 用擬穩(wěn)態(tài)方程來逼近化學濃度的反應-擴散過程. 模型(1)中的第二、三個方程分別表示趨化吸引和趨化排斥化學物質(zhì)由細胞自身分泌, 且該化學物質(zhì)經(jīng)歷衰減.模型(1)中, 假設u,v,w滿足零流邊界條件, 即假設在邊界處細胞和兩種化學物質(zhì)的凈流量為零.

在μ=0及ξ γ-χ α>0(即“排斥強于吸引”)的假設下, 文獻[6]研究了模型(1)的整體解的存在性和收斂性. 而本文在假設μ>0及χ α-ξ γ>0(即“吸引強于排斥”)之下, 研究模型(1)的整體解存在性、有界性和漸近性.

首先有如下的關(guān)于整體解的存在性和有界性的結(jié)論.

(2)

尤其, 當n=2時, μ>0即可.

進一步, 如果初始細胞密度有正下界, 將證明模型(1)的解在L2(Ω)意義下收斂到非零常數(shù)穩(wěn)態(tài)解.

ε≤u0≤A,

(3)

就存在常數(shù)C>0, 使得模型(1)的解具有下列性質(zhì): 對所有的t>0, 成立

‖u(·,t)-1‖L2(Ω)≤Ce-λt,

(4)

(5)

(6)

本文中μ*的精確值是未知的, 可能不需要μ足夠大.

1　整體解的存在性及定理1的證明

類似于古典的趨化模型的局部可解性[6-8], 有引理1.1關(guān)于模型(1)的局部可解性結(jié)論(其證明與文獻[6]類似, 故在此略去).

進一步, 如果Tmax<∞, 則

(7)

接下來, 推導基本的質(zhì)量估計.

引理1.2模型(1)的古典解(u,v,w)有如下性質(zhì):

t∈(0,Tmax),

(8)

(9)

(10)

證明：模型(1)中第一個方程的兩邊在Ω上積分, 并利用分部積分, 模型(1)中的零流邊界條件及H?lder不等式可得

(11)

根據(jù)式(11)并由常微分方程的比較原理, 推得式(8). 模型(1)中第二個方程的兩邊在Ω上積分, 并利用式(8), 推得式(9). 同理, 證得式(10).

引理1.2得證.

建立解的Lp先驗估計.

∫Ωupdx≤C,t∈(0,Tmax),

(12)

其中C>0為常數(shù).

證明：利用模型(1)中的方程, 直接計算得

-(p-1)∫Ωup-2|▽u|2+χ(p-1)∫Ωup-1▽u·▽v-ξ(p-1)∫Ωup-1▽u·▽w+μ∫Ωup-μ∫Ωup+1=

μ∫Ωup-μ∫Ωup+1=

t∈(0,Tmax).

(13)

因為u≥0, v≥0, 所以

(14)

從而由式(2), 有

(p-1)ξδ∫Ωupw+μp∫Ωup,

t∈(0,Tmax).

(15)

再來估計式(15)中的最后兩個積分. 事實上, 由Young不等式知

c1∫Ωwp+1,t∈(0,Tmax),

(16)

其中c1>0為常數(shù). 類似地,

(17)

其中c2>0為常數(shù).

由式(15)～(17), 推得

c1∫Ωwp+1+c2,t∈(0,Tmax).

(18)

下面再來估計式(18)中的積分∫Ωwp+1. 由標準的橢圓Lp-估計[9-10]知: 存在某個常數(shù)c3>0, 使得

‖w(·,t)‖W2,p(Ω)≤c3‖u(·,t)‖Lp(Ω),

t∈(0,Tmax).

(19)

再根據(jù)Gagliardo-Nirenberg不等式, 并由式(19)和(10), 推得某兩個常數(shù)c4>0和c5>0使得

(20)

其中

(p+1)a

(21)

從而, 用Young不等式進一步估計

c5∫Ωup+2c5≤

(22)

其中c6>0為常數(shù). 綜合式(18)和(22)得到

(23)

其中c7:=c2+c6.再在式(23)的兩邊加上∫Ωup得

t∈(0,Tmax).

(24)

再由Young不等式推得

(25)

結(jié)合式(24)和(25)得

(26)

其中c9:=c7+c8.由式(26)進一步推得

∫Ωup≤c10:=∫Ωu0p+c9,t∈(0,Tmax).

(27)

引理1.3得證.

定理1的證明由引理1. 3及著名的Moser-Alikakos迭代技巧[11-12]可以得到: 在式(2)假設之下, 存在某個常數(shù)c1>0使得

‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤c1,t∈(0,Tmax).

(28)

因此, 定理1的結(jié)論是先驗估計式(28)、引理1. 1和可延拓準則(7)的直接推論.

2　解的收斂性以及定理2的證明

引理2.1假設χ α-ξ γ>0且μ>χ α-ξ γ, 則存在常數(shù)L>0, 使得

‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤L,t∈(0,Tmax),

(29)

(30)

(31)

證明:由式(28)即可得式(29), 再由式(29)和橢圓最大值原理推得式(30)和(31).

引理2.1得證.

(32)

證明: 用反證法. 假設式(32)不成立, 則存在第一個t*>0和某個x*∈Ω, 使得從而, 根據(jù)t*的定義知: 當x∈Ω, 0

ut(x*,t*)≤0, ▽u(x*,t*)=0,Δu(x*,t*)≥0.

所以, 在(x*,t*)處, 有

ut-Δu+χ▽u·▽v-ξ▽u·▽w≤0.

(33)

另一方面, 由模型(1)中的第一個方程、式(30)及(x*,t*)的定義, 并注意到χ α-ξ γ>0, u≥0, w≥0及ε∈(0,1)，可知在(x*,t*)處, 有

ut-Δu+χ▽u·▽v-ξ▽u·▽w=

(χ α-ξ γ)u2+ξδuw+μ u-μ u2-χβuv≥

μ u-μ u2-χβuv≥

ut-Δu+χ▽u·v-ξ▽u·▽w≥

引理2. 2得證.

引理 2.3模型(1)的任一古典解具有下列性質(zhì):

(34)

(35)

(36)

(37)

證明由模型(1)的第二個方程可得:

(38)

(39)

再由Young不等式可得：

(40)

因此,

(41)

據(jù)此可推得式(34)和(36). 同理可證得式(35)和(37).

引理2.3得證.

(42)

對式(42)的兩邊關(guān)于x在Ω上積分, 并利用柯西不等式及式(29)和(32)可得:

ξ∫Ωu▽u·▽w-μ∫Ωu(u-1)2≤

再利用式(34)和(35)可得

(43)

(44)

(45)

再積分之, 推得: 對任意的t>0, 成立

∫Ω(u-1)2≤e-2λt∫Ω(u0-1)2,

(46)

即對任意的t>0, 成立

‖u(·,t)-1‖L2(Ω)≤‖u0-1‖L2(Ω)·e-λt.

因此式(4)成立, 據(jù)此及式(36)和(37)推知式(5)和(6)成立.

[1] KELLER E F, SEGEL L A. Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability[J]. J Theor Biol, 1970, 26(3): 399-415.

[2] HORSTMANN D. From 1970 until present: The Keller-Segel model in chemotaxis and its consequences[J]. Jahresber der Deutsch Math-Verein, 2003, 105(3): 103-165.

[3] HILLEN T, PAINTER K. A users’ guide to PDE models for chemotaxis[J]. J Math Biol, 2009, 58(1): 183-217.

[4] GATES M A, COUPE V M, TORRES E M, et al. Spatially and temporally restricted chemoattractant and repulsive cues direct the formation of the nigro-sriatal circuit[J]. Euro J Neurosci, 2004, 19(4): 831-844.

[5] PAINTER K, HILLEN T. Volume-filling and quorum-sensing in models for chemosensitive movement[J]. Canad Appl Math Quart, 2002, 10(4): 501-543.

[6] TAO Y S, WANG Z A. Competing effects of attraction vs. repulsion in chemotaxis[J]. Math Mod Meth Appl, 2013, 23(1): 1-33.

[7] HORSTMANN D, WINKLER M. Boundedness vs blow-up in a chemotaxis system[J]. J Differential Equations, 2005, 215(1): 52-107.

[9] AGMONS S, DOUGLIS A, NIRENBERG L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions.I[J]. Comm Pure Appl Math，1959, 12(4): 623-727.

[10] AGMONS S, DOUGLIS A, NIRENBERG L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions.II[J]. Comm Pure Appl Math, 1964, 17(1): 35-92.

[11] ALIKAKOS N D.Lpbounds of solutions of reaction-diffusion equations[J]. Commun Partial Differential Equations, 1979, 4(8): 827-868.

[12] TAO Y S. Boundedness in a chemotaxis model with oxygen consumption by bacteria[J]. J Math Anal Appl, 2011, 381(2): 521-529.

Qualitative Analysis of an Attractive-Repulsive Chemotaxis Model with Logistic Source

WANGYuna,LIUDong-meib

(a.College of Science; b. College of Information Science and Technology, Donghua University, Shanghai 201620, China)

The global existence and boundedness of solutions to an attractive-repulsive chemotaxis model with Logistic source is proven via a priori estimate techniques. Moreover, under the assumptions that the initial cell density possesses a positive lower bound and that the coefficient of Logistic dampening is sufficiently large, it is shown that the global solution converges to the non-trivial constant stationary solution in L2(Ω) as time goes to infinity.

chemotaxis; attraction; repulsion; boundedness; convergence

1671-0444(2015)03-0409-06

2014-03-21

王云(1989—)，女，安徽岳西人，碩士研究生，研究方向為偏微分方程.E-mail: 1057339219@qq.com

O 175.26

A