曹　軍，顏森林，孫小菡

（1.南京曉莊學(xué)院電子工程學(xué)院，南京211171；2.東南大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，南京210096）

波導(dǎo)傳感器中高效柱面波平面波轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的變換光學(xué)設(shè)計(jì)

曹軍1*，顏森林1，孫小菡2

（1.南京曉莊學(xué)院電子工程學(xué)院，南京211171；2.東南大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，南京210096）

基于阻抗可調(diào)的變換光學(xué)理論，設(shè)計(jì)了波導(dǎo)傳感器中二維平面波和柱面波相互轉(zhuǎn)換的光學(xué)結(jié)構(gòu)。通過(guò)在虛擬空間設(shè)置合適的阻抗函數(shù)，變換介質(zhì)邊界上的反射得到有效消除，實(shí)現(xiàn)了高效的平面波到柱面波轉(zhuǎn)換；轉(zhuǎn)換效率將隨著輸入波束寬度的增加而提高。四個(gè)相似轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的組合，可實(shí)現(xiàn)高效柱面波-平面波轉(zhuǎn)換，與采用傳統(tǒng)的變換光學(xué)設(shè)計(jì)比較，基于阻抗可調(diào)變換光學(xué)理論的設(shè)計(jì)，數(shù)值模擬表明轉(zhuǎn)換效率可提高約百分之六。

柱面波平面波轉(zhuǎn)換；波導(dǎo)傳感器；阻抗可調(diào)；變換光學(xué)

EEACC：4110；4130doi：10.3969/j.issn.1004-1699.2015.12.005

柱面波與平面波相互轉(zhuǎn)換是波導(dǎo)傳感器［1-2］中非常重要的結(jié)構(gòu)單元，如何得到高效的轉(zhuǎn)換效率一直是急需解決的問(wèn)題。而基于麥克斯韋方程組協(xié)變的變換光學(xué)理論提供了一種全新的控制電磁波傳播方法［3］，通過(guò)選擇合適的坐標(biāo)變換可以設(shè)計(jì)各種具有獨(dú)特功能的電磁波器件，如隱形［4］，波導(dǎo)彎曲［5-6］，旋轉(zhuǎn)器［7-8］，能量聚集器［9-10］等。嵌入式坐標(biāo)變換理論［11］加快了變換光學(xué)設(shè)計(jì)的步伐，以更加靈活的方式可設(shè)計(jì)各種具有獨(dú)特功能的電磁波器件，但是嵌入式坐標(biāo)變換是不連續(xù)的坐標(biāo)變換，當(dāng)理論應(yīng)用于某些變換光學(xué)設(shè)計(jì)［12-14］時(shí)，由于電場(chǎng)方向和磁場(chǎng)方向的坐標(biāo)拉伸率不同，導(dǎo)致在邊界阻抗失配，存在反射，影響了器件的性能。應(yīng)用阻抗可調(diào)的變換光學(xué)理論［15］，在虛擬空間預(yù)先設(shè)置空間連續(xù)的阻抗函數(shù)，可以抵消不連續(xù)坐標(biāo)變換帶來(lái)的阻抗失配，從而消除邊界上的反射，阻抗可調(diào)變換光學(xué)理論推廣了變換光學(xué)理論，由于阻抗函數(shù)的非唯一性，變換介質(zhì)的材料參數(shù)可以有多種選擇，便于實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)。

應(yīng)用變換光學(xué)理論可以同時(shí)控制電磁波傳播方向和強(qiáng)度，柱面波與平面波轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)就是其中的一個(gè)典型的例子，通過(guò)坐標(biāo)變換把虛擬空間中的一條弧線變換到物理空間中的直線，而這種弧線和直線的坐標(biāo)變換必然會(huì)導(dǎo)致變換介質(zhì)邊界上的阻抗失配［13］，通過(guò)數(shù)值模擬證實(shí)了邊界上有少量的反射存在［14］。本文應(yīng)用阻抗可調(diào)變換光學(xué)理論［15］通過(guò)在虛擬設(shè)置合適的阻抗函數(shù)方法消除反射，實(shí)現(xiàn)高效的平面波與柱面波轉(zhuǎn)換，該結(jié)構(gòu)可方便應(yīng)用于波導(dǎo)傳感器中的電磁波轉(zhuǎn)換單元。

1　柱面波平面波轉(zhuǎn)換器設(shè)計(jì)

在阻抗可調(diào)變換光學(xué)設(shè)計(jì)中，設(shè)置虛擬空間中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε0/k和kμ0，對(duì)于給定的變換為雅可比變換矩陣的矩陣元，變換介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率可由下式［15］計(jì)算得到：

本文的主要工作是在柱面波平面波轉(zhuǎn)換器的變換光學(xué)設(shè)計(jì)中找到一個(gè)合適的阻抗函數(shù)k，消除邊界反射，提高轉(zhuǎn)換效率。

1.1坐標(biāo)變換

柱面波平面波轉(zhuǎn)換裝置二維坐標(biāo)變換如圖1所示，把虛擬空間中內(nèi)外半徑分別為r1，r2的弧形區(qū)域（x,y,z）變換到變換空間中的四邊形區(qū)域ABCD（x′,y′,z′）。

圖1　R柱面波平面波轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)坐標(biāo)變換示意圖

設(shè)坐標(biāo)變換沿半徑方向線性，則坐標(biāo)變換公式為：

上述變換矩陣的矩陣元為：

其它的矩陣元都為0，上述的表達(dá)式都要統(tǒng)一轉(zhuǎn)換成變換空間的坐標(biāo)。

1.2阻抗函數(shù)

若選擇參數(shù)r1=a，上述的變換在弧線邊界AB上連續(xù)，而在直線邊界CD上不連續(xù)，通過(guò)考察邊界CD上的反射系數(shù)設(shè)置阻抗函數(shù)，這里只討論TE平面極化波入射情況，設(shè)電磁波沿與z軸成θ角從邊界AB上E點(diǎn)入射到變換介質(zhì)，從邊界CD上F點(diǎn)垂直射出。根據(jù)幾何光學(xué)理論，由電磁場(chǎng)的切向連續(xù)性條件得到反射系數(shù)為：

用傳統(tǒng)的變換光學(xué)設(shè)計(jì)（k=1），在角度不太大的情況下，上述的反射系數(shù)約等于零，可認(rèn)為阻抗近似匹配。而隨著角度的增大，失配的程度越大，這時(shí)采用阻抗匹配技術(shù)是必要的，通過(guò)設(shè)置阻抗函數(shù)可以消除反射，提高轉(zhuǎn)換效率。

1.3數(shù)值模擬與分析

應(yīng)用有限元計(jì)算軟件Comsol對(duì)上述設(shè)計(jì)的柱面波平面波轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值模擬，參數(shù)取r1=a=0.2m，b=0.4m，r2=0.3m，AD與BC的夾角為120°，首先模擬平面波到柱面波轉(zhuǎn)換，采用高斯波模擬平面波，設(shè)輸入高斯波電場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式為exp（-x2/h），從右向左正中間入射邊界CD，波束的寬度由參數(shù)h決定，取h=0.6m2，輸入波的頻率為6 GHz，滿足幾何光學(xué)近似條件。如圖2（a），當(dāng)采用傳統(tǒng)的變換光學(xué)設(shè)計(jì)（阻抗不可調(diào)k=1）時(shí)，邊界有少量的反射存在，轉(zhuǎn)換效率約95%（定義轉(zhuǎn)換效率為轉(zhuǎn)換裝置輸出端的功率與輸入端的功率比值）；用阻抗可調(diào)變換光學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)置合適的阻抗函數(shù)（由式（5）確定）后，如圖2（b）所示，消除了反射，轉(zhuǎn)換效率接近100%，與圖2（a）相比，平面波到柱面波的轉(zhuǎn)換效率提高了約5%。

圖2　R平面波到柱面波轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)中電場(chǎng)分布

由前面的理論分析可知，當(dāng)電磁波波束的寬度很小時(shí)，電磁波能量主要集中在中間，這時(shí)候采用傳統(tǒng)的變換光學(xué)方法設(shè)計(jì)（k=1）阻抗失配不大，反射微小，可以忽略，而隨著入射波的寬度增大，反射增強(qiáng)。采用阻抗可調(diào)變換光學(xué)設(shè)計(jì)提高的效率與入射波的寬度有關(guān)，如圖3所示，隨著輸入波波束寬度的增加，采用阻抗可調(diào)變換光學(xué)設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)變換光學(xué)設(shè)計(jì)比較，提升的平面波到柱面波轉(zhuǎn)換效率增加，體現(xiàn)了采用阻抗匹配技術(shù)的必要性。

圖3　R不同寬度波束入射下采用阻抗匹配對(duì)提高轉(zhuǎn)換效率的影響

由于光路的可逆性，若在焦點(diǎn)O處輸入點(diǎn)源，該裝置可實(shí)現(xiàn)柱面波到平面波的轉(zhuǎn)換。利用多個(gè)這樣相似的結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)多路定向柱面波到平面波的轉(zhuǎn)換，文獻(xiàn)［14］中，設(shè)計(jì)了四路柱面波到平面波的轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)，由于在變換介質(zhì)的外邊界阻抗失配，數(shù)值模擬中觀察到了少量的反射，如圖4（a），與我們的理論分析一致。通過(guò)設(shè)置合適的阻抗函數(shù)，可以消除外邊界的反射，模擬結(jié)構(gòu)如圖4（b）。由于圖4（a）中反射不大，因而圖4（a）與4（b）中模場(chǎng)分布差別很小，只是幅度略有不同，但通過(guò)出射效率的計(jì)算，采用阻抗可調(diào)的變換光學(xué)設(shè)計(jì)后轉(zhuǎn)換的效率提升了約6%。

最后我們通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算了不同頻率下采用阻抗可調(diào)變換光學(xué)設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)變換光學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)的效率，并進(jìn)行比較，如圖5所示，通過(guò)設(shè)置合適的阻抗函數(shù)后提升的柱面波到平面波轉(zhuǎn)換效率在不同的入射波頻率下都能維持在6%左右。

圖4　R柱面波到平面波轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)中電場(chǎng)分布

圖5　R不同頻率下設(shè)置阻抗函數(shù)對(duì)柱面波到平面波轉(zhuǎn)換效率的提升

2　結(jié)論

采用阻抗可調(diào)變換光學(xué)理論，設(shè)計(jì)了一種可應(yīng)用于波導(dǎo)傳感的高效二維平面波柱面波轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)單元。通過(guò)考察邊界上的反射系數(shù)，推導(dǎo)了虛擬空間中的阻抗函數(shù)，數(shù)值模擬表明采用阻抗可調(diào)變換光學(xué)設(shè)計(jì)消除了反射，提高了柱面波平面波轉(zhuǎn)換效率，該方法可推廣應(yīng)用于三維變換光學(xué)設(shè)計(jì)。

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Transformation Optical Design of High Efficiency Cylindrical-to-Plane-Wave Conversion in Waveguide Sensor

CAO Jun1*，YAN Senlin1，SUN Xiaohan2
（1.Department of Electronic Engineering，Nanjing Xiaozhuang University，Nanjing 211171，China 2.Department of Electronic Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China）

Based on impedance-tunable transformation optics，the optical design of two dimensional conversion between cylindrical waves and plane waves is realized in waveguide sensor.By tuning impedance coefficients in the original space to remove the reflections at the boundary，a high efficient plane-to-cylindrical-wave conversion is obtained through calculating the reflection coefficient of the waves at the boundary；the efficiency can be enhanced with increasing the beam width.Four similar structures are designed for a high-efficiency cylindrical-to-plane-wave conversion，one can obtain a higher efficiency by using impedance-tunable transformation optics compared with conventional transformation optics，and the numerical simulations show that increased efficiency is about six percent.

Cylindrical-to-plane-wave conversion；waveguide sensor；impedance tunable；transformation optics

曹軍（1978-），男，南京曉莊學(xué)院電子工程學(xué)院講師；2015年于東南大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院獲物理電子學(xué)博士學(xué)位，主要從事光學(xué)器件設(shè)計(jì)的理論和應(yīng)用研究。

O435.1

A

1004-1699（2015）12-1766-04

2015-09-24修改日期：2015-11-06