李凱，何書韜，邱永康，吳國民，郭文杰，李天勻

附加多個集中質(zhì)量加筋板的自由振動分析

李凱1，何書韜1，邱永康2，吳國民1，郭文杰2，李天勻2

1中國艦船研究設(shè)計中心，湖北武漢430064
2華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

基于能量泛函變分的方法，研究附加多個集中質(zhì)量縱橫加筋板的自由振動特性。在處理板與筋條的變形協(xié)調(diào)約束條件時，通過引入拉格朗日乘子，把板、梁組合振動分析問題轉(zhuǎn)化為處理一類無約束泛函變分問題，從而得到加筋板的廣義特征值矩陣方程。通過集中質(zhì)量點的形式引入板上裝載設(shè)備質(zhì)量。求解方程可以得到組合結(jié)構(gòu)的各階固有頻率。以四邊簡支邊界條件縱橫離散加筋板為計算實例，通過特征值確定其振型并與仿真分析結(jié)果進行對比分析，表明其準確有效，可為此類工程問題的研究提供理論基礎(chǔ)。

加筋板；集中質(zhì)量；拉格朗日乘子；泛函變分

期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

引用格式：李凱，何書韜，邱永康，等.附加多個集中質(zhì)量加筋板的自由振動分析［J］.中國艦船研究，2015，10（5）：66-70.

LIKai，HE Shutao，QIU Yongkang，et al.Free vibration analysisof rectangular stiffened plateswith several lumped mass［J］.Chinese Journalof Ship Research，2015，10（5）：66-70.

0　引言

裝載設(shè)備的加筋板結(jié)構(gòu)在現(xiàn)代船舶工程結(jié)構(gòu)中占據(jù)著重要地位，對附加多個集中質(zhì)量縱橫離散加筋板的自由振動的研究不僅可以精確預(yù)報出其固有頻率、振型和感興趣部位的內(nèi)力矩，在實際工程中起到防止結(jié)構(gòu)發(fā)生共振出現(xiàn)有害振動的作用，而且對結(jié)構(gòu)動力分析具有重要的理論意義。

由于加筋板結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用，其動態(tài)特性求解方法得到國內(nèi)外學(xué)者的大量研究。Chen等［1］通過使用有限差分法研究了具有單筋的矩形加筋板的自由振動特性。在能量方程中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)由有限差分方程組取代，能量方程根據(jù)相對離散的位移分量、自然頻率和加筋板的振型進行最小化，其中振型可以通過特定的線性代數(shù)特征值問題進行解決。Dowell［2］提出采用拉格朗日乘子法對任意邊界條件的線性結(jié)構(gòu)進行自由振動分析，該方法基于運用拉格朗日算子代換瑞利—李茲法分析結(jié)構(gòu)模態(tài)時的該結(jié)構(gòu)的邊界或約束條件。Azimi等［3］利用導(dǎo)納法對在兩對邊簡支和/或固定，另外兩對邊剛性簡支和簡支的邊界條件下的矩形薄板進行計算，求解了類似的問題。Aksu等［4］基于變分原理與有限差分法相結(jié)合的方法求解了偏心加筋板的動態(tài)特性，分析考慮了板的面內(nèi)變形的方向和面內(nèi)慣性。板和加強筋的應(yīng)變能與動能運用有限差分方法由離散的位移分量表示。Mead等［5］采用用于研究二維周期結(jié)構(gòu)的波傳播方法對常規(guī)的正交陣列均勻梁鋼筋進行了研究。Bishop等［6］通過動柔度法對組合結(jié)構(gòu)的動態(tài)分析進行了研究。Godfracht等［7］利用伽遼金法在充分考慮板和加強筋之間結(jié)合處的轉(zhuǎn)角協(xié)調(diào)等因素后，對此類問題進行了分析。曾子平等［8］應(yīng)用拉格朗日乘子法，通過引入拉格朗日乘子，將板、梁組合結(jié)構(gòu)的振動分析問題處理成了一類無約束泛函變分問題，通過建立組合結(jié)構(gòu)的廣義特征值問題來求解此類問題。Mukherjee等［9］等通過引入一個等參加筋板單元解決了偏心加筋板的自由振動問題，該單元具有適應(yīng)不規(guī)則邊界的能力。此外，該方法因考慮了剪切變形，因而適用于厚板和薄板。Qing等［10］基于狀態(tài)向量方程理論的半解析法，即一種將復(fù)合材料加筋板的板和加強筋單獨考慮的新的自由振動分析的數(shù)學(xué)模型，考慮對復(fù)合材料加筋板的板和加強筋單獨開發(fā)。

本文將首先考慮板與加強筋在特定邊界條件下的振動特性，通過引入拉格朗日乘子，將離散加筋板的結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析問題轉(zhuǎn)化為能量泛函變分問題進行處理，以能量法為基礎(chǔ)構(gòu)建其廣義特征值問題，通過集中質(zhì)量點的形式對附加設(shè)備進行處理，以推導(dǎo)加筋板組合結(jié)構(gòu)的相關(guān)公式。與Dowell［2］的方法相比，本文并不涉及求解非線性特征值問題，避免了搜根的奇異性難題。本文將求解四邊簡支附加多個集中質(zhì)量的加筋矩形板的前五階固有頻率，并與有限元仿真結(jié)果進行對比分析，以說明本方法的有效性。

1　理論分析

本文的研究對象是一邊長分別為a，b，厚度為h的加筋矩形薄板，將裝載設(shè)備質(zhì)量以集中質(zhì)量點的形式布置在板上。坐標系選取和加強筋的分布如圖1所示。其中：橫向加筋數(shù)為imax，間距為b/（imax+1）；縱 向 加 筋 數(shù)為jmax，間距 為a/（jmax+1）；黑點表示集中質(zhì)量。

薄板彎曲自由振動滿足

式中：?2為拉普拉斯算子，；，為彎曲剛度；Wp為薄板撓度函數(shù)；μ為板的泊松比。

等截面梁（筋）的自由彎曲振動微分方程為

式中：E為彈性模量；I為截面慣量矩；ρ為梁單位長度的質(zhì)量；Wb為梁的撓度函數(shù)。

圖1　加筋薄板模型Fig.1　Modelof the stiffened platemodel

根據(jù)船舶結(jié)構(gòu)的特點，不失一般性，假設(shè)加筋板的邊界為簡支，則加強筋可看作兩端簡支梁，由此，板的撓度、第i根橫向筋條的撓度及第 j根縱向筋條的撓度可以分別表示為：

式中：Wp為板的撓度函數(shù)；W（）ib1為橫向加強筋的撓度函數(shù)，為縱向加強筋的撓度函數(shù)；Amn為板的幅值；為橫向加強筋的幅值，為縱向加強筋的幅值；m和n為板振型沿坐標方向的半波數(shù)。

加強筋與板組合應(yīng)滿足位移連續(xù)條件，在板與加筋條結(jié)合處位移相同，故其滿足變形協(xié)調(diào)條件：

對本文研究對象而言，縱、橫加強筋的邊界條件與板在該邊上的邊界條件一致，即梁的兩端簡支。所以梁和板結(jié)合部的振型可以用梁的振型表示：

式中，S為截斷項數(shù)。

將上式進行正交化處理，得

對于縱橫離散加筋板的彎曲振動能量方程，引入的質(zhì)量點與板間滿足位移連續(xù)條件，因自由振動質(zhì)量點相對位移很小，故勢能可忽略。加筋板在自由振動時，板的能量泛函滿足：

其中：Vp和Tp分別為結(jié)構(gòu)的勢能和動能；；h為板厚；ω為圓頻率。

梁的能量泛函滿足：

將位移函數(shù)式（3）代入上式，利用三角函數(shù)的積分正交性，可得

引入拉格朗日乘子λ，將加筋板組合結(jié)構(gòu)自由振動分析問題處理成能量泛函變分問題。加筋板的總能量泛函可以表示為

式中：λb1與λb2分別為橫向加強筋和縱向加強筋與矩形板組合的拉格朗日乘子，其可由相應(yīng)加強筋的振型表示：

將式（4）和式（5）以及式（11）代入式（10），根據(jù)簡支梁振型的正交性，將上式化簡后可得

根據(jù)最小勢能原理，加筋板架結(jié)構(gòu)能量泛函的極值條件為：

將式（7）、式（8）和式（12）代入上式求解可以得到方程組，寫成矩陣的形式為

因為幅值A(chǔ)mn不全為零，所以滿足

2　實際算例

根據(jù)本文方法編制程序，對四邊簡支附加集中質(zhì)量點的縱、橫加筋矩形板的固有頻率進行計算，梁在板上的加筋方式如圖2所示。

圖2　梁在板上加筋方式示意圖Fig.2　The layoutofbeam on the plate

假設(shè)板和加強筋的材料力學(xué)性能相同，數(shù)值分析的參數(shù)值如表1所示。

表1　加筋板參數(shù)取值表Tab.1　The parametersof the stiffened plate

質(zhì)量點參數(shù)取值如表2所示。

在數(shù)值分析過程中選取截斷項數(shù)M，N，S時，要對函數(shù)的收斂性進行分析，故而在解析法計算中選取不同的M，N，S對加筋板振動頻率（單位：Hz）進行對比分析，結(jié)果如表3所示。

表2　質(zhì)量點參數(shù)取值表Tab.2　The parametersof the equipment

表3　不同M，N，S時加筋板振動頻率對比表Tab.3　The vibration frequency of the stiffened p latew ith different M，N，S

根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)對比可知，當M=N=S=6時，函數(shù)就有較為良好的收斂性。故在運用解析法進行計算時，可以選取截斷項數(shù)M=N=S=6。

建立算例有限元模型進行仿真分析以驗證結(jié)果的準確性。附加多個集中質(zhì)量的加筋矩形板的有限元模型如圖3所示。

圖3　加筋矩形板的有限元模型Fig.3　The finite elementmodel of the plate

根據(jù)振型的關(guān)系，可以得出解析方法和有限元模型計算的固有頻率的對應(yīng)關(guān)系，加筋板的固有頻率（單位：Hz）對比結(jié)果如表4所示。表中，振型（i，j）表示加筋板x方向i個半波，y方向j個半波，表征其振型。

表4　能量法和仿真分析加筋板固有頻率對比表Tab.4　The com parison of natural frequency between the energy m ethod and the sim u lation analysis

由表4的數(shù)據(jù)可知，運用該方法處理附加集中質(zhì)量的加筋板組合結(jié)構(gòu)問題與有限元仿真分析結(jié)果之間的誤差很小，該方法的收斂性能好，具有較高的有效性和精度。

3　結(jié)論

本文所提出的方法也可用于求解其它邊界條件的附加多個集中質(zhì)量加筋板的固有頻率和振型。根據(jù)本文方法的理論推導(dǎo)和算例結(jié)果對比分析，可以得出以下結(jié)論：

1）通過引入拉格朗日乘子，將加筋板組合結(jié)構(gòu)的自由振動問題處理成能量泛函變分問題，對于求解附加多個集中質(zhì)量加筋板架組合結(jié)構(gòu)的振動問題，具有很好的適用性。

2）本文方法的收斂性較好，因為假定位移函數(shù)均為板、梁的真實位移函數(shù)，則應(yīng)用較少的模態(tài)便可得出精確度較高的加筋板組合結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。

3）以集中質(zhì)量點的形式引入板上裝載設(shè)備，可處理任意位置加載設(shè)備加筋板的固有頻率問題，在方案設(shè)計階段對于解決相關(guān)工程問題具有較好的實用性，并且能量法與FEM法結(jié)果的對比分析說明了本文方法對于解決附加多個集中質(zhì)量加筋板自由振動問題的有效性和精確性。

［1］ CHEN C J，LIUW，CHEN SM.Vibration analysis of stiffened plates［J］.Com puters&Structures，1994，50（4）：471-480.

［2］DOWELL E H.Free vibrations of a linear structure with arbitrary support conditions［J］.Journal of Applied Mechanics，1971，38（3）：595-600.

［3］ AZIMI S，HAMILTON J F，SOEDEL W.The receptance method app lied to the free vibration of continuous rectangular plates［J］.Journal of Sound and Vibration，1984，93（1）：9-29.

［4］AKSU G.Free vibration analysis of stiffened plates by including the effect of inp lane inertia［J］.Journal of Applied Mechanics，1982，49（1）：206-212.

［5］ MEAD D J，ZHU D C，BARDELL N S.Free vibration of an orthogonally stiffened flat plate［J］.Journal of Sound and Vibration，1988，127（1）：19-48.

［6］ BISHOP R E D，JOHNSON D C.Themechanics of vibration［M］.Cambridge：cambridge university press，2011.

［7］ GODFRACHT E，ROSENHOUSE G.Use of lagrange multip lierswith polynomial series for dynam ic analysis of constrained p lates part I：Polynom ial series［J］.Journalof Sound and Vibration，1984，92（1）：83-93.

［8］ 曾子平，黃田，HAMILTON JF.任意加筋矩形板的振動分析［J］.振動與沖擊，1988（4）：47-53.

ZENG Ziping，HUANG Tian，HAMILTON JF.Vibration analysisof rectangular p latewith any reinforcement［J］.Journal of Sound and Vibration，1988（4）：47-53.

［9］MUKHERJEE A，MUKHOPADHYAY M.Finite element free vibration of eccentrically stiffened plates［J］. Computers&Structures，1988，30（6）：1303-1317.

［10］QING G H，QIU JJ，LIU Y H.Free vibration analysis of stiffened laminated plates［J］.International Journal of Solids and Structures，2006，43（6）：1357-1371.

［責任編輯：田甜］

Free vibration analysisof rectangu lar stiffened p latesw ith several lum ped mass

LIKai1，HE Shutao1，QIU Yongkang2，WUGuomin1，GUOWenjie2，LITianyun2
1 China Ship Developmentand Design Center，Wuhan 430064，China 2 School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

Based on themethod of variational energy function，the free vibration characteristics of discrete stiffened plates are studied in this paper.When assessing the deformation coordination constraints of boards and ribs，the vibration analysis problem of stiffened plates is transformed into a classical unconstrained variational problem by introducing Lagrangemultipliers.Through thismethod，a generalized characteristic value ofmatrix equations of stiffened p lates are obtained，and solving the equation set yields the natural frequency of different order for the composite structure.By taking a discrete stiffened p late with four simple edge supported boundary conditions as an examp le，the characteristic values to determine its mode shape are obtained，and the simulation results are compared with those acquired from themulti-stiffened stiffness averagemethod in order to validate the proposed method.Finally，this paper provides a new idea for solving this kind ofengineering problems.

stiffened p late；lum ped mass；Lagrangemu ltip lier；functional variational

U661.44

ADO I：10.3969/j.issn.1673-3185.2015.05.011

2015-02-06網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015-10-8 11∶10

國家部委基金資助項目

李凱（通信作者），男，1983年生，博士，工程師。研究方向：艦船結(jié)構(gòu)振動。E-mail：kaili109@sina.com

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http∶//www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20151008.1110.026.htm l