廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)　林桂忠

淺談高三學(xué)生的運(yùn)算能力培養(yǎng)

廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)林桂忠

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是高中數(shù)學(xué)重要能力之一，運(yùn)算能力的強(qiáng)弱是影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的一個(gè)重要因素。在目前高考題量大、時(shí)間緊的情況下，扎實(shí)的運(yùn)算能力顯得尤為重要。高三學(xué)生只有熟練掌握必要的運(yùn)算能力，才能為解題提供正確的數(shù)據(jù)參考和解題思路，才能“節(jié)約”出寶貴的時(shí)間去探究新題型、新問(wèn)題，否則只能“干著急”，“望洋興嘆”，縱有渾身力氣也使不出來(lái)。

高考數(shù)學(xué)運(yùn)算能力學(xué)習(xí)技巧

計(jì)算，是人類社會(huì)生活中不可缺少的一種活動(dòng)，隨著計(jì)算器、計(jì)算機(jī)的問(wèn)世，在高中教學(xué)過(guò)程中很容易忽視學(xué)生的運(yùn)算能力，而高考并不允許考生帶這些“工具”進(jìn)去，造成相當(dāng)一部分考生不適應(yīng)，而白白丟失分?jǐn)?shù)。運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，它不僅包括數(shù)的運(yùn)算，還包括式的運(yùn)算。高考數(shù)學(xué)對(duì)考生運(yùn)算能力的考查是以含字母的式的運(yùn)算為主，同時(shí)兼顧對(duì)算理和邏輯推理的考查。主要是指對(duì)數(shù)與式的組合與分解變形的能力，包括數(shù)字的計(jì)算、代數(shù)式和某些超越式的恒等變形、集合的運(yùn)算、解方程與不等式、三角恒等變形、數(shù)列極限的計(jì)算、幾何圖形中的計(jì)算等，運(yùn)算結(jié)果具有存在性、確定性和最簡(jiǎn)性。在高考中，運(yùn)算能力是高考考查的三大能力之一，且提出了如下三個(gè)方面的要求：會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行數(shù)、式、方程的正確運(yùn)算、變形和處理數(shù)據(jù)；能根據(jù)問(wèn)題的條件，尋找設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求對(duì)一些數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算。下面結(jié)合高考真題分析對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)提一些看法。

1　準(zhǔn)確性

在高考的選擇、填空題中，近幾年來(lái)都有74分，學(xué)生只要一步算錯(cuò)，就整題失分（5分或4分）；在解答題中，某步算錯(cuò)，就會(huì)影響到后面的結(jié)果，導(dǎo)致連鎖出錯(cuò)，最多只能得一半的分?jǐn)?shù)。許多考生（特別是文科考生），就是因?yàn)闇?zhǔn)確率低，從而導(dǎo)致得分大打折扣，而與高分失之交臂，難圓名牌大學(xué)夢(mèng)。運(yùn)算的準(zhǔn)確是對(duì)運(yùn)算能力的基本要求，在運(yùn)算過(guò)程中要求考生使用的概念要準(zhǔn)確無(wú)誤，使用的公式要準(zhǔn)確無(wú)誤，使用的法則要準(zhǔn)確無(wú)誤。

［例2］已知f（x5）=lgx，則f（2）=_______。

［解析］本題主要考查學(xué)生用換元法求函數(shù)解析式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則。令。有的考生不懂得換元；有的考生記錯(cuò)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則。

總之，只有“準(zhǔn)”才能得分，只有“準(zhǔn)”才可不必考慮再花時(shí)間檢查，而“快”是平時(shí)訓(xùn)練的結(jié)果，不是考場(chǎng)上所能解決的問(wèn)題，一味求快，只會(huì)落得錯(cuò)誤百出。

2　技巧性

技巧性對(duì)考生的運(yùn)算能力提出了較高的要求。在考試說(shuō)明中明確要求考生能根據(jù)問(wèn)題條件，尋找設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑，這就要求考生不僅會(huì)解題，還要善于比較各種解題思路，在考試中盡量用最簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法，最優(yōu)的解法，避開(kāi)復(fù)雜、繁鎖的計(jì)算，從而提高計(jì)算的準(zhǔn)確性，縮短解題時(shí)間，才能在考試中取得高分。近幾年來(lái)，高考出題已盡量避免復(fù)雜、繁鎖的計(jì)算，所以考生要學(xué)會(huì)用代值排除、數(shù)形結(jié)合、考慮特例、利用性質(zhì)、結(jié)論等技巧解題。

［例3］過(guò)A（1，-1），B（-1，1），圓心在x+y-2=0上的圓的方程為（）

A.（x-3）2+（y+1）2=4

B.（x+3）2+（y-1）2=4

C. （x-1）2+（y-1）2=4

D.（x+1）2+（y+1）2=4

［分析］本題可采用代值排除法，避開(kāi)繁鎖的運(yùn)算。把每個(gè)圓的圓心坐標(biāo)代入直線方程x+y-2=0檢驗(yàn)是否滿足方程，便可排除B、D，再把A（1，-1）代入A、C兩個(gè)答案代表的圓的方程，得知都滿足，所以換成B（-1，1）再代入檢驗(yàn)，可排除答案A，故選C。本題若用待定系數(shù)法，設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0），或（x-a）2+（y-b）2=r2解之，顯然運(yùn)算量要大得多，容易計(jì)算出錯(cuò)。

［例4］使log2（-x）＜x+1成立的x的取值范圍是

［分析］本題采用數(shù)形結(jié)合。引進(jìn)函數(shù)y=log2（-x）與y=x+1，（x＜0），在同一坐標(biāo)系作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，由y=log2（-x）的圖象要在y=x+1圖象的下方，易得x的取值范圍是-1＜x＜0。

［例5］過(guò)拋物線y=ax2（a＞0）的焦點(diǎn)F用一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)。若線段PF與FQ的長(zhǎng)度分別是p，q，則_____。

［分析］本題可考慮特殊位置求解。因?yàn)閷?duì)于過(guò)焦點(diǎn)的任一直線，結(jié)論均成立，所以考慮用直線在特殊位置的情況來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。比如當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)）與x軸平行時(shí)，線段|PQ|為通徑，即由拋物線的對(duì)稱性知故選C。也考慮比如當(dāng)直線就是拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，顯然P、Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn) O重合，另一點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，所以。所以。類似地，對(duì)于［例6］（2002年全國(guó)文，9）已知0＜x＜y＜a＜1，則有（）

A.loga（xy）＜0

B.0＜loga（xy）＜1

C.1＜loga（xy）＜2

D.loga（xy）＞2

［例7］已知復(fù)數(shù)z的輻角為600，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項(xiàng)，求|z|.

［分析］本題主要考查數(shù)列等比中項(xiàng)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的概念及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，復(fù)數(shù)的三角形式或代數(shù)形式。考生在作答時(shí)，有的把等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)混淆，有的對(duì)共軛復(fù)數(shù)概念還清楚，更多的是不懂得用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，導(dǎo)致運(yùn)算復(fù)雜而得不到正確答案。

3　估算

估算就是對(duì)一些數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算。在高考中，數(shù)學(xué)問(wèn)題（特別是應(yīng)用題）的取材都是非常貼近現(xiàn)實(shí)生活的，這樣的數(shù)據(jù)往往不是整數(shù)或數(shù)值很大，不容易做精確計(jì)算，多數(shù)情況下也沒(méi)這個(gè)必要，所以考試說(shuō)明明確要求考生要會(huì)對(duì)一些數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算。

［例8］據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告》：“2001年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長(zhǎng)7.3%.”如果“十五”期間（2001年～2005年）每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么到“十五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為（）

A.115000億元

B.120000億元

C.127000億元

D.135000億元

［解析］本題主要考查考生對(duì)有關(guān)增長(zhǎng)率問(wèn)題的建模及進(jìn)行估算的能力。有的考生沒(méi)注意到2001年為第一年，故列出這樣的錯(cuò)誤式子：95933（1+7.3%）5，有的考生能正確列出式子：95933（1+7.3%）4，但不懂得進(jìn)行估算，而不能選出正確答案。此題要求考生會(huì)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行合理估算：

95933（1+7.3%）4≈95933（1+4×0.073+6×0.0732）

≈95933×1.32397≈127013

［例9］《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、菥金所得不超過(guò)800元的部分不必納稅，超過(guò)800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額。此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：

全月應(yīng)納稅所得額　稅率不超過(guò)500元部分　5%超過(guò)500元至2000元的部分　10%超過(guò)2000元至5000元的部分　15%……　……

某人一月份應(yīng)交納此項(xiàng)稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于（）

A.800～900元

B.900～1200元

C.1200～1500元

D.1500～2800元

［解析］本題主要考查有關(guān)稅率分段函數(shù)的列式和計(jì)算，可用代值進(jìn)行估算。若此人全月應(yīng)納稅所得額剛好是500元，則應(yīng)納稅為500×5%=25＜26.78，若剛好為700元，則應(yīng)納稅為500×5%+200×10%=25+20=45＞26.78，所以此人的當(dāng)月工資、薪金所得介于800+500=1300元與800+700=1500元之間，故選C。有的考生采用直接法解之，顯然所用時(shí)間較多且易錯(cuò)。

［例10］某進(jìn)口產(chǎn)品，2001年的關(guān)稅稅率是100%，進(jìn)口上岸價(jià)格是2000元（其中含1000元關(guān)稅稅款），假如這種產(chǎn)品不含關(guān)稅的價(jià)格因成本減少而按每年10%逐年降低，又因中國(guó)加入世貿(mào)組織后該產(chǎn)品關(guān)稅稅率將每年降低20%，一直到2006年0為止。

Ⅰ.寫出該產(chǎn)品2002年、2003年、2004年的進(jìn)口上岸價(jià)；

Ⅱ.以2001年為第一年，寫出第n年這種產(chǎn)品的進(jìn)口上岸價(jià)格an表達(dá)式，至少到哪一年這種產(chǎn)品的進(jìn)口上岸價(jià)不高于2001年上岸價(jià)格的一半。

［解析］本題主要考查考生根據(jù)正確建模，及進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。為了說(shuō)明估算的應(yīng)用，在這里只分析第Ⅱ小題。根據(jù)題意易得an=1000（1-10%）n-1［2-0.2（n-1）］，n≤6，

an=1000（1-10%）n-1，n≥7，

a4=1000（1-10%）3×1.4=1020.6，

總之，不可忽視學(xué)生的運(yùn)算能力，為了提高準(zhǔn)確性，平常要注意比較相似的概念、公式、運(yùn)算法則，如柱、錐、臺(tái)的側(cè)面積和體積公式等；為了提高計(jì)算的技巧，平常要注意代值排除法、數(shù)形結(jié)合法、考慮特殊位置、特殊值方法的訓(xùn)練，熟記各種性質(zhì)或重要結(jié)論，如等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，收縮公式，其中，且φ角終邊所在象限與點(diǎn)（a，b）所在象限相同等等。學(xué)生只有熟練掌握必要的運(yùn)算能力，才能在高考中獲得高分。

［1］數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

［2］中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2000（1）.