王淑紅

（河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024）

交換環(huán)論起源中的三類問題

王淑紅

（河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050024）

環(huán)論是抽象代數(shù)學(xué)中較為深刻的部分，亦是結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的重要分支，可分成交換環(huán)論和非交換環(huán)論兩大類。交換環(huán)論源于19世紀早期的代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何和不變量論。通過文獻考證與概念分析，對交換環(huán)論在代數(shù)數(shù)論中的起源進行研究，認為高次互反律、二元二次型和費馬大定理在這一進程中發(fā)揮了重要作用。

環(huán)論；交換環(huán)論；高次互反律；二元二次型；費馬大定理

交換環(huán)論主要起源于三大數(shù)學(xué)領(lǐng)域，即代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何和不變量理論，而且其發(fā)展亦與這幾大領(lǐng)域休戚相關(guān)，相互作用，相互影響，其中代數(shù)數(shù)論則源于高次互反律、二元二次型和費馬大定理這三大問題［1-6］。本文通過對這三大問題的考察，以期對交換環(huán)論的早期起源有一個更加清楚的認識。

高次互反律、二元二次型和費馬大定理是數(shù)論的幾大重要領(lǐng)域，而它們都促進了代數(shù)數(shù)論的產(chǎn)生。盡管這些領(lǐng)域的主要問題都用整數(shù)表述，顯然問題的解決逐漸地需要把整數(shù)嵌入現(xiàn)代所謂的代數(shù)整數(shù)中去。

1　高次互反律

在19世紀之前，高次互反律一直占據(jù)著是數(shù)論的核心，其中關(guān)鍵的是唯一因子分解問題。高斯（C F Gauss，1777—1855）在歐幾里得（Euclid of Alexandria，約公元前300）、拉格朗日（J L Lagrange，1736—1813）、歐拉（L Euler，1707—1783）和勒讓德（A M Legendre，1752—1833）等數(shù)學(xué)家的研究基礎(chǔ)上，為了尋求建立唯一因子分解，引入了復(fù)整數(shù)［7，8］。

我們知道求解多項式方程是代數(shù)中的重要問題，與此類似，求解形如

的同余多項式是數(shù)論中的重要問題。當(dāng)m為任意數(shù)時，問題會變得十分困難。

1801年，高斯在《算術(shù)研究》［9］的第四節(jié)中探討了二次同余式他詳細研究了p和q都是奇素數(shù)的同余式

高斯在1829和1831年的兩篇文章中，用高斯整數(shù)闡述了雙二次互反律。1832年，高斯發(fā)表了文章，談到四次互反律，并且他為了達到簡潔和完美的境界，引入了形如a+ib的復(fù)數(shù)，其中a，b為整數(shù)，i2=-1。高斯討論了模p是形如4n+1的素數(shù)的情形，這些素數(shù)可以分解為復(fù)的因數(shù)，從而達到目的。為了與一般的復(fù)數(shù)區(qū)分開，將它稱為復(fù)整數(shù)，或者高斯整數(shù)。對于復(fù)整數(shù)施行加、減、乘三種運算，其結(jié)果仍為復(fù)整數(shù)。若把復(fù)整數(shù)的集合用Z［i］來表示，則Z［i］形成一個環(huán)，可以稱為復(fù)整數(shù)環(huán)或高斯整環(huán)，它是唯一因子分解整環(huán)。

在一般的整數(shù)論當(dāng)中，可逆的元素為±1。但是，在復(fù)整數(shù)論當(dāng)中，可逆的元素為±1以及±i。若一個復(fù)整數(shù)為兩個非可逆的元素的復(fù)整數(shù)的乘積，則稱其為合數(shù)。如果不是，則復(fù)整數(shù)是素數(shù)。例如，因為，所以5是合數(shù)，而3不能這樣分解，所以3是復(fù)素數(shù)。高斯闡述了復(fù)整數(shù)的一些性質(zhì)，證明了復(fù)整數(shù)實際上與普通整數(shù)的性質(zhì)一樣。

算術(shù)中有一個基本定理，也就是每一個整數(shù)均可分解為素數(shù)的乘積，而且這個分解是唯一的。歐幾里得曾對其進行了證明。高斯把它推廣到了復(fù)整數(shù)上。高斯證明，4個可逆的元素若不作為不一樣的因數(shù)，復(fù)整數(shù)上也存在唯一因子分解。這就是說，如果，那么這兩種分解相同。他也闡明，復(fù)整數(shù)上也可用歐幾里得算法。此外，還有一些普通素數(shù)的定理可以推廣到復(fù)整數(shù)上。有了復(fù)數(shù)的思想，四次互反律的形式也變得更為簡潔。這也是高斯給出的，只是沒有證明。

雅可比（C G J Jacobi，1804—1851）證明了這個定理，不過未正式發(fā)表。高斯的學(xué)生、英年早逝的艾森斯坦（F G Eisenstein，1823—1852），也證明了這個定理，在1844年發(fā)表，并且之后還得出了另外4種證明方法。無論是雅可比，還是艾森斯坦，都在證明當(dāng)中用到了復(fù)整數(shù)的因子分解。雅可比和艾森斯坦還發(fā)生了優(yōu)先權(quán)之爭，無論孰是孰非，他們都對這個問題有關(guān)鍵性的貢獻［10-14］。

與此同時，雅可比和艾森斯坦也得到了三次互反律，其實高斯在未發(fā)表的文章中也談到過。這里需要在整環(huán)中考慮，其中ρ是1的本原三次根也為唯一因子分解整環(huán)。

于是，數(shù)學(xué)家們進一步尋求高次互反律。但必須要有新的方法來研究不同于以上Z［i］和Z［ρ］的情況，亦即利用其他算術(shù)域來闡述不滿足唯一分解整環(huán)的互反律。

2　二元二次型

一個整二元二次型就是形如

的表達式，其中a，b，c∈Z。二元二次型的主要問題是：給定一個二元二次型 f，求出全部可被 f表示的整數(shù)m，即找到滿足 f（x，y）=m的所有整數(shù)m。

高斯在《算術(shù)研究》中對二元二次型ax2+bxy+cy2=n的整數(shù)解問題進行了分析。當(dāng)a=c=1，b=0時，就是二平方和問題。他運用復(fù)整數(shù)環(huán)Z［i］所具有的唯一因子分解性質(zhì)，找到了能夠表示為兩個整數(shù)之平方和的所有的正整數(shù)n，最終把二平方和的問題徹底解決了。

高斯建立了二元二次型理論，特別是定義了兩個二元二次型的合成，并證明判別式為D=b2-4ac的二元二次型在這種合成關(guān)系下形成一個集合，以現(xiàn)代的語言來說，就是交換群。

二元二次型的合成看似簡單，構(gòu)造起來較為復(fù)雜。如果二次型 f和g分別表示整數(shù)m和n，那么它們的合成f?g表示乘積mn。

為了理解高斯的二元二次型的合成理論，狄利克雷（J P G L Dirichlet，1805—1859）、庫默爾（E EKummer，1810—1893）和 戴 德 金（R Dedekind，1831—1916）等數(shù)學(xué)家都花費了很多心血。他們主要是想對算術(shù)域進行擴張，拓寬問題考慮的范圍。例如：若m1是m2為兩個平方數(shù)之和，則m1m2也為兩個平方數(shù)之和。實際上，若則

利用二元二次型的合成，這個過程可表示為

或者 f?f=f，其中 f（x，y）=x2+y2。

但這種形式在當(dāng)時還相對不太容易理解。有了高斯整數(shù)后，表達形式才變得清晰、易于理解。

一般來說，ax2+bxy+cy2=m可寫成

其中D=b2-4ac。

這樣我們就通過整環(huán)

把整數(shù)表示成了二元二次型的形式［1］。一般來說，對不同的D來講，整環(huán)R不是唯一因子分解環(huán)，這樣建立他們的算術(shù)理論就成為重要的研究目標(biāo)。

3　費馬大定理

費馬（P D Fermat，1601—1665）是法國的律師，也是一位業(yè)余的數(shù)學(xué)家。他出生于法國的博蒙-德-洛馬涅（Beaumont-de-Lomagne），其出生的房屋現(xiàn)已成為費馬博物館。他的父親是一位十分富有的做皮革買賣的商人。費馬作為數(shù)學(xué)家，雖然職業(yè)是業(yè)余的，但數(shù)學(xué)修養(yǎng)卻是專業(yè)的。他數(shù)學(xué)成就卓著，在解析幾何方面與笛卡兒（R Descartes，1596—1650）共享學(xué)科開創(chuàng)者的殊榮，在概率論方面也有貢獻，但他最感興趣，也是最為人所知的成就是數(shù)論。

1620年代中期，費馬在進入圖盧茲大學(xué)后，搬到波爾多生活，從此開始了正式的數(shù)學(xué)研究工作，結(jié)識了數(shù)學(xué)家博格朗（J D Beaugrand，1584—1640）。他們經(jīng)常在一起交流數(shù)學(xué)，維持了長久的友誼。他還相繼結(jié)識了皮埃爾·德·卡克維、梅森（M Mersenne，1588—1648）和笛卡兒等數(shù)學(xué)家，進行了很多書信往來，他的很多數(shù)學(xué)成果就寫在了這些書信中。他1665年逝世于卡斯特，生前沒有發(fā)表他的研究成果，去世后由他的兒子整理成書。

1637年，費馬在閱讀古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus，公元250年左右）的代表性著作《算術(shù)》時，在這個拉丁文版本的第11卷的第8個命題旁的空白處寫下：

把一個立方數(shù)分為兩個立方數(shù)的和，或者把一個四次冪分為兩個四次冪的和，或者更一般地，把一個高于二次的冪分為兩個同次冪的和，這是不可能的。對于這個結(jié)論，我已經(jīng)確定找到了一種好的方法來證明，無奈空白處甚小無法寫下來。

費馬所敘述的定理可以表述為：當(dāng)n＞2時，關(guān)于x，y，z的不定方程xn+yn=zn不存在正整數(shù)的解。

這個定理被稱為費馬大定理或費馬最后定理。這個定理經(jīng)歷了300多年，才由英國數(shù)學(xué)家維爾斯（A J Wiles，1953—）證明。在這個歷史過程中，有很多新的數(shù)學(xué)結(jié)果和數(shù)學(xué)分支華麗誕生［10-14］。

其實早在18世紀，雙目失明的瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家歐拉就證明了n=3時，費馬大定理成立。雖然歐拉終生未改國籍，但是他在俄國和普魯士度過了人生的絕大部分時光。他作為18世紀最為偉大和傳奇的數(shù)學(xué)家，研究領(lǐng)域眾多，也是有史以來成果最多的四位數(shù)學(xué)家之一。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P S Laplace，1749—1827）曾不無贊賞地說到歐拉在數(shù)學(xué)上的貢獻：讀讀歐拉的著作，無論在何種意義之上，歐拉都可以稱為我們的大師。

勒讓德以及狄利克雷等其他幾位數(shù)學(xué)家在19世紀上半葉也在這一問題上取得一些進展。勒讓德證明了費馬大定理對n=5成立；狄利克雷也獨立證明了費馬大定理對n=5成立，另外還證明了費馬大定理對于n=14也成立。

他們都意識到即使對于比較小的n，若證明費馬大定理也須用到復(fù)整數(shù)

例如：x3+y3=z3可以表示為

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點來看，這是整環(huán)上的方程。

那么怎么證明費馬大定理呢？證明思路是這樣的：若方程x3+y3=z3（z＞0）可解，假定D3是唯一因子分解整環(huán)，則通過證明滿足方程a3+b3=c3的整數(shù)a，b，c（0＜c＜z）的存在性，從而得出矛盾性的結(jié)論，這樣就可以證明費馬大定理。應(yīng)該說，這種思想很有借鑒意義。

進行類似的推廣，從而方程xp+yp=zp可以表示為

其中ω是1的 p次本原根（即ω≠1是方程xp=1的根）。

于是可以得到分圓整數(shù)環(huán)

上的一個方程。其中，容易證明n=p為素數(shù)時的費馬大定理。證明思路是：假設(shè)Dp是唯一因子分解整環(huán)，通過證明滿足方程up+vp=wp的整數(shù)u，v，w（0＜w＜z）的存在性，從而得出矛盾，最終證明費馬大定理。

法國數(shù)學(xué)家拉梅（G Lamé，1795—1870）在上大學(xué)時，受到勒讓德的影響，對數(shù)學(xué)萌生興趣，在數(shù)學(xué)物理、幾何、數(shù)論等領(lǐng)域做出貢獻。他1847年在巴黎科學(xué)院宣稱用上述方法證明了費馬大定理。實際上，疏漏之處在于，這種方法對于所有的素數(shù)p，總假定Dp是唯一因子分解整環(huán)。

庫默爾指出了拉梅的錯誤，得到一個證據(jù)，也就是D23不是唯一因子分解整環(huán)。1971年其他人證明［1］p≥23時，Dp都不是唯一因子分解整環(huán)。

其實，從以上的討論可以看到，這一時期證明費馬大定理的方法，就是將不定方程xp+yp=zp看作是Dp中的方程，這個方法具有示范意義。

復(fù)整數(shù)的引入作用很大，不但對費馬大定理，而且對普通整數(shù)的問題都是如此。通過下面的例子可以看到這一點。比如，求丟番圖方程x2+2=y3的所有整數(shù)解。首先，x=±5，y=3是方程x2+2=y3的解是比較容易可以得到的。下面我們來看看它除了這幾個解之外，還有沒有其他的解。

為了找到這個方程的所有解，現(xiàn)在把它改寫為下面的形式

將上述方程右邊的式子進行整理后，可以證明x=±5，y=3是方程x2+2=y3的唯一解。如果沒有復(fù)整數(shù)，那么很難解決這個問題。歐拉在18世紀解這個方程時就是用的復(fù)整數(shù)方法。

4　　結(jié)語

總之，費馬大定理、高次互反律和二元二次型是數(shù)論中的中心問題，我們發(fā)現(xiàn)研究它們的關(guān)鍵是將其歸結(jié)為整數(shù)環(huán)中的問題，復(fù)整數(shù)在這一歷史階段發(fā)揮了重大作用，有了它很多問題取得很大進展。但這些問題還沒有獲得根本解決，所以怎樣對數(shù)域進一步擴張，實現(xiàn)唯一因子分解，就成為數(shù)論中的主要問題，雅可比、庫默爾、戴德金、克羅內(nèi)克（L Kronecker，1823—1891）等數(shù)學(xué)家在這一進程中發(fā)揮了巨大作用，建立起了代數(shù)數(shù)論。

雅可比等數(shù)學(xué)家高斯的基礎(chǔ)上推進了互反律問題。最終徹底攻克一般高次互反律問題的數(shù)學(xué)家是庫默爾，他引入先進的理想數(shù)的思想，不但使上述問題圓滿落幕，還使費馬大定理的進程取得了關(guān)鍵性的進展。

戴德金在集合意義上提出理想概念，建立了嚴密的理想理論［15］。戴德金引入了交換代數(shù)中環(huán)、理想、素理想、模等基本概念，得出了代數(shù)數(shù)域的整環(huán)中的理想可以唯一表示成素理想的乘積這一重要結(jié)果。與他引進的概念相比，其哲學(xué)方法更為重要。相對于公式、計算和具體的表示，他更重視內(nèi)在固有的概念的性質(zhì)。他認為定義和證明中采用的非構(gòu)造性方法屬于合法的數(shù)學(xué)方法。戴德金重視概念，以概念方法為主導(dǎo)。戴德金已有集合論的思想，他用集合論的語言將數(shù)之間的關(guān)系全面地表示出來。由此，數(shù)論的一些定理就基本成為了一些關(guān)于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的定理。一方面，由于數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系比較簡潔明了，就促使代數(shù)數(shù)的結(jié)構(gòu)理論發(fā)展成為抽象代數(shù)的若干分支，尤其是發(fā)展成為了交換代數(shù)的一些原型與依據(jù)；另一方面，結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的框架也促使原有的代數(shù)數(shù)的理論取得拓廣和延伸，其內(nèi)涵大大豐富。不過，美中不足的是，戴德金的理想仍然僅僅是一種數(shù)集，并沒有具有抽象的運算，也不是環(huán)這種更一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)。后人所稱的戴德金環(huán)雖然在形式上與環(huán)具有等價的關(guān)系，但卻不是理想的一般結(jié)構(gòu)框架，這與現(xiàn)代的環(huán)的概念是不同的，在現(xiàn)代的代數(shù)概念中，環(huán)是具有一般結(jié)構(gòu)的特點的，也就是囊括理想的。這其實也是早期代數(shù)數(shù)論的特點，仍然局限在理想論的層次來討論問題，還很少上升到環(huán)的層次來分析和探討［16］。同時代的數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克也給出了自己的理想理論，但沒有戴德金的理想理論影響廣泛。

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Three Kinds of Problems in the Origin of Commutative Ring Theory

WANG Shuhong
（College of Mathematics and Information Science，Hebei Normal University，Shijiazhuang 050024，Hebei，China）

As one of the most profound parts in abstract algebra，ring theory is an important branch of structural mathematics，which is composed of commutative ring theory and non-commutative ring theory.Commutative ring theory stemmed from algebraic number theory，algebraic geometry and invariant theory in the early 19th century.By the relevant historical material study，a study is made of the origin of commutative ring theory in algebraic geometry.The conclusion is that higher reciprocity laws，quadratic form in two variables and Fermat's Last Theorem have played an important role in this process.

ring theory；commutative ring theory；higher reciprocity laws；quadratic form in two variables；Fermat's Last Theorem

N09

A

1672-2914（2015）04-0017-05

2015-06-02

國家自然科學(xué)基金項目（11401161）；河北省自然科學(xué)基金項目（A2014205055）。

王淑紅（1976-），女，河北黃驊市人，河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副教授，研究方向為代數(shù)學(xué)及近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史。