韓英波, 李 靜, 方聯(lián)銀

(信陽師范學院 數(shù)學與信息科學學院, 河南 信陽 464000)

0 引言

設Mn是Rn+m中一個n維完備極小浸入子流形.當m=1時,M稱作穩(wěn)定的,如果

對于數(shù)δ≥0,M稱作δ穩(wěn)定的,如果

當具有更高余維數(shù)時,Spruck[7]得到:對于一個變分向量場E=fυ來說,Vol(Mt)的第二變分滿足:

當m=1時,超穩(wěn)定的定義與穩(wěn)定的定義相同.

那么M是仿射平面.

本文研究Rn+m中不具有平坦法叢的完備δ超穩(wěn)定極小子流形,得到結果定理1.

1 預備知識

任意ν∈Γ(NM),形狀算子Aν:TM→TM滿足:

〈BXY,ν〉=〈Aν(X),Y〉.

子流形的第二基本形式及曲率張量、法叢的曲率張量及外圍流形的曲率張量滿足下面的Gauss方程、Codazzi方程以及Ricci方程.

〈BXZ,BYW〉,

〈BXei,ν〉〈BYei,μ〉,

其中：{ei}為M的一組局部正交標架場;X,Y,Z為切向量;μ,ν為M的法向量場.在這里以及隨后的運算中我們采用求和公約,并約定下列指標范圍:

1≤i,j≤n; 1≤α,β≤m.

考慮(m+n)-維歐式空間Rn+m(m≥2)中的n維極小子流形Mn,有下面結論(見[12])

回憶記號:B=B°Bt°B,其中Bt為B的共軛映射;

當余維數(shù)m=1時,它是最優(yōu)估計.當m≥2,文獻[13-14]給出精確估計如下:

把上式代入式(4)得:

因此得出結論:

(6)

引理1[15]

(7)

由不等式(6)和(7)得:

(8)

2 定理及證明

(a) 如果

(b) 如果

那么M是一個仿射平面.

△u=u(△logu+|logu|2)=

其中第一個不等式利用了式(8).由式(11)可得:

(12)

(13)

由式(13),可得

(14)

利用Cauchy-Schwarz不等式,得到:

(15)

由式(14)和(15),可得:

(16)

另一方面,式(1)中用uq+1f替代f,得到:

(17)

(18)

選取充分小的ε′>0,使得

(1+q)(1+q+ε′)δ>0,

令ε→0.由式(18)可得:

(19)

其中

u2+2q|

利用β的任意性,取β充分小,使得下式成立

由式(19)和(20),可得:

其中

對任意固定的R>0,取一個光滑函數(shù)f(r),它滿足

其中C0是一個正的常數(shù).由式(22)可得

令R→,由假設

以及式(23)可得B=0,即M是仿射平面.

選取充分小的ε′,使得

令ε→0,由式(18)可得:

(25)

其中C4是依賴于n,m,ε′的常數(shù).

3 結論