潘 虹, 周 強

(信陽師范學院 數學與信息科學學院, 河南 信陽 464000)

0 引言

利用子群的可補性來研究有限群的結構已經有很多結果.例如,利用某些特殊子群的可補性質可得到有限群的可解性[1-4].最近Ballester-Bolinches和Guo[5]證得了具有初等交換Sylow子群的所有有限超可解群所在的群類恰好就是每個極小子群都可補的所有有限群所在的群類.

本文在文獻[5]的基礎上,利用子群c-可補的概念及性質,在較弱的條件下討論群的冪零性.用符號Gp來表示G的Sylowp-子群,除此之外,本文中所采用的其他記號都是標準的,所涉及的群都是有限群.

1 預備知識

定義1[6]設G為有限群,H≤G,稱H在G中c-可補,如果存在G的一個子群K使得G=HK且H∩K≤HG,其中HG=∩g∈GHg為包含在H中的G的最大正規(guī)子群.

引理1[6]設G為有限群,則

(1)如果H在G中c-可補且H≤K≤G,那么H在K中c-可補.

(3)令π是一個素數集合.設N為G的一個正規(guī)π′子群且H為G的一個π子群.如果H在G中c-可補,那么HN/N在G/N中c-可補.而且若N正規(guī)化H,那么反之也成立.

引理2[7]設G為內冪零群,則

(1)G的階為pαqβ且p≠q;

(3) 若P為Abel群,則P為初等Abel群;

(4) 當p≠2時,expP=p;當p=2時,expP≤4, 其中expP表示群P的指數;

(5)c∈P為P的生成元的充要條件是c與a不可換;

(6)Z(G)=Φ(G)=Φ(P)×Φ(Q).

引理3[8]設G是內超可解群,則G有如下結構:

(1) 存在正規(guī)子群P∈Sylp(G),使得G=P×M,P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群;

(2) 若p>2,則expP=p;若p=2,則expP≤4且p2/|G|;

(3) 存在c∈PΦ(P),使〈c〉不正規(guī)于G;

(4) 若P為Abel群,則Φ(P)=1;

(5) 若P非交換,則Φ(P)=Z(P)=P′;

(6)G為Sylow塔群或G為冪零群.

2 主要結果

定理1 如果群G的每一素數階子群在Z(G)中,且G的4階循環(huán)子群在G中c-可補,則G為冪零群.

注1 本定理用G的4階循環(huán)子群的c-可補性代替G的4階子群的c-正規(guī)性推廣了文獻[6]中的定理1,因為c-正規(guī)子群一定是c-可補子群,但反之不一定成立.

證明假設定理不真,選取G為極小階反例.

(1)定理條件是子群遺傳的.

事實上,設H

(2)素數p只能等于2.

若不然,p>2,由引理2(4)知,expP=p,從而由條件知P∩N≤Z(G).又由引理2及條件知G/P∩N?/G×G/N冪零,從而G/Z(G)為冪零群,G為冪零群,矛盾.故素數p只能等于2.

(3)導出矛盾.

i) 當N=G時,由定理1知G為冪零群,矛盾.同樣當N=1時,由條件得G為冪零群,也矛盾.

定理3 如果群G的每個素數階子群在Z(G)中,且G的4階循環(huán)子群在G中c-可補,則G為冪零群.

證明假設定理不真,選取G為極小階反例.

1) 定理條件是子群遺傳的.

事實上,對G的任意真子群H,K為H的p階子群,則K≤Z(G)∩H≤Z(H).由引理1(1)知H的子群在H中c-可補.所以H滿足定理條件,由G的取法知，H為冪零群,故G為內冪零群，即G=PQ,這里P和Q滿足引理2的條件.

2) 素數p只能等于2,從而G=2αqβ.

若不然,p>2,則由引理3(4)知expP=p,由條件知P≤Z(G).由文獻[3]中定理VI.2知Z(G)冪零.從而G=PQ=Z(G)冪零,矛盾.

3)G為超可解群.

若不然,必為內超可解群.我們斷定:對任意的a∈PΦ(P)有|a|=4.事實上,若存在a∈PΦ(P)使|a|=2,設〈x〉為G的Sylowq-子群,令

M=〈a,ax,…,aqb-1〉≤P,

由引理3(1)知P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群,從而P=MΦ(P)=M.因為axqi∈Z(G),1≤i≤b,所以P≤Z(G),于是由G/P為冪零群知,G/Z(G)為冪零群,從而G為冪零群,矛盾.這樣對任意的x∈PΦ(P),|x|=4,由條件〈x〉在G中c-可補,同樣由定理1的證明〈x〉≤NG(Q),又Z(G)=Φ(G)=Φ(P)×Φ(Q),故對x∈Φ(P),則x∈Z(G),從而x∈NG(Q).這樣對任意的x∈P都有x∈NG(Q),從而矛盾.

證明仿照定理2和3易證.證畢.

3 結論

本文利用有限群中某些特殊子群的c-可補性質,主要研究有限群的冪零性和p-冪零性,一些相關的結果得到了推廣.