王建華

華東交通大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院， 南昌 330013

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具有伯努利分布丟包網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的保性能控制器設(shè)計*

王建華

華東交通大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院， 南昌 330013

針對一類服從伯努利分布丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，討論了其保性能控制器的設(shè)計問題，將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為一類具有不確定性參數(shù)的離散系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，結(jié)合一個最優(yōu)二次型性能指標(biāo)，推導(dǎo)出該類系統(tǒng)保性能控制器的存在性，并將系統(tǒng)保性能控制器設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為求解線性矩陣不等式(LMI)可行解問題。最后，通過仿真算例驗證了此控制方法的有效性和可行性。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；貝努力分布丟包；Lyapunov穩(wěn)定性；保性能；LMI

通過實時網(wǎng)絡(luò)形成閉環(huán)的反饋控制系統(tǒng)被稱為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control System,NCS)[1-2],它融合了計算機、通信、網(wǎng)絡(luò)和控制等技術(shù)，具有連線少、信息資源能共享、易于維護和擴展等優(yōu)點。因此，NCS廣泛地被應(yīng)用到航天、通訊以及日常工業(yè)等領(lǐng)域，其研究也受到越來越多學(xué)者的關(guān)注，并成為一個研究熱點。NCS各組件之間通過網(wǎng)絡(luò)傳輸信息時，不可避免地產(chǎn)生網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延與數(shù)據(jù)丟包而導(dǎo)致系統(tǒng)性能降低，甚至可能會引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。因而要使NCS具有較好的性能，NCS控制器必須對網(wǎng)絡(luò)時延與丟包問題進行補償。

目前，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)對時延與丟包問題的研究取得了初步成果。文獻[3]基于一定的數(shù)據(jù)包丟失率和恒定時延,系統(tǒng)被建模為由結(jié)構(gòu)事件率約束的異步動態(tài)切換系統(tǒng)。利用李亞普諾夫方法和線性矩陣不等式描述,推導(dǎo)出由數(shù)據(jù)包丟失率約束的系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。為了降低對網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)囊? 文獻[4]針對具有固定時延和隨機丟包情況的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng), 采用狀態(tài)增廣以克服時延對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)分析的影響, 進而考慮隨機丟包情況, 將增廣系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為切換系統(tǒng)。文獻[5]針對一類馬爾科夫網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，研究了均方指數(shù)問題。文獻[6]研究了一類具有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延和數(shù)據(jù)包丟失的不確定網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題。文獻[7]提出了一種時延相關(guān)狀態(tài)反饋控制方法,并將閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為離散時間切換模型，并通過構(gòu)造依賴于參數(shù)的Lyapunov函數(shù)給出了閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件和鎮(zhèn)定控制器設(shè)計方法。

本文針對一類具有不確定性參數(shù)的NCS,用一個二值分段函數(shù)來描述數(shù)據(jù)包的丟失情況，且該二值函數(shù)的取值服從伯努利分布，將網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為服從伯努利分布的隨機離散閉環(huán)系統(tǒng)。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，結(jié)合一個最優(yōu)二次型性能指標(biāo)，推導(dǎo)出該類系統(tǒng)保性能控制器的存在條件，并將系統(tǒng)保性能控制器設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為求解線性矩陣不等式(LMI)可行解問題。

1 問題描述

考慮一類含不確定參數(shù)的線性離散系統(tǒng)，如下所示

其中，x∈Rn，u∈Rm，y∈Rr分別為狀態(tài)、輸入和輸出狀態(tài)向量。A,B和C分別為適維的系統(tǒng)輸入、輸出和傳輸矩陣的確定分量。ΔA為系統(tǒng)的不確定參數(shù)，且滿足ΔA=DF(t)E，D和E均為適維的常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)是滿足FT(t)F(t)≤I的Legesgue 可測矩陣。

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中不可避免地存在時延和丟包。為了分析問題的方便，本文作如下假設(shè)：

1)傳感器、控制器和執(zhí)行器均為時鐘驅(qū)動；

2)傳感器-控制器時延τsc,控制器-執(zhí)行器時延τca,且網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延有界，滿足0≤τ(k)=τca(k)+τsc(k)=d=T·N，其中T為傳感器的采樣周期，N為大于1的整數(shù)；

3)丟包服從某一確定的概率分布；

4)數(shù)據(jù)包傳輸過程中無時序錯亂。

典型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖(1)所示。

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)完全可測，考慮式(1)的離散控制模型，令狀態(tài)反饋控制器的控制增益為K，狀態(tài)反饋可表示為：

由于網(wǎng)絡(luò)帶寬有限，進行數(shù)據(jù)包傳輸時會不可避免地發(fā)生丟包。假設(shè)控制器采用最新數(shù)據(jù)，若新的采樣數(shù)據(jù)可在一個采樣周期內(nèi)到達控制器，則控制器收到數(shù)據(jù)后立即計算控制量并輸出至執(zhí)行器，若在一個采樣周期內(nèi)控制器未收到數(shù)據(jù)包，則認(rèn)為丟包發(fā)生，此時控制量u=0。

為了描述數(shù)據(jù)包丟失，引入二值分段函數(shù)：

且服從伯努利概率分布

綜合考慮時延與丟包的影響，將式(2)～(3)代入式(1)，可得閉環(huán)控制系統(tǒng)：

針對系統(tǒng)(5),考慮如下性能指標(biāo)：

其中，Q為對稱正定陣。

令z(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-d)]，則系統(tǒng)(5)可寫為

相應(yīng)地，性能指標(biāo)式(6)可寫為

(8)

下面將給出系統(tǒng)(5)在性能指標(biāo)式(6)下的保性能控制律的設(shè)計方法。

2 控制器設(shè)計

定義1 對系統(tǒng)(5)和性能指標(biāo)式(6)，如果對任意的不確定參數(shù)矩陣ΔA，存在反饋控制增益K，使閉環(huán)系統(tǒng)(5) 穩(wěn)定，且相應(yīng)的性能指標(biāo)J∞≤J0，則稱K為不確定系統(tǒng)(5)的保性能控制增益。

引理1[8]針對任意矩陣W,M,N,F(t)，如果滿足FTF≤I,對于任一標(biāo)量ε>0, 如下不等式存在:

定理1 給定正定對稱矩陣Q，若存在正定對稱矩陣Xi(i=0,1,2,…,d)和矩陣Y，以及常數(shù)ε>0，使矩陣不等式

(10)

式中，

X=diag(X0,X1,X2,…,Xd)。

證明：若式(10) 成立，根據(jù)schur補原理，可得

令

P=diag(P0,P1,P2,…,Pd)，

則P=X-1=diag(P0,P1,P2,…,Pd)。

利用引理1，必有

即有

根據(jù)schur補原理可知，上式等價于

故

由于系統(tǒng)(7)是系統(tǒng)(5)的等價系統(tǒng)，因此要證明系統(tǒng)(5)穩(wěn)定只需證明系統(tǒng)(7)穩(wěn)定即可?，F(xiàn)取Lyapunov函數(shù)為

沿系統(tǒng)(7)的任意軌線向前作差分必有

E[ΔV(k)]=E[V(k+1)-V(k)]=

E[(Ψ+ΔΨ)z(k)]ΤP(Ψ+ΔΨ)z(k)]-

根據(jù)式(18)可知E[ΔV(k)]<0，故系統(tǒng)(7)穩(wěn)定得證。 即有

根據(jù)式(18)可知

根據(jù)(21)可知，

(23)

由定義1可知，系統(tǒng)(5)的保性能控制律存在。因此，定理1得證。

3 仿真算例

以如下所示網(wǎng)絡(luò)控制下的一個不穩(wěn)定模型為對象進行仿真研究：

討論性能指標(biāo)式(6)：

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為x(k)=[1.66-1.38]Τ，k≤0。系統(tǒng)存在丟包事件，并服從如下伯努利分布：

相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的保性能指標(biāo)為J0=15.1698。在此保性能控制律的條件下，閉環(huán)系統(tǒng)的控制信號曲線和狀態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖3和4所示。顯然從圖中可以看出，系統(tǒng)存在服從伯努利分布的丟包時(如圖2所示)，在上述保性能控制器作用下，系統(tǒng)具備良好的穩(wěn)定性能和控制性能。

圖2 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)數(shù)據(jù)丟包分布

圖3 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖4 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)控制信號曲線

4 結(jié)論

針對一類服從貝努力分布丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，將其建模為一類不確定性的離散系統(tǒng)。并通過反饋將其轉(zhuǎn)換為含有不確定參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，結(jié)合一個最優(yōu)二次型性能指標(biāo)，推導(dǎo)出該類系統(tǒng)保性能控制器的存在性，并將系統(tǒng)保性能控制器設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為求解線性矩陣不等式(LMI)可行解問題。最后，仿真算例驗證了此控制方法的有效性和可行性。

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Guaranteed Cost Controllers Design for Networked Control System with Data Losses Obeying Bernoulli Distribution

WANG Jianhua

School of Electronical and Electronic Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China

RegardingaclassofnetworkedcontrolsystemwithdatalossesobeyingBernoullidistribution，theproblemofdesigningguaranteedcostcontrollerisresearched.Thenetworkedcontrolsystemsaremodeledasdiscretesystemswithuncertainparameters.BasedonLyapunovstabilitytheory,systemstabilityisdiscussed.Bycombiningwithagivenoptimalquadraticperformanceindex,theexistenceofguaranteedcostcontrollersisdeduced.Moreover，basedonLMItoolbox,thecorrespondingdesignmethodofguaranteedcostcontrollerisproposed.Finally,thesimulationisincludedforexampletodemonstratetheeffectivenessandfeasibilityofthemethod.

Networkedcontrolsystem;DatalossesobeyingBernoullidistribution;StabilitytheoryofLyapunov;Guaranteedcost; LMI

*華東交通大學(xué)校立科研基金資助(13DQ04)

2014-07-10

王建華(1980-)，女，山東煙臺人，碩士，講師，主要研究方向為智能建筑控制和網(wǎng)絡(luò)化控制。

TJ765.2

A

1006-3242(2015)01-0010-05