上官文斌，魏玉明，趙 旭，榮俊偉，王亞杰

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東廣州510641；2.寧波拓普集團(tuán)股份有限公司，浙江寧波315800)

橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率計(jì)算與測(cè)試方法的研究

上官文斌1，2，魏玉明1，趙 旭1，榮俊偉2，王亞杰2

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東廣州510641；2.寧波拓普集團(tuán)股份有限公司，浙江寧波315800)

設(shè)計(jì)了橡膠試片靜動(dòng)態(tài)剪切特性實(shí)驗(yàn)夾具，測(cè)試得到了橡膠試片在不同壓縮比下的靜動(dòng)態(tài)剪切特性。建立了表征橡膠試片靜動(dòng)態(tài)剪切特性的Kelvin-Voigt本構(gòu)模型、Maxwell本構(gòu)模型和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型，提出了由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的橡膠試片剪切特性曲線來識(shí)別各模型參數(shù)的方法。給出了基于這3種本構(gòu)模型計(jì)算橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率的方法，計(jì)算了一扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率，并與測(cè)試值進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：基于Kelvin-Voigt模型計(jì)算得到的固有頻率不隨激振振幅的變化而變化，不能表征振幅相關(guān)性，而 Maxwell模型和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型計(jì)算固有頻率能表征振幅相關(guān)性。大振幅激勵(lì)時(shí)，利用 Maxwell模型計(jì)算的固有頻率與實(shí)測(cè)值的誤差較大；在各種激勵(lì)振幅下，利用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型可較準(zhǔn)確計(jì)算出減振器的固有頻率。

扭轉(zhuǎn)減振器；橡膠；模型參數(shù)測(cè)試與辨識(shí)；固有頻率測(cè)試

引 言

減少發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的常用方法是在曲軸前端安裝減振器［1］。橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)簡單、成本較低，而廣泛應(yīng)用于乘用車發(fā)動(dòng)機(jī)的曲軸減振。橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器的固有頻率是其最重要的性能參數(shù)之一，在扭轉(zhuǎn)減振器慣量環(huán)的慣量一定的情況下，其固有頻率與橡膠圈扭轉(zhuǎn)剛度、阻尼等有關(guān)。而橡膠圈扭轉(zhuǎn)剛度、阻尼跟橡膠圈壓縮比、激振頻率、激振振幅密切相關(guān)［2］。由于橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率受多種因素影響，以往的橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器的設(shè)計(jì)開發(fā)是一個(gè)不斷試驗(yàn)、修正的復(fù)雜過程。目前關(guān)于橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率計(jì)算方面的研究工作較少。因此，研究橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率計(jì)算方法具有較重要意義。

在橡膠動(dòng)態(tài)黏彈性力學(xué)特性的研究中，廣泛應(yīng)用Kelvin-Voigt，Maxwell、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)等力學(xué)模型［3-5］。Berg等［6］將Maxwell力學(xué)模型應(yīng)用于軌道車輛橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性計(jì)算，并取得了良好的效果。?stberg等［7］使用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型對(duì)一橡膠隔振器進(jìn)行建模，提出一種計(jì)算空心圓柱形橡膠隔振器動(dòng)剛度的方法。

本文測(cè)試了用于扭轉(zhuǎn)減振器橡膠圈的橡膠試片在不同壓縮比下，靜態(tài)力與位移關(guān)系特性，測(cè)試了橡膠試片動(dòng)態(tài)剪切特性與激振頻率的關(guān)系。進(jìn)行了在不同角位移激勵(lì)下，橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率的測(cè)試。分別用Kelvin-Voigt，Maxwell，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型描述橡膠材料的黏彈性特性，通過測(cè)試得到的橡膠試片的靜動(dòng)態(tài)特性，經(jīng)計(jì)算分析，得到了Kelvin-Voigt，Maxwell，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型中的參數(shù)。利用這3種模型計(jì)算橡膠扭轉(zhuǎn)減振器的固有頻率，并和實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行了對(duì)比。

1 扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率和橡膠試片靜動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)

1.1 固有頻率測(cè)試實(shí)驗(yàn)

橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器結(jié)構(gòu)和固有頻率測(cè)試實(shí)驗(yàn)分別見圖1和2。

固有頻率測(cè)試時(shí)，扭轉(zhuǎn)減振器的慣量環(huán)處于自由狀態(tài)，輪轂與實(shí)驗(yàn)臺(tái)的激振軸緊固聯(lián)接。試驗(yàn)臺(tái)激振軸對(duì)輪轂產(chǎn)生恒定振幅角位移激勵(lì)。在激振軸與慣量環(huán)外緣安裝兩個(gè)加速度傳感器，測(cè)量其切向方向加速度。對(duì)慣量環(huán)上的加速度與激振軸上的加速度相除，可得到一傳遞函數(shù)，其幅值的峰值所對(duì)應(yīng)的頻率為減振器固有頻率。圖3某減振器固有頻率測(cè)試曲線，由圖可見，在頻響函數(shù)達(dá)到峰值時(shí)，滯后角為-90°，測(cè)試得到的固有頻率為357 Hz。

圖1 橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器Fig.1 Rubber damped torsional vibration absorber

圖2 橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率測(cè)試實(shí)驗(yàn)Fig.2 Measurement of natural frequency of rubber damped torsional vibration absorber

圖3 一扭轉(zhuǎn)減振器頻率函數(shù)測(cè)試曲線Fig.3 Measured frequency response function of a torsional vibration abosrber

1.2 橡膠試片剪切試驗(yàn)

扭轉(zhuǎn)減振器工作時(shí)，聯(lián)接輪轂和慣量環(huán)的橡膠圈每一小段微元均處于剪切狀態(tài)。為了表征其受力情況，得到橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器中橡膠圈的靜、動(dòng)態(tài)特性參數(shù)，本文設(shè)計(jì)了橡膠試片剪切實(shí)驗(yàn)工裝，進(jìn)行了與扭轉(zhuǎn)減振器相同材料的橡膠試片靜動(dòng)態(tài)特性實(shí)驗(yàn)。

橡膠試片剪切實(shí)驗(yàn)工裝見圖4。實(shí)驗(yàn)工裝包括運(yùn)動(dòng)塊(1)、鎖緊塊(4，7)、轉(zhuǎn)接塊(5)、夾板(2，10)、橡膠試片(8)、墊片(9)和緊固螺栓。在MTS831彈性體實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行橡膠試片靜態(tài)剪切及動(dòng)態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)。運(yùn)動(dòng)塊(1)與MTS彈性體實(shí)驗(yàn)臺(tái)運(yùn)動(dòng)端聯(lián)接，鎖緊塊(4，7)通過轉(zhuǎn)接塊(5)與MTS彈性體實(shí)驗(yàn)臺(tái)固定端聯(lián)接。在運(yùn)動(dòng)塊(1)和兩個(gè)鎖緊塊(4，7)中間放入兩個(gè)橡膠試片。兩個(gè)橡膠試片對(duì)稱布置。在兩個(gè)鎖緊塊外部套上兩個(gè)夾板(2，10)。橡膠試片壓縮量與壓縮前的厚度之比定義為壓縮比。在兩個(gè)夾板中間可安裝墊片，通過不同厚度墊片的組合可以實(shí)現(xiàn)不同的壓縮比。

圖4 橡膠試片剪切實(shí)驗(yàn)工裝三維模型Fig.4 3D model of test fixture for measuring shear performance of a rubber specimen

試驗(yàn)橡膠試片的材料和尺寸參數(shù)見表1。其中A0和d0為橡膠試片壓縮前的面積和厚度。

表1 橡膠試片材料和尺寸參數(shù)Tab.1 materials and sizes of rubber specimen

在橡膠試片準(zhǔn)靜態(tài)試驗(yàn)時(shí)，對(duì)橡膠試片的運(yùn)動(dòng)塊施加低頻穩(wěn)態(tài)簡諧位移激勵(lì)，測(cè)試工裝固定端力隨位移激勵(lì)的變化關(guān)系曲線。為了盡量減少黏性力影響，應(yīng)采用較低激振頻率和較大激振振幅。本實(shí)驗(yàn)采用激振頻率為0.2 Hz，振幅為5 mm的穩(wěn)態(tài)簡諧位移激勵(lì)，分別進(jìn)行壓縮比從20%到50%的準(zhǔn)靜態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)，記錄橡膠試片的力與位移關(guān)系如圖5所示。

圖5 準(zhǔn)靜態(tài)剪切試驗(yàn)力與位移關(guān)系曲線Fig.5 Measured shear force and displacement of rubber specimen

在橡膠試片動(dòng)態(tài)剪切試驗(yàn)時(shí)，為了盡量減小橡膠塊內(nèi)部摩擦力的影響，應(yīng)采用較小激振振幅。本實(shí)驗(yàn)的激振振幅為0.1 mm，激振頻率范圍為5～500 Hz。動(dòng)態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)時(shí)，記錄橡膠試片剪切動(dòng)剛度隨激振頻率的變化關(guān)系曲線，如圖6所示。橡膠試片靜動(dòng)態(tài)特性的實(shí)驗(yàn)方法和數(shù)據(jù)處理方法可參考文獻(xiàn)［8］。

圖6 動(dòng)態(tài)剪切試驗(yàn)動(dòng)剛度與激振頻率關(guān)系曲線Fig.6 Measured dynamic shear stiffness versus excitation frequency of rubber specimen

2 橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器力學(xué)模型

將扭轉(zhuǎn)減振器的輪轂和慣量環(huán)簡化為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jh和Ji的慣量盤，其扭振角分別為θh和θi，如圖7所示。將橡膠圈簡化為具有剛度和阻尼的黏彈性元件，采用不同方法表征黏性特性時(shí)，就得到不同力學(xué)模型。

圖7 橡膠阻尼扭轉(zhuǎn)減振器的等效力學(xué)模型Fig.7 Equivalent mechanic models for rubber damped torsional vibration dampers

2.1 Kelvin-Voigt模型

將橡膠圈等效為彈簧和阻尼單元并聯(lián)，得到扭轉(zhuǎn)減振器Kelvin-Voigt力學(xué)模型，如圖7(a)所示［3］。圖中，KKV為扭轉(zhuǎn)剛度，CKV為阻尼?；贙elvin-Voigt力學(xué)模型，扭轉(zhuǎn)減振器慣量環(huán)的振動(dòng)方程為

2.2 Maxwell模型

扭轉(zhuǎn)減振器Maxwell力學(xué)模型如圖7(b)所示［3-5］，輪轂和慣量環(huán)間的相互作用力矩為彈性扭矩、黏彈性扭矩、摩擦扭矩的疊加。其中Ke為彈性扭轉(zhuǎn)剛度，KMv為黏彈性扭轉(zhuǎn)剛度，CMv為黏性阻尼，Tf為橡膠摩擦扭矩。摩擦扭矩由橡膠分子之間的摩擦產(chǎn)生，與頻率無關(guān)，只與橡膠變形量有關(guān)［3］。扭轉(zhuǎn)減振器Maxwell力學(xué)模型可簡化為剛度為KMeq的彈簧、阻尼為 CMeq的彈性、阻尼單元和摩擦單元并聯(lián)的等效力學(xué)模型，等效扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼分別為：

式中 ω為作用于減振器輪轂處的激振頻率。

基于Maxwell力學(xué)模型，減振器慣量環(huán)的振動(dòng)方程為

2.3 分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型

橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)力學(xué)模型如圖7(c)所示［3］。輪轂和慣量環(huán)間的相互作用力矩為彈性扭矩、黏彈性扭矩、摩擦扭矩的疊加。彈性扭矩、摩擦扭矩與Maxwell力學(xué)模型一致。黏彈性力矩在的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型中為［4］

式中 B為黏彈性扭矩系數(shù)，α為分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階，其取值范圍為0＜α＜1，Dα(·)表示對(duì)(·)的α階導(dǎo)數(shù)。

基于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)力學(xué)模型，扭轉(zhuǎn)減振器慣量環(huán)的振動(dòng)方程為

3 橡膠本構(gòu)模型參數(shù)的確定

在橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器中，由橡膠圈提供的扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼與橡膠材料的配方、壓縮比和橡膠圈的尺寸有關(guān)。為了消除橡膠圈的尺寸對(duì)橡膠圈材料動(dòng)態(tài)性能的影響，建立橡膠圈材料的Kelvin-Voigt本構(gòu)模型、Maxwell本構(gòu)模型和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型，分別見圖8(a)，(b)，(c)所示。

3.1 Kelvin-Voigt本構(gòu)模型參數(shù)的確定

在橡膠Kelvin-Voigt模型中試片剪切動(dòng)剛度為

式中 kKV和cKV分別橡膠試片Kelvin-Voigt模型中的剪切剛度和剪切阻尼。

圖8 橡膠本構(gòu)模型Fig.8 Rubber constitutive model

由動(dòng)態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)測(cè)得的橡膠試片剪切動(dòng)剛度隨激振頻率變化的函數(shù)關(guān)系曲線，根據(jù)最小二乘法擬合即可得到kKV和cKV。壓縮比為50%的動(dòng)剛度測(cè)試及擬合曲線如圖9所示。

圖9 Kelvin Voigt模型動(dòng)剛度測(cè)試及擬合曲線Fig.9 Measured dynamic stiffness versus frequency of rubber specimen，and the fitted curve using Kelvin-Voigt model

橡膠材料Kelvin-Voigt模型中，其剪切模量GKV可由橡膠試片的彈性剛度kKV計(jì)算得到，黏性系數(shù)ηKV可由橡膠試片剪切阻尼cKV計(jì)算得到。

圖10為單個(gè)橡膠試片剪切狀態(tài)示意圖，橡膠彈性剪切模量為

圖10 單個(gè)橡膠試片剪切狀態(tài)示意圖Fig.10 The shear deformation of a rubber specimen

式中 τKV為橡膠彈性剪切應(yīng)力，γ為橡膠剪切應(yīng)變，F(xiàn)KV為試片彈性剪切力，A為試片壓縮后與實(shí)驗(yàn)工裝的接觸面積，x為試片剪切位移，d為試片壓縮后的厚度，分母中的2代表有兩塊試片同時(shí)進(jìn)行試驗(yàn)。

橡膠試片壓縮比為

假設(shè)橡膠試片在壓縮過程中體積保持不變，得

將式(9)和(10)代入式(8)，得

同理，由橡膠試片剪切阻尼cKV計(jì)算得到橡膠試片的Kelvin-Voigt本構(gòu)力學(xué)模型的黏性系數(shù)ηKV，即

由橡膠試片動(dòng)態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)計(jì)算得到的橡膠試片Kelvin-Voigt模型參數(shù)和本構(gòu)模型參數(shù)如表2所示。對(duì)彈性剪切模量GKV和單元黏性系數(shù)ηKV與壓縮比的關(guān)系進(jìn)行最小二乘擬合，得到如下關(guān)系式：

表2 橡膠試片Kelvin-Voigt模型和本構(gòu)模型參數(shù)Tab.2 Parameters of Kelvin-Voigt model and constitutive model

3.2 Maxwell本構(gòu)模型參數(shù)的確定

當(dāng)橡膠試片壓縮比已知時(shí)，由準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)，測(cè)試得到作用于橡膠試片的剪切力與位移激勵(lì)關(guān)系曲線，根據(jù)參考文獻(xiàn)［3］，可求解得到橡膠試片的彈性剛度ke、最大摩擦力Ffmax和1/2最大摩擦力時(shí)的位移x1/2。壓縮比為20%時(shí)，準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)所測(cè)試得的一組剪切力與位移激勵(lì)函數(shù)關(guān)系曲線，如圖11所示。

圖11 剪切力與位移關(guān)系曲線Fig.11 Shear force versus displacement

由橡膠試片彈性剛度、最大摩擦力、1/2最大摩擦力時(shí)的位移，可計(jì)算得到Maxwell本構(gòu)模型中的彈性剪切模量Ge、最大摩擦應(yīng)力τfmax、1/2最大摩擦應(yīng)力時(shí)的應(yīng)變?chǔ)?/2。

在不同的試片壓縮比下，由橡膠試片準(zhǔn)靜態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)得到的力和位移關(guān)系，計(jì)算得到的Maxwell橡膠材料本構(gòu)模型參數(shù)如表3所示。對(duì)表3的計(jì)算結(jié)果，應(yīng)用最小二乘方法，可擬合得到Maxwell本構(gòu)模型中的參數(shù)與橡膠試片壓縮比的關(guān)系為：

在橡膠試片Maxwell模型中，當(dāng)位移激勵(lì)幅值較小時(shí)，可忽略摩擦力影響，橡膠試片動(dòng)態(tài)剪切剛度隨激振頻率變化的函數(shù)關(guān)系為［6］

式中 kMv，cMv分別為橡膠試片Maxwell模型中黏彈性單元的剪切剛度和剪切阻尼。利用最小二乘方法，由動(dòng)態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)測(cè)得的橡膠試片剪切動(dòng)剛度隨激振頻率變化關(guān)系，即可得到kMv和cMv。壓縮比為50%時(shí)，橡膠試片剪切動(dòng)剛度隨激振頻率變化測(cè)試曲線與擬合曲線如圖12所示。

橡膠Maxwell本構(gòu)模型中黏彈性單元的參數(shù)，GMv和ηMv，可由橡膠試片黏彈性剪切剛度 KMv和黏彈性剪切模量CMv計(jì)算得到：

表3 橡膠試片Maxwell模型摩擦單元參數(shù)、Maxwell本構(gòu)模型中彈性單元與摩擦單元參數(shù)Tab.3 Parameters for friction element in Maxwell model of rubber specimen，and parameters for elastic element and friction element in Maxwell constitutive model

圖12 Maxwell模型動(dòng)剛度測(cè)試及擬合曲線Fig.12 Measured dynamic stiffness versus frequency of rubber specimen，and the fitted curve using Maxwell model

在一定的壓縮比下，計(jì)算得到的橡膠試片Maxwell模型中黏彈性單元的參數(shù)如表4所示。對(duì)Maxwell本構(gòu)模型黏彈性剪切模量GMv與黏性系數(shù)ηMv與壓縮比的關(guān)系進(jìn)行最小二乘擬合，得到以下關(guān)系式：

表4 橡膠試片Maxwell模型中黏彈性單元參數(shù)Tab.4 Parameters for visco-elastic element in Maxwell model

3.3 分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型參數(shù)的確定

橡膠試片分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型中的彈性剪切模量Ge、最大摩擦應(yīng)力τfmax和1/2最大摩擦應(yīng)力時(shí)的應(yīng)變?chǔ)?/2與Maxwell橡膠試片力學(xué)模型中的參數(shù)相同。在橡膠試片動(dòng)態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)位移激勵(lì)幅值較小時(shí)，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)橡膠試片力學(xué)模型可忽略摩擦力影響，橡膠試片動(dòng)態(tài)剪切剛度隨激振頻率變化的函數(shù)關(guān)系為

式中 b為分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)橡膠模型中橡膠試片黏彈性系數(shù)，α為分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)橡膠模型中橡膠試片分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階。由動(dòng)態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)測(cè)得的橡膠試片剪切動(dòng)剛度隨激振頻率變化的函數(shù)關(guān)系曲線，最小二乘法擬合得到b和α。壓縮比為50%時(shí)，橡膠試片剪切動(dòng)剛度隨激振頻率變化測(cè)試曲線與擬合曲線如圖13所示。

圖13 分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型動(dòng)剛度測(cè)試及擬合曲線Fig.13 Measured dynamic stiffness versus frequency of rubber specimen，and the fitted curve using fractional derivative model

橡膠材料本構(gòu)模型中的單元黏彈性系數(shù)m可由橡膠試片中的黏彈性系數(shù)b計(jì)算得到

計(jì)算得到的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型中的常數(shù)見表5。對(duì)單元黏彈性系數(shù)m和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階α與壓縮比的關(guān)系，進(jìn)行最小二乘擬合，擬合關(guān)系式為：

表5 分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型中黏彈性單元模型參數(shù)Tab.5 Parameters for visco-elastic element in fractional derivate model

4 橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率計(jì)算

4.1 扭轉(zhuǎn)減振器扭轉(zhuǎn)剛度與阻尼的計(jì)算

通過橡膠試片準(zhǔn)靜態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)和動(dòng)態(tài)剪切實(shí)驗(yàn)得到了3種不同橡膠模型的參數(shù)。各種模型中的模型參數(shù)與橡膠試片尺寸無關(guān)。由3種橡膠本構(gòu)模型的參數(shù)，和扭轉(zhuǎn)減振器尺寸參數(shù)，可計(jì)算得到扭轉(zhuǎn)減振器的剛度和阻尼，進(jìn)而用于扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率的計(jì)算。

任意輪轂形狀的橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器如圖14所示，扭轉(zhuǎn)剛度K與橡膠彈性剪切模量G的關(guān)系 為［9］

式中 r1(x)為沿橡膠圈軸向變化的輪轂外半徑，r2(x)為沿橡膠圈軸向變化的慣量環(huán)內(nèi)半徑，L為橡膠圈寬度。分別將橡膠試片Kelvin-Voigt模型中彈性剪切模量GKV、Maxwell力學(xué)模型彈性剪切模量Ge和黏彈性剪切模量GMv、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)力學(xué)模型彈性剪切模量Ge帶入式(29)中，即可得到扭轉(zhuǎn)減振器Kelvin-Voigt模型扭轉(zhuǎn)剛度KKV、Maxwell模型彈性扭轉(zhuǎn)剛度Ke和黏彈性扭轉(zhuǎn)剛度KMv、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型彈性扭轉(zhuǎn)剛度Ke。

圖14 任意輪轂形狀橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器Fig.14 Cross-section of a torsional vibration absorber

扭轉(zhuǎn)減振器阻尼C與橡膠材料的黏性系數(shù)η的關(guān)系為

將橡膠試片Kelvin-Voigt本構(gòu)模型單元黏性系數(shù)ηKV、Maxwell本構(gòu)學(xué)模型單元黏性系數(shù)ηMv帶入式(30)中，即可得到扭轉(zhuǎn)減振器Kelvin-Voigt力學(xué)模型阻尼CKV、Maxwell力學(xué)模型黏性阻尼CMv。

由公式(2)可得橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器Maxwell力學(xué)模型等效扭轉(zhuǎn)剛度KMeq，由公式(3)可得橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器Maxwell力學(xué)模型等效阻尼CMeq。

任意輪轂形狀的減振器最大摩擦扭矩Tfmax與最大剪切應(yīng)力τfmax的關(guān)系為

式中 r(x)為橡膠圈內(nèi)外半徑均值。

4.2 基于Kelvin-Voigt模型計(jì)算固有頻率

當(dāng)扭轉(zhuǎn)減振器中的橡膠圈的動(dòng)態(tài)特性用Kelvin-Voigt模型來表征時(shí)，扭轉(zhuǎn)減振器慣量環(huán)的振動(dòng)方程為公式(1)，其頻率的計(jì)算公式為

式中 fKVn為橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器Kelvin-Voigt模型中無阻尼固有頻率，ζ為阻尼比。由式(32)可得，橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器Kelvin-Voigt力學(xué)模型固有頻率未考慮幅值相關(guān)性，即不同角位移激勵(lì)計(jì)算得到的減振器固有頻率均相等。

4.3基于Maxwell模型計(jì)算固有頻率

當(dāng)扭轉(zhuǎn)減振器中的橡膠圈的動(dòng)態(tài)特性用Maxwell模型來表征時(shí)，扭轉(zhuǎn)減振器慣量環(huán)的振動(dòng)方程為公式(4)。由于Maxwell模型中的等效剛度KMeq和等效阻尼CMeq均與頻率相關(guān)，因此不能利用公式(4)來直接求解固有頻率。可采用在輪轂處加一激勵(lì)，當(dāng)振幅一定時(shí)，頻率在一定的范圍內(nèi)變化，求解扭轉(zhuǎn)減振器慣量環(huán)的振動(dòng)響應(yīng)，其峰值即為扭轉(zhuǎn)減振器的固有頻率。

本文采用中心差分法，求解慣量環(huán)的響應(yīng)。應(yīng)用有限差分替代位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，采用等時(shí)間步長Δt，有：

式中 n為迭代步數(shù)。

由式(33)和(34)對(duì)慣量環(huán)的振動(dòng)方程(4)在時(shí)域進(jìn)行離散化，并化簡，得到慣量環(huán)轉(zhuǎn)角迭代計(jì)算公式：

摩擦扭矩的迭代計(jì)算公式計(jì)算方法見參考文獻(xiàn)［3］。計(jì)算中，慣量環(huán)轉(zhuǎn)角迭代公式和摩擦扭矩迭代公式的初始條件為

作用于扭轉(zhuǎn)減振器輪轂處位移激勵(lì)為單一頻率的簡諧分量，即

式中 Ae為輪轂處角位移激勵(lì)幅值，fe為激勵(lì)頻率。

綜上所述，基于Maxwell模型，計(jì)算扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率步驟為：

(1)當(dāng)輪轂激勵(lì)角振幅為Ae，激勵(lì)頻率為fe時(shí)，由式(33)～(37)計(jì)算得到扭轉(zhuǎn)減振器的慣量環(huán)轉(zhuǎn)角時(shí)域響應(yīng)；

(2)當(dāng)慣量環(huán)轉(zhuǎn)角位移的時(shí)域響應(yīng)穩(wěn)定后，其幅值為該位移激勵(lì)下的慣量環(huán)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值；

(3)激勵(lì)振幅Ae不變，改變激勵(lì)頻率fe，可計(jì)算不同激勵(lì)頻率下的慣量環(huán)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值，其中慣量環(huán)最大的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值對(duì)應(yīng)的激勵(lì)頻率，即為在位移激勵(lì)振幅Ae下，橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器的固有頻率。

(4)改變激勵(lì)振幅Ae，重復(fù)計(jì)算步驟(1)～(3)，即可計(jì)算不同位移激勵(lì)振幅下橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器的固有頻率。

4.4 基于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型計(jì)算固有頻率

由于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型中，表征橡膠黏彈性特性的常數(shù)B和α與頻率相關(guān)，因此不能直接求解固有頻率。可利用與4.3節(jié)類似的方法求解扭轉(zhuǎn)減振器的固有頻率。

對(duì)表征橡膠圈的黏彈性力的公式(5)進(jìn)行時(shí)域離 散 化［2］，得

式中 r0為橡膠圈內(nèi)外半徑均值，L0為橡膠圈的寬度，h0為橡膠圈內(nèi)外半徑差。Aj+1為Grunwald系數(shù)，定義為

式中 Γ(·)為Gamma函數(shù)。

由式(33)，(34)和(38)，對(duì)式(6)進(jìn)行時(shí)域離散化，化簡得到慣量環(huán)轉(zhuǎn)角迭代公式為

4.5 固有頻率的計(jì)算值與測(cè)試值對(duì)比

某款橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器的尺寸和慣量參數(shù)如表6所示。由3種不同的模型計(jì)算得到的該減振器固有頻率與測(cè)試得到的固有頻率對(duì)比如圖15所示。

表6 橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器尺寸和慣量環(huán)慣量參數(shù)Tab.6 Parameters for a torsional vibration damper

圖15 不同激振角度下的減振器固有頻率計(jì)算值與測(cè)試值對(duì)比Fig.15 Measured and calculated natural frequency of a torsional vibration absorber under different oscillation angles

5 結(jié) 論

利用建立的扭轉(zhuǎn)減振器的模型，和橡膠材料的本構(gòu)模型，進(jìn)行了一款橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率計(jì)算，并與測(cè)試值進(jìn)行了對(duì)比。分析結(jié)果表明，Kelvin-Voigt模型計(jì)算固有頻率不隨激振振幅的變化而變化，不能很好地反應(yīng)橡膠的動(dòng)態(tài)特性。Maxwell模型可表征減振器固有頻率隨激振振幅變化而變化，可較為準(zhǔn)確地計(jì)算小振幅激勵(lì)下橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器固有頻率，但大振幅激勵(lì)下固有頻率的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的誤差較大。分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)力學(xué)模型能夠比較準(zhǔn)確地計(jì)算橡膠阻尼式扭轉(zhuǎn)減振器在各種激勵(lì)振幅下的固有頻率，其相對(duì)誤差均在10%以內(nèi)。

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Astudy on method of calculation and measurement for natural frequency of torsional vibration rubber dampers

SHANGGUAN Wen-bin1，2，WEI Yu-ming1，ZHAO Xu1，RONG Jun-wei2，WANG Ya-jie2
(1.School of Mechanical&Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China；(2.Ningbo Tuopu Group Co.Ltd.，Ningbo 315800，China)

The natural frequency is one of the most performance parameters of a rubber damped torsional vibration dampers(TVD).The natural frequency is determined by the static and dynamic shear properties of the rubber ring of the TVD，and the moment of inertia of the inertia ring.In this paper a special fixture is designed and used for measuring static and dynamic performance of a rubber shear specimen under different compression ratios.Three constructive models，Kelvin-Voigt model，the Maxwell model and the fractional derivative model，for characterizing the rubber viscous properties are described，and the method for obtaining the model parameters in the three constructive models are developed using the measured dynamic performance of a rubber shear specimen.The natural frequency of a TVD is calculated using the three models to characterize the rubber ring of the TVD，and the calculated frequencies are compared with the measurement.It is demonstrated that the natural frequency of the TVD calculated by the Kelvin-Voigt model is constant when the excitation amplitude is increased，which is inconsistent with the measured data.The calculated natural frequency using the Maxwell and the fractional derivative model to describe the rubber ting of a TVD is the excitation amplitude dependent，which is consist with the trend of measured data.But the relative errors between the calculation using Maxwell model and the measurement under the large amplitude excitation are large，and is not be accepted in engineering application.The natural frequency estimated from the fractional derivative model agrees well with the measured data for different excitation amplitudes，and the relative error between the calculation and measurement is less than 10%.

torsional vibration damper；rubbers；measurement and identification of rubber parameters；natural frequency measurement

U464.133+3

A

1004-4523(2015)04-550-10

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.04.007

上官文斌(1963—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：sgwb@163.com

2013-08-10；

2015-03-30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275175，11472107)