王維紅，張 振，石 穎，李 瑩

（東北石油大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶 163318）

λ－f域拋物Radon變換多次波壓制方法

王維紅，張 振，石 穎，李 瑩

（東北石油大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶 163318）

空間截?cái)嘈?yīng)降低傳統(tǒng)Radon變換壓制多次波的精度.提出一種λ－f域拋物Radon變換方法，與傳統(tǒng)最小二乘拋物Radon變換相比，地震數(shù)據(jù)變換到λ－f域后表現(xiàn)為直線的映射，更便于設(shè)計(jì)濾波函數(shù)，從而有效消除傳統(tǒng)多次波壓制過程中空間截?cái)嘈?yīng)的影響.另外，新變量λ的引入，使Radon正反算子成為與頻率無關(guān)的矩陣，可大幅度提高計(jì)算效率.理論模型和實(shí)際海洋地震數(shù)據(jù)多次波壓制試算結(jié)果表明，提出的λ－f域拋物Radon變換法可有效實(shí)現(xiàn)多次波壓制，提高地震數(shù)據(jù)的信噪比，具有較強(qiáng)的實(shí)用性.

Radon變換；多次波壓制；λ－f域；計(jì)算效率

0 引言

多次波壓制是海洋地震資料處理中的重要預(yù)處理環(huán)節(jié)［1－4］，因?yàn)槎啻尾ǖ拇嬖诮档偷卣饠?shù)據(jù)的分辨率，影響地震數(shù)據(jù)的成像質(zhì)量［5－7］和后續(xù)地震解釋的精度［8］，有效地壓制多次波在地震數(shù)據(jù)處理中顯得尤為重要.Radon變換是疊前地震數(shù)據(jù)處理中壓制多次波的有效方法，人們研究Radon變換壓制多次波的方法，Hampson D［9］提出頻率域最小二乘拋物Radon變換方法，但是在Radon域存在剪刀狀“拖尾”現(xiàn)象，致使濾波函數(shù)設(shè)計(jì)困難，從而導(dǎo)致多次波壓制效果不理想.Sacchi M等［10］改進(jìn)Hampson方法，提出頻率域高分辨率拋物Radon變換方法；該方法在處理簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)時(shí)可以有效地解決變換域“拖尾”現(xiàn)象，但對(duì)復(fù)雜介質(zhì)的地震數(shù)據(jù)，無法得到高精度多次波壓制效果.也有學(xué)者提出時(shí)間域Radon變換方法［11－12］彌補(bǔ)頻率域Radon分辨率較低的缺陷，但時(shí)變矩陣的求解無法應(yīng)用Levinson遞推快速計(jì)算方法，導(dǎo)致計(jì)算效率大幅度降低.

筆者提出一種基于λ－f域拋物Radon變換壓制多次波的方法，通過變量λ的引入，該方法的Radon變換算子與頻率無關(guān)，從而比傳統(tǒng)的Radon變換具有更高的計(jì)算效率［13］.同時(shí)，經(jīng)λ－f域拋物Radon變換，拋物線型的地震同相軸在λ－f域變?yōu)榫哂幸欢ㄐ甭实闹本€，在一定程度上避免多次波壓制過程中“拖尾”現(xiàn)象的干擾［14］.經(jīng)過理論模型及實(shí)際地震資料的地震道集數(shù)據(jù)多次波壓制試算，該方法具有較好的多次波壓制效果.

1 最小二乘拋物Radon變換

拋物Radon正反變換時(shí)間域離散積分形式為

式（1－2）中：d（x，t）為時(shí)間—炮檢距域地震數(shù)據(jù)；u（q，τ）為對(duì)應(yīng)的Radon域的模型空間；q為曲率參數(shù)；τ為Radon域零偏移距截距時(shí)間；t為雙程旅行時(shí)；Nx為地震數(shù)據(jù)的道數(shù)；Nq為曲率參數(shù)q的個(gè)數(shù)；xn為偏移距.

由于時(shí)間t與截距時(shí)間τ存在線性關(guān)系，可經(jīng)由頻率域高效計(jì)算拋物Radon變換，所以方程式（1）、（2）沿時(shí)間方向做傅里葉變換后，頻率域形式表示為

式（3－4）中：u（q，f）、d（x，f）分別為u（q，τ）和d（x，t）對(duì)應(yīng)的傅里葉變換；f為頻率；j為虛數(shù)單位.對(duì)于單個(gè)頻率成分，方程式（4）的矩陣形式為

其中，Radon算子為

由于L與LH不是互逆的，一般不直接采用算子LH計(jì)算Radon變換，而是采用最小二乘方法定義拋物Radon正變換，即

式中：I為單位矩陣；μ通常取LHL矩陣主對(duì)角線數(shù)據(jù)的0.01倍［15］，增強(qiáng)矩陣求解的穩(wěn)定性.

式（5）、（7）即為正反Radon變換的關(guān)系式，由于式（5）、（7）中的Radon算子與頻率有關(guān)，所以在式（5）、（7）求解過程中，每計(jì)算一個(gè)頻率分量，需要計(jì)算一次Radon算子及算子的逆，降低計(jì)算效率.

2 λ－f域拋物Radon變換

定義新變量λ＝fq，式（4）在λ－f域的Radon變換定義為

式中：M為變量λ的個(gè)數(shù).

與式（7）對(duì)應(yīng)的λ－f域拋物Radon正變換為

其中，Radon算子L（λ）表達(dá)式為

λ－f域拋物Radon變換的算子L（λ）是關(guān)于偏移距參數(shù)xn及λ的復(fù)數(shù)矩陣，與頻率無關(guān)，在整個(gè)λf域拋物Radon正反變換過程中僅需計(jì)算一次，相比于傳統(tǒng)τ－q域拋物Radon變換，計(jì)算效率有很大程度的提高.并且LHL為主對(duì)角線元素相等的Toeplitz矩陣，所以Levinson遞推法快速求解依然適用.

理論模擬炮記錄的Radon變換域見圖1.圖1（a）為含有3個(gè)同相軸的單炮地震記錄，共100道，道間距為20m，時(shí)間采樣間隔為4ms，每道600個(gè)采樣點(diǎn).對(duì)圖1（a）的地震數(shù)據(jù)采用最小二乘τ－q域拋物Radon正變換，理論上在Radon域得到3個(gè)點(diǎn)，然而實(shí)際上是3個(gè)含有很大假象的剪刀狀的結(jié)果（“拖尾”現(xiàn)象）（見圖1（b））.這是因?yàn)樵赗adon變換離散運(yùn)算中，地震數(shù)據(jù)的有限孔徑引起截?cái)嘈?yīng).在Radon變換壓制多次波過程中，由于存在截?cái)嘈?yīng)的干擾，有效波與多次波在Radon域的假象可能交織在一起，使得有效波與多次波的假象得不到完全分離，進(jìn)而導(dǎo)致波場(chǎng)分離不徹底.

為消除空間截?cái)嘈?yīng)的影響，對(duì)圖1（a）的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行λ－f域拋物Radon變換，得到λ－f域剖面（見圖1（c）），地震數(shù)據(jù)在經(jīng)過λ－f域拋物Radon變換后，能量分布在以q為斜率的直線上，并未因空間截?cái)嘈?yīng)在λ－f域產(chǎn)生假象，在一定程度上避免“拖尾”現(xiàn)象的干擾.

3 離散采樣及濾波函數(shù)

3.1 離散采樣

為避免在λ－f域拋物Radon變換過程中出現(xiàn)假頻，對(duì)采樣間隔參數(shù)Δλ和λ的范圍進(jìn)行合理離散采樣，其中：

式（11－12）中：λmax、λmin分別為λ的最大和最小值；xmax、xmin分別為數(shù)據(jù)的最大和最小偏移距；ΔTmax、ΔTmin分別為地震數(shù)據(jù)在時(shí)空域的最大與最小動(dòng)校正時(shí)差；fmax為數(shù)據(jù)最大有效頻率.

3.2 濾波函數(shù)

根據(jù)λ定義，地震數(shù)據(jù)d在經(jīng)過λ－f域拋物Radon變換后，一次波與多次波呈現(xiàn)過原點(diǎn)以不同曲率參數(shù)q為斜率的直線，引入濾波矩陣G（λ，f），對(duì)有效波和多次波進(jìn)行分離.

式中：ΔT0為有效波與多次波分離所對(duì)應(yīng)的動(dòng)校正時(shí)差.有效波在λ－f域可表示為

變換到x－f域的有效波可表示為

4 數(shù)據(jù)試算

4.1 理論模型

為驗(yàn)證λ－f域拋物Radon變換在壓制多次波中的有效性，合成含表面多次波的模型數(shù)據(jù)，見圖2（a）.理論模型數(shù)據(jù)共100道，道間距為20m，時(shí)間采樣間隔為4ms，每道601個(gè)采樣點(diǎn).分段部分動(dòng)校正后的剖面見圖2（b），一次波同相軸向上彎曲，曲率參數(shù)q為負(fù)值，為校正過量；多次波同相軸向下彎曲，曲率參數(shù)q為正值，為校正不足.地震數(shù)據(jù)在經(jīng)過部分動(dòng)校正后，有效波與多次波在變換域內(nèi)得到更加有效的區(qū)分.對(duì)圖2（b）的地震數(shù)據(jù)應(yīng)用文中方法得到λ－f域剖面（見圖2（c））.根據(jù)λ定義，一次波與多次波在λ－f域剖面上為經(jīng)過原點(diǎn)且分布在原點(diǎn)兩側(cè)不同斜率的直線上.根據(jù)式（13）選取合適的濾波算子對(duì)圖2（c）進(jìn)行多次波切除，得到濾波后λ－f域剖面（見圖2（d））.λ－f域剖面變換到時(shí)空域得到的單炮記錄見圖2（e），壓制多次波后炮記錄只有5個(gè)有效波同相軸，在圖2（a）的其他多次波得到有效壓制，即地震資料的信噪比得到有效提高.對(duì)理論模型數(shù)據(jù)應(yīng)用最小二乘拋物Radon變換方法壓制多次波后的剖面見圖2（f），模擬的地震數(shù)據(jù)在1.8s處，有效波同相軸與多次波同相軸在時(shí)間域難以分開，在Radon變換域由于受空間截?cái)嘈?yīng)的影響，兩者的像在變換域也難以有效分開，所以影響濾波函數(shù)的設(shè)計(jì)，使最小二乘拋物Radon變換多次波壓制的效果不理想，即多次波有較大殘余能量，同時(shí)有效波的振幅也受到一定程度的損失.

圖2 合成炮記錄的多次波壓制效果Fig.2 Multiple suppression result on synthetic shot record

4.2 實(shí)際地震數(shù)據(jù)多次波壓制

為進(jìn)一步測(cè)試文中方法在壓制多次波中的穩(wěn)定性和效果，對(duì)海洋地震數(shù)據(jù)進(jìn)行多次波壓制試算（見圖3）.圖3（a）為某工區(qū)海洋地震資料的一個(gè)CMP道集，數(shù)據(jù)共60道，道間距為50m，時(shí)間采樣間隔為4 ms，時(shí)間方向8×103個(gè)采樣點(diǎn).圖3（a）箭頭在0.8s處的一階表面多次波較為發(fā)育，應(yīng)用λ－f域拋物Radon變換方法對(duì)該地震數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，得到多次波壓制后的道集記錄見圖3（b），能量很強(qiáng)的一階表面多次波得到有效的壓制，一次波的同相軸清晰可見，地震數(shù)據(jù)的信噪比得到有效提高，可為后續(xù)地震資料成像處理提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，實(shí)際數(shù)據(jù)的計(jì)算表明文中方法在壓制海洋地震資料的多次波方面具有有效性和實(shí)用性.

圖3 實(shí)際數(shù)據(jù)多次波壓制結(jié)果Fig.3 Multiple suppression result on field data

5 結(jié)論

（1）λ－f域拋物Radon變換通過引入新變量λ，Radon算子的特點(diǎn)和傳統(tǒng)最小二乘方法不同，其正反算子僅需計(jì)算一次，大幅提高該方法的計(jì)算效率.

（2）拋物線型同相軸在λ－f域拋物Radon變換域?yàn)檫^原點(diǎn)的具有一定斜率的直線，在一定程度上避免傳統(tǒng)拋物Radon變換壓制多次波過程中空間截?cái)嘈?yīng)的影響，并且其多次波壓制濾波函數(shù)的設(shè)計(jì)也更為簡(jiǎn)單.

（3）應(yīng)用λ－f域拋物Radon變換可有效提高地震數(shù)據(jù)的信噪比，具有穩(wěn)定、有效和實(shí)用的特點(diǎn).

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DOI 10.3969／j.issn.2095－4107.2015.01.003

TE132.1，P631

A

2095－4107（2015）01－0017－06

2014－12－01；編輯：陸雅玲

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41474118）；國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（863計(jì)劃）項(xiàng)目（2012AA061202）

王維紅（1975－），男，博士，副教授，主要從事地震資料數(shù)字處理方面的研究.