彭雙春，朱建文，湯國建，陳克俊

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410073）

適于高超聲速飛行器的三維非線性滑模制導(dǎo)律

彭雙春，朱建文，湯國建，陳克俊

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)航天科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410073）

綜合考慮高超聲速飛行器末制導(dǎo)過程中的運動耦合和參數(shù)擾動問題，設(shè)計了一種適于高超聲速飛行器的三維非線性偽最優(yōu)滑模制導(dǎo)律。首先，針對運動耦合問題，定義視線旋量和視線旋量速度，構(gòu)建了基于視線旋量和視線旋量速度的高超聲速飛行器三維非線性制導(dǎo)參考模型；然后，針對參數(shù)擾動問題，基于變結(jié)構(gòu)控制理論，推導(dǎo)出一種適于多約束制導(dǎo)要求的三維非線性滑模制導(dǎo)律，并通過理論推導(dǎo)證明了該制導(dǎo)律的穩(wěn)定性；最后，引入偽控制變量，完成了制導(dǎo)參數(shù)的優(yōu)化，從而完成三維非線性偽最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的設(shè)計。該制導(dǎo)律能夠從理論上克服運動耦合和參數(shù)擾動問題，其制導(dǎo)參數(shù)又滿足一定物理意義下的最優(yōu)性。仿真結(jié)果驗證了制導(dǎo)律的有效性。

高超聲速飛行器；偽最優(yōu)滑模制導(dǎo)律；旋量方法；運動耦合；參數(shù)擾動

0 引 言

高超聲速飛行器采用傾側(cè)轉(zhuǎn)彎（bank-to-turn，BTT）控制方式在三維空間中高速飛行，傾側(cè)轉(zhuǎn)彎控制方式使得飛行器－目標(biāo)視線的俯仰、轉(zhuǎn)彎通道存在運動耦合問題。在現(xiàn)有大多數(shù)制導(dǎo)律的推導(dǎo)過程中，一般都假設(shè)飛行器控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即飛行器的姿控系統(tǒng)使得飛行器穩(wěn)定，視線的俯仰和偏航通道相互解耦，忽略了運動耦合對制導(dǎo)方法研究的影響，這將會造成較大的制導(dǎo)誤差［1］。因此，如何恰當(dāng)?shù)孛枋鲲w行器 目標(biāo)視線通道間的運動耦合，構(gòu)建合理的制導(dǎo)模型，是保證高超聲速飛行器能夠穩(wěn)定飛行并最終實現(xiàn)對目標(biāo)精確打擊的基礎(chǔ)。

同時，在高超聲速飛行器末制導(dǎo)目標(biāo)的過程中，其制導(dǎo)控制系統(tǒng)將會面臨參數(shù)擾動問題［2］，如：風(fēng)、溫度、氣流、空氣動力等環(huán)境因素變化引起的參數(shù)擾動，導(dǎo)航制導(dǎo)系統(tǒng)觀測噪聲與估計誤差，信號傳輸噪聲等。此外，由于某些敵高價值慢速移動目標(biāo)（如：航母、導(dǎo)彈發(fā)射車等）是高超聲速飛行器的重點攻擊對象，需要對其進(jìn)行“點穴式”打擊，所以在末制導(dǎo)過程中，需要考慮目標(biāo)運動對其末制導(dǎo)的影響。事實上，目標(biāo)運動亦可當(dāng)作未知有界擾動來處理［23］。參數(shù)擾動問題使得制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)存在不確定性，最終影響高超聲速飛行器末制導(dǎo)效果。因此，需要在構(gòu)建包含運動耦合模型的基礎(chǔ)上，研究具有較強(qiáng)魯棒性的制導(dǎo)算法，克服由于參數(shù)擾動和目標(biāo)運動導(dǎo)致制導(dǎo)性能惡化的問題。

針對參數(shù)擾動問題，基于滑模變結(jié)構(gòu)控制理論研究飛行器魯棒制導(dǎo)問題是一種較常見的方法。近些年來取得了豐碩的研究成果：文獻(xiàn)［4］針對空空導(dǎo)彈目標(biāo)攔截問題，研究了變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計問題。文獻(xiàn)［5-8］基于平面線性制導(dǎo)模型，基于變結(jié)構(gòu)理論開展研究，設(shè)計了最優(yōu)滑模制導(dǎo)律和自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［1，3，9-10］針對導(dǎo)彈制導(dǎo)的三維模型，設(shè)計了三維變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［11］針對導(dǎo)彈制導(dǎo)的落角約束要求，基于變結(jié)構(gòu)理論設(shè)計了幾種帶落角約束的平面制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［12］將模糊變結(jié)構(gòu)控制引入制導(dǎo)律設(shè)計過程，提出了一種自適應(yīng)模糊滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［13］針對有脈沖推力機(jī)動飛行器制導(dǎo)問題，提出了一種最優(yōu)滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［14］基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論，設(shè)計了一種適于攔截器的魯棒滑模制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［3］基于李群方法研究了一種適合BTT導(dǎo)彈的三維非線性滑模制導(dǎo)律，遺憾的是未能完成在實際工程仿真平臺上的驗證。

國內(nèi)外研究成果為本文工作提供了良好的基礎(chǔ)和依據(jù)，但針對高超聲速飛行器末制導(dǎo)問題，當(dāng)前研究工作仍存在不足：如文獻(xiàn)［3，5-13］制導(dǎo)模型是雙通道解耦模型或二維模型，文獻(xiàn)［4，14］難以滿足終端角度約束情況，并且對于三維非線性制導(dǎo)模型，文獻(xiàn)［1，3，10］未完成制導(dǎo)參數(shù)的優(yōu)化。

考慮到本文研究對象為高超聲速飛行器，其飛行速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過典型的慢速移動目標(biāo)，參考文獻(xiàn)［2］將慢速移動目標(biāo)視作未知有界擾動，統(tǒng)一歸納為參數(shù)擾動問題。綜合考慮高超聲速飛行器末制導(dǎo)過程中的運動耦合和參數(shù)擾動問題，參照李群旋量結(jié)構(gòu)，定義更具幾何意義的視線旋量和視線旋量速度，構(gòu)建關(guān)于視線旋量和視線旋量速度的高超聲速飛行器三維非線性制導(dǎo)的參考模型，基于變結(jié)構(gòu)控制理論，設(shè)計了一種適于高超聲速飛行器的三維非線性滑模制導(dǎo)律。

1 三維非線性旋量模型

1.1 視線旋量與旋量速度

構(gòu)建如圖1所示的飛行器對目標(biāo)進(jìn)行俯沖攻擊的示意圖，取目標(biāo)點T處的地理坐標(biāo)系為目標(biāo)坐標(biāo)系O-xyz，目標(biāo)T固定于坐標(biāo)系的原點O，飛行器質(zhì)心位置為M，速度為v，M′為飛行器質(zhì)心M在水平面x Oz上的投影，qd和qt分別為視線高低角和視線方位角，ed和et分別為垂直于qd和qt所在平面的單位矢量，方向分別由qd和qt的符號確定，圖示為qd和qt均為正的情況。

圖1 飛行器對目標(biāo)進(jìn)行俯沖攻擊示意圖

定義視線旋量為

定義視線旋量速度為視線旋量的導(dǎo)數(shù)，記為~ω，則

~ω＝?.σ （2）

從定義可以看出，視線旋量和視線旋量速度具有明確的物理意義，其三維矢量描述形式將降低制導(dǎo)模型構(gòu)建的復(fù)雜度，便于構(gòu)建飛行器制導(dǎo)的三維非線性參考模型。

1.2 旋量模型構(gòu)建

旋量模型構(gòu)建包括兩方面：一是構(gòu)建視線旋量變化模型，二是構(gòu)建視線旋量速度變化模型。視線旋量變化模型可直接由式（2）給出，因此，旋量模型構(gòu)建的關(guān)鍵是構(gòu)建視線旋量速度變化模型。

對式（1）求二階導(dǎo)數(shù)并結(jié)合式（2）可得

根據(jù)文獻(xiàn)［15-16］，易知

式中，r為飛行器 目標(biāo)視線距；θd為速度矢量在俯沖平面內(nèi)的方向角。

令r1為飛行器投影－目標(biāo)距離，參照式（4）可得

又由于r1＝r cos qd，則

將式（6）代入式（5）得

從圖1可以看出，單位矢量ed始終保持在水平面x Oz內(nèi)，其轉(zhuǎn)動角速率與qt變化嚴(yán)格一致，故

令ecet×ed，則有

式中，u為制導(dǎo)控制項；Ω為運動耦合項。從其表達(dá)式可以看出，在飛行器進(jìn)行高速大空域機(jī)動制導(dǎo)時，Ω將具有較大的值，在制導(dǎo)設(shè)計過程中不可簡單忽略。

由此，基于視線旋量和旋量速度，可得三維非線性制導(dǎo)的參考旋量模型為

式（12）完整地描述了視線旋量和視線旋量速度之間的變化關(guān)系。

2 偽最優(yōu)滑模制導(dǎo)律設(shè)計

三維非線性旋量參考模型較好地體現(xiàn)了運動耦合對飛行器制導(dǎo)的影響，完整地描述了飛行器制導(dǎo)過程的運動規(guī)律。但實際上，在高超聲速飛行器末制導(dǎo)過程中，其制導(dǎo)控制系統(tǒng)不可避免地會受到各種擾動的影響，因而實際制導(dǎo)模型可以表達(dá)為

2.1 三維非線性滑模制導(dǎo)律設(shè)計

對于同時存在落角和入射方位角約束的問題，制導(dǎo)的目的是使視線轉(zhuǎn)動到一個確定的方向，并保持視線角速度的穩(wěn)定。根據(jù)視線旋量的視線旋量速度的定義，制導(dǎo)目的可以等價描述為

因而令滑模超平面切換函數(shù)為

式中，Λ1三維正定常值對角矩陣；Λ2為三維非負(fù)常值對角矩陣。Λ1、Λ2分別代表和σ+σdf在滑模切換面中的權(quán)重。顯然對于無終端角度約束情況，可令Λ2＝03×3。

對式（15）進(jìn)行求導(dǎo)

為了改善滑動模態(tài)的動態(tài)品質(zhì)，由于一般情況下有r＞0，.r＜0，在此采用趨近律的方法構(gòu)造一種自適應(yīng)指數(shù)趨近律

式中，Λd為三維正定常值對角矩陣；ε為小常值三維向量，該趨近律具有趨近速度快，抖振小的優(yōu)點。

綜合式（13）、式（16）和式（17）可得三維非線性變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的一般形式

2.2 穩(wěn)定性證明

穩(wěn)定性是保證系統(tǒng)正常工作的必要條件。在此依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，證明制導(dǎo)系統(tǒng)在所設(shè)計制導(dǎo)律作用下的穩(wěn)定性。

依據(jù)滑模動態(tài)可達(dá)性，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

式中，‖·‖1、‖·‖2分別表示向量的1范數(shù)和2范數(shù)，函數(shù)V滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)。若~ω≠0且σ+σdf≠0，則

可知系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)可達(dá)。

2.3 制導(dǎo)參數(shù)優(yōu)化

而當(dāng)不考慮參數(shù)擾動情況時，旋量模型式（13）可以轉(zhuǎn)化為

基于極大值原理可得最優(yōu)偽控制變量。設(shè)計相應(yīng)的二次型目標(biāo)函數(shù)

（1）無終端約束情況

制導(dǎo)律設(shè)計中一個常用的等價準(zhǔn)則是視線角速率趨于零，可以等價于視線旋量速度趨于零：~ω→0。對于無終端角度約束情況，可得狀態(tài)方程

式中，P可由逆Riccati方程求解得到

［15-16］，解式（27）得

從而

（2）有終端約束情況

從而得到形如式（25）的狀態(tài)方程

式中

則最優(yōu)控制為

式中，P可由式（33）的逆Riccati方程求解得到。

參考文獻(xiàn)［15-16］，得

從而

（3）參數(shù)設(shè)置

由式（29）、式（35）對照式（22）可知，當(dāng)Λ1＝I3×3，Λd＝I3×3，Λ2＝03×3時，無終端約束條件下的偽最優(yōu)滑模制導(dǎo)律為

3 實驗仿真

本節(jié)以某BTT-180型飛行器為對象進(jìn)行相關(guān)驗證實驗，基本參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真基本參數(shù)

為了驗證制導(dǎo)方法在擾動條件下的魯棒性，在氣動系數(shù)、大氣密度、視線角度、視線角速率等基本參數(shù)上疊加高斯噪聲，在此，將目標(biāo)運動視作未知有界擾動，包含于視線角偏差和視線角速率偏差中，對應(yīng)的偏差參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 干擾偏差設(shè)置（3σ）

3.1 仿真算例1 無終端約束攻擊目標(biāo)

初始速度方向設(shè)為－30°（以正北為基準(zhǔn)，逆時針為正），采用本文方法（式（36））進(jìn)行仿真實驗，經(jīng)過500次模擬打靶，得到無終端約束情況下的仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。從圖2和圖3可以看出，制導(dǎo)終端東向偏差和北向偏差均較小，脫靶量基本保證在1 m以內(nèi)，因而在所施干擾條件下，該制導(dǎo)律能夠保證高超聲速飛行器實現(xiàn)對遠(yuǎn)程高價值目標(biāo)的精確打擊。

圖2 無終端約束下的落點偏差分布

圖3 無終端約束下的脫靶量分布

圖4～圖7為單項偏差在極限情況下的典型彈道仿真結(jié)果，從圖4可以看出，在整個飛行過程中，飛行彈道光滑，且末段平直，這說明在本文所設(shè)計制導(dǎo)律的作用下，高超聲速飛行器能夠?qū)崿F(xiàn)對目標(biāo)的瞄準(zhǔn)式攻擊。從圖5可以看出，升力系數(shù)偏差和大氣密度偏差對無終端彈道影響較大，其次為實現(xiàn)高低角速率偏差，其他干擾因素對彈道影響較小。從圖6（線條區(qū)分參照圖5，下同）和圖7可以看出，攻角、傾側(cè)角在整個飛行過程中變化平穩(wěn)，在飛行末段，攻角均收斂為較小值，這說明制導(dǎo)過程是魯棒的。

通過仿真算例1可以看出，在有諸多擾動和噪聲的情況下，本文所提出的偽最優(yōu)滑模制導(dǎo)律依然能夠保持較高的制導(dǎo)精度，制導(dǎo)魯棒性較強(qiáng)，能夠滿足高超聲速飛行器精確制導(dǎo)的需要。

圖4 無終端約束下的全程三維彈道曲線

圖5 單項偏差干擾下的局部三維彈道曲線

圖6 無終端約束下的攻角 射程曲線

圖7 無終端約束下的傾側(cè)角 射程曲線

3.2 仿真算例2 有終端約束攻擊目標(biāo)

初始條件同仿真算例1，假設(shè)目標(biāo)位于山谷中，依靠山峰作為天然屏障，為了對目標(biāo)實施有效攻擊，需要避開山峰的障礙，采用式（37）的制導(dǎo)律，可以通過設(shè)置合適的入射方位角來降低對彈道落角的要求。設(shè)預(yù)定入射方位角為－30°，預(yù)定落角為－60°。通過500次模擬打靶，得到仿真結(jié)果如圖8～圖11所示。

圖8 有終端約束下的落點偏差分布

圖9 有終端約束下的脫靶量分布

圖10 有終端約束下的入射方位角分布

圖11 有終端約束下的落角分布

從圖8和圖9可以看出，在有終端角度約束條件下，制導(dǎo)終端偏差較小，脫靶量小于1 m，滿足制導(dǎo)精度要求。從圖10和圖11可以看出，入射方位角偏差和落角偏差均基本小于0.5°，角度控制精度較高，從而能夠保證飛行器避開山峰障礙，使得飛行器從預(yù)定入射方位角和落角對目標(biāo)實施精確打擊。

圖12～圖17為單項偏差在極限情況下的典型彈道仿真結(jié)果，從圖12可以看出，飛行彈道光滑平穩(wěn)，飛行器有效地避開了山峰的障礙，能夠從山峰之間對山谷目標(biāo)實施有效的“點穴式”打擊，圖13所示的局部放大圖更好地說明了這一點。從圖14和圖15可以看出，在終端約束條件下，彈道能夠精確地調(diào)整到期望的入射方位角和落角，從而滿足多約束情況下的精確打擊需求。從圖16和圖17可以看出，攻角、傾側(cè)角指令變化比較平穩(wěn)，能夠保證制導(dǎo)的穩(wěn)定性。

圖12 有終端約束下的全程三維彈道曲線

圖13 單項偏差干擾下的局部三維彈道曲線

圖14 有終端約束下的入射方位角 射程曲線

圖15 有終端約束下的落角 射程曲線

圖16 有終端約束下的攻角 射程曲線

圖17 有終端約束下的傾側(cè)角 射程曲線

通過仿真算例2可以看出，所提出的偽最優(yōu)三維滑模制導(dǎo)律通過選擇合適的入射方位角，能夠降低傳統(tǒng)制導(dǎo)律［15］對落角的高要求，滿足多約束條件下精確制導(dǎo)的需要。在有諸多擾動因素的情況下，飛行器依然能夠保持較高的制導(dǎo)精度，實現(xiàn)多約束條件下的精確制導(dǎo)。

圖2和圖8中落點偏差均呈“帶狀”分布，主要原因是本文為了驗證制導(dǎo)律的有效性，仿真條件設(shè)置相對苛刻，初始射向相對偏離射面較大，飛行器在制導(dǎo)律的作用下，較長時間處于控制至飛行器-目標(biāo)視線對準(zhǔn)并穩(wěn)定的過程，在快接近目標(biāo)階段完成對準(zhǔn)，而此時，由于干擾因素的影響，干擾力和干擾力矩疊加在飛行器 目標(biāo)視線方向，因而使得飛行器落點呈“帶狀”分布。

4 結(jié) 論

面向高超聲速飛行器末制導(dǎo)過程中的運動耦合、參數(shù)擾動等突出問題，基于旋量方法完成了三維非線性偽最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的設(shè)計。通過仿真算例可知，在諸多干擾因素影響下，本文所研究的滑模制導(dǎo)律能夠?qū)崿F(xiàn)對目標(biāo)精確攻擊，滿足終端多種約束要求，且控制變量均未出現(xiàn)明顯抖動，魯棒性較好。本文工作對于研究高超聲速飛行器俯沖攻擊制導(dǎo)具有較強(qiáng)的參考意義。

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Three-dimensional nonlinear sliding mode guidance law for hypersonic vehicle

PENG Shuang-chun，ZHU Jian-wen，TANG Guo-jian，CHEN Ke-jun
（College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

A novel three-dimensional（3D）nonlinear pseudo optimal sliding mode guidance law for hypersonic vehicle is proposed to resolve the motion coupling and parameter perturbation problems.Firstly，aiming at the motion coupling problem，a 3D nonlinear reference guidance model of hypersonic vehicle is constructed based on line-of-sight（LOS）twist and its rate after their concepts is defined.Secondly，in order to depress the influence of parameter perturbation，a 3D nonlinear sliding mode guidance law adapted to multi-constraint guidance is deduced based on variable structure control theory.Moreover，the stability of this guidance law is proved through theory deduction.Finally，a novel 3D nonlinear pseudo optimal sliding mode guidance law is designed，after its parameters are optimized by introducing pseudo control variable.With the novel guidance law，the motion coupling and parameter perturbation problems can be well avoided and optimal characteristic of guidance parameters is ensured as well.The validity of the guidance law is also validated through simulation experiments.

hypersonic vehicle；pseudo optimal sliding mode guidance law；twist technology；motion coupling；parameter perturbation

V 448 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.3969／j.issn.1001-506X.2015.09.19

彭雙春（1979-），男，博士，主要研究方向為精確制導(dǎo)、彈道設(shè)計。

E-mail：pengshuangchun＠sohu.com

朱建文（1987-），男，博士研究生，主要研究方向為精確制導(dǎo)。

E-mail：zhujianwen1117＠163.com

湯國建（1964-），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向為飛行器動力學(xué)、制導(dǎo)與控制技術(shù)。

E-mail：tangguojian＠nudt.edu.cn

陳克俊（1956-），男，教授，主要研究方向為飛行器動力學(xué)、制導(dǎo)與控制技術(shù)。

E-mail：chenkejun＿nudt＠sohu.com

1001-506X（2015）09-2080-08

2014-10-24；

2015-04-02；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-06-18。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150618.1027.008.html

國家自然科學(xué)基金（61304229）；中國博士后科學(xué)基金（2013M542562）資助課題