曾 輝 黃 魯 楊燦美

（中國科技大學電子與科學技術(shù)系，合肥，230027）

引 言

通信系統(tǒng)將具有更高的數(shù)據(jù)傳輸速率，且逐漸轉(zhuǎn)向?qū)拵ㄐ拧Ｆ渲谐瑢拵到y(tǒng)最為典型。超寬帶系統(tǒng)擁有更寬的帶寬（3.1～10.6GHz）以及高的數(shù)據(jù)傳輸速率（802.15.3a協(xié)議下的數(shù)據(jù)速率大于100 Mb／s），并且系統(tǒng)復雜度很低，硬件消耗低。為了提高數(shù)據(jù)高速傳輸?shù)目煽啃?，LDPC成為UWB系統(tǒng)中極為重要的信道編碼方式，因為它有近乎香農(nóng)極限（Shannon-Limit）的糾錯能力。

LDPC由Gallager［1］在1962年提出，它的硬件實現(xiàn)較復雜。因為當時硬件的集成水平的限制，直到20世紀90年代，Mackay重新研究LDPC碼，才引發(fā)對其的研究熱潮。文獻［2］給出了離Shannon極限只有0.004 5dB的LDPC碼，但是隨機構(gòu)造法使得實現(xiàn)較為困難，硬件實現(xiàn)過于復雜。文獻［3］提出了準循環(huán)矩陣的方式能更有效地實現(xiàn)LDPC碼校驗矩陣的構(gòu)造。

本文的IR-UWB系統(tǒng)用來實現(xiàn)高速率視頻的實時通信，系統(tǒng)基帶是單比特接收機［4］以二次微分式高斯脈沖調(diào)制每比特信息的方式實現(xiàn)長物理幀的傳輸，為減少時延，決定采用并行編譯碼。UWB系統(tǒng)也采用其他編碼方式，例如RS［5］，Turbo［6］以及組合碼［7］等。RS碼相對其他線性分組碼，同碼率時糾錯能力較強，硬件復雜度低［8］，但只限于中短型碼。而Vertebi，Turbo等卷積碼，其較高的譯碼復雜度，卷積碼更適于串行傳輸。相比之下，LDPC對長碼字的性能更優(yōu)異，每個物理幀傳輸?shù)挠行Тa作為一個編碼單元。譯碼復雜度高于RS碼，但低于Turbo，可實現(xiàn)完全并行譯碼［9］。

1 校驗矩陣的構(gòu)造與編碼

LDPC碼是一類基于稀疏校驗矩陣（H陣）的線性分組碼，可在硬件上有效實現(xiàn)的LDPC編碼有Hu等提出的漸進邊增長（Progressive edge-growth，PEG）算法。此法采用逐步優(yōu)化的思路，通過在Tanner圖（圖1）上依次添加邊來構(gòu)造最終的結(jié)點關(guān)系圖，每次添加的邊都盡可能地減少對圖中其他邊的影響，具體算法見文獻［10］。雖然糾錯性能好，但無法簡單編碼，不太適于長碼，并且譯碼存儲復雜度過高。

圖1 基于Tanner圖的LDPC信息傳遞Fig.1 LDPC message channel based on tanner

根據(jù)香農(nóng)理論，構(gòu)造隨機矩陣在硬件上難以實現(xiàn)，由此誕生了由幾何代數(shù)的方法構(gòu)造LDPC校驗矩陣——準循環(huán)［3］，即用循環(huán)移位矩陣塊構(gòu)造H陣。常用的循環(huán)移位矩陣有I矩陣、D矩陣和Q矩陣。Q矩陣中“1”的分布無規(guī)律，可以通過皇后算法獲得，但需用額外的存儲空間，一般用查找表的方式在硬件上實現(xiàn)。

然而，直接以QC實現(xiàn)長碼字校驗矩陣的構(gòu)造硬件實現(xiàn)仍顯復雜，譯碼存儲不易實現(xiàn)。文獻［11］給出了校驗矩陣PEG構(gòu)造方法，PEG算法構(gòu)造的Tanner圖具有最小的距離和良好的環(huán)長（圖1粗線示），這些環(huán)長對信息概率的統(tǒng)計不利，使得節(jié)點之間傳遞的外部消息的獨立性降低，削弱了抗干擾能力。結(jié)合QC-LDPC碼的循環(huán)矩陣構(gòu)造LDPC校驗矩陣，在中短碼長時可以獲得與隨機構(gòu)造的規(guī)則碼相當?shù)男阅?。文獻［11］闡述的構(gòu)建較大圍長的LDPC校驗矩陣方法——消環(huán)算法，消除H陣中的短環(huán)（一般消除4，6和8環(huán)）。

綜上所述，可先用PEG算法構(gòu)造基矩陣，在所記錄的環(huán)中取出長度最短環(huán)的“1”元素，消除Tanner圖中的短環(huán)，“0”元素用“-1”替代；接著，隨機產(chǎn)生子矩陣偏移量代替矩陣中非“-1”元素，并用相應(yīng)維的循環(huán)移位Q矩陣或I矩陣代替矩陣中的對應(yīng)其偏移量的元素，可進一步消除所生成H陣中的短環(huán)，“-1”代表該循環(huán)矩陣為全零矩陣。這種H陣的構(gòu)造法，大大降低了硬件實現(xiàn)的復雜度，更適于長型碼字，譯碼存儲也簡單得多。

1.1 仿真結(jié)果與分析

IEEE 802.15.3a協(xié)議關(guān)于UWB信道給出了基于S-V模型的4種場景模式，具體UWB室內(nèi)信道特征見文獻［12］。其中存在視距信號的CM1模式，其主要考慮加性高斯白噪聲（Additive white Gaussian noise，AWGN），多徑干擾以及信號幅度呈現(xiàn)近乎對數(shù)正態(tài)分布的衰落。信道相對其他場景更穩(wěn)定，適合近距離室內(nèi)UWB通信系統(tǒng)模擬仿真。

本系統(tǒng)采用BPSK調(diào)制，編碼器的設(shè)計旨在實現(xiàn)校驗矩陣性能的比較，因此可選擇二進制加性高斯白噪聲信道，采用一般的MS譯碼方式。仿真中分別以原始PEG算法和本文闡述的算法（I與Q循環(huán)矩陣）構(gòu)造3類不同的H陣：碼長n＝900（PEG適于中短型碼），碼率R＝1／2，變量節(jié)點的維度分布［10］為λ（x）＝0.3x＋0.16x2＋0.17x3＋0.37x6，每個循環(huán)移位矩陣定為維長15的I／Q矩陣（Q陣中任選其一）。譯碼迭代次數(shù)為15。圖2顯示了其性能曲線，該設(shè)計闡述的構(gòu)造校驗矩陣的方式，性能更接近于PEG算法。Q矩陣作為準循環(huán)矩陣，性能更顯優(yōu)越。

圖2 I／Q矩陣的QC-LDPC性能比較Fig.2 I／Qmatrix QC-LDPC performance comparison

圖3顯示PEG算法與本文討論的算法在碼率R＝1／2和5／6下的仿真實驗結(jié)果（其他條件相同）。由圖可見，信噪比較低時，基于I矩陣和Q矩陣QC-LDPC的性能相當；高信噪比時，基于Q矩陣的LDPC優(yōu)于基于I矩陣的LDPC碼的性能，而隨著碼率的升高，兩者的性能都有所降低。對于R＝1／2碼率，碼長為n＝1 800，誤碼率為低于10-6時，兩者SNR都在2dB左右。

1.2 快速并行編碼實現(xiàn)

令x為待編碼的信息序列，p為校驗序列，根據(jù)校驗矩陣H的定義

線性分組碼的一般性特征：n為信息位長（矩陣塊數(shù)），m為校驗陣部分的塊數(shù)，左邊為信息比特部分，右邊為校驗比特部分。

圖3 R＝1／2和5／6，I／Q矩陣 QC-LDPC性能對比Fig.3 R＝1／2or 5／6 I／Qmatrix QC-LDPC performance comparison

式（2）分解為以下形式

式中：表示矩陣的第m行元素，表示矩陣中第m行n列的元素。這種編碼方式可實現(xiàn)并行高速編碼。

綜上分析，低發(fā)射功率的UWB（-41.3dBm／MHz）接收端信噪比較低，選擇I矩陣更適合在電路中實現(xiàn)，其不需要I矩陣的存儲空間，矩陣運算時只需循環(huán)矩陣的移位矢量就可實現(xiàn)有效編碼。文獻［13］采用可配置循環(huán)移位寄存器實現(xiàn)高速并行編碼；譯碼存儲也相對簡單，否則，需要額外用上Q矩陣的存儲空間和獨立的矩陣運算單元。

2 改進型最小和譯碼

LDPC通常譯碼方式主要有軟判決的置信譯碼（Belief propagation，BP）和加權(quán)比特翻轉(zhuǎn)（Weighted bit flip，WBF）的迭代譯碼，如文獻［14］復合譯碼性能的分析。本決定采用性能更優(yōu)越，復雜度較高的BP譯碼來滿足本系統(tǒng)高性能的要求，其通用的有對數(shù)域BP，以及在其基礎(chǔ)上改進的最小和譯碼。為降低復雜度又提出了改進型最小和，主要對其中φ（x）近似。文獻［15］提出了用線性函數(shù)逼近方法分段地處理以達到近似φ（x）函數(shù)的目的，但是其硬件實現(xiàn)的復雜度過高。實際運用中只需用個變量因子分段近似即可，分段區(qū)間是有限的，因子取值相對有限，并且這個變量也可用來均衡信道信噪。

2.1 變量因子最小和譯碼

φ（x）表達式如下

圖4為φ（x）的示意圖，隨x的增大，φ（x）值呈下降指數(shù)迅速減小，所以｜L（rji）｜中占主要作用的是絕對值較小的βi′j＝｜L（qji）｜，從而簡化對數(shù)BP譯碼算法，可得

變量節(jié)點v利用校驗節(jié)點傳遞的第k次迭代的信息Lk（rj′i）計算信息節(jié)點信息Lk（qij）

出于節(jié)省存儲空間的考慮，解碼算法如下

Min的取值是個近似的結(jié)果，添加調(diào)整參數(shù)α，讓其更近似于對數(shù)域BP，如式（5）所示。對比兩種算法流程，解碼算法中Lk（rji）（校驗節(jié)點傳遞給變量節(jié)點相關(guān)概率信息）更新不需要L（qi′j）（變量節(jié)點傳遞給校驗節(jié)點的相關(guān)概率信息），只需要計算Lk-1（Qi）-L（k-1）（rji），這樣減少了解碼過程中信息的存儲量。

圖4 函數(shù)φ（x）示意圖Fig.4 Functionφ（x）sketch

2.2 譯碼仿真結(jié)果分析

鑒于UWB系統(tǒng)實時傳送的物理幀長，以及校驗矩陣的構(gòu)造方式，選擇（n，k）＝（1 800，900）的碼字，循環(huán)移位維長定為30。該系統(tǒng)接收機［4］在信道估計時提取的每比特概率信息可直接用于LDPC譯碼。仿真在CM1場景模型［9］下進行，譯碼迭代次數(shù)為20，輸入20幀數(shù)據(jù)，圖5給出了對數(shù)BP與變量因子MS譯碼的性能結(jié)果。實驗中對MS算法進行α取值遍歷，從圖中可以得到在低信噪比時，兩種譯碼的性能差距較小，但隨著信噪比的增大，對數(shù)譯碼BP仍顯示其優(yōu)良的性能。對較低信號發(fā)射功率的UWB系統(tǒng)，該改進的MS譯碼更適合于UWB系統(tǒng)，因為其硬件實現(xiàn)復雜度低于對數(shù)BP譯碼，且其譯碼具有調(diào)節(jié)功能。圖中α＝0.85或0.95時，譯碼性能優(yōu)于對數(shù)BP，在硬件實現(xiàn)中，只需要加乘法器即可，而α的取值可在量化分析后獲得。

圖5 （1 800，900）LDPC碼在α下的性能遍歷Fig.5 （1 800，900）LDPC performance traversal onα

圖6顯示了（1 800，900）碼字在α＝0.8時不同迭代次數(shù)下的譯碼性能?？梢钥闯?，隨著迭代次數(shù)的增加，BER呈下降趨勢。信噪比較低時，性能沒有因迭代次數(shù)而有較大的改變，擁有較低的譯碼延遲，這更有利于UWB系統(tǒng)高速率傳輸?shù)奶匦?。當?shù)螖?shù)超過15時，BER＝10-6，信噪比小于3.3dB。迭代運算過程中如果c×HT＝0成立，則譯碼成功，反之，迭代次數(shù)達到指定數(shù) （具體得實際測試而定）時退出，譯碼結(jié)束。

圖6 （1 800，900）碼字在迭代次數(shù)不同的性能Fig.6 （1 800，900）performance comparison on traversal num

3 結(jié)束語

本文分析了PEG算法結(jié)合分塊準循環(huán)矩陣構(gòu)造校驗矩陣的方法、QC-LDPC快速編碼的實現(xiàn)策略以及改進型變量因子最小和譯碼算法，并對它們進行了相關(guān)性能分析比較。編解碼部分的仿真性能對比可得：相比AWGN信道，本設(shè)計的LDPC碼在標準S-V模型CM1場景的衰弱信道中，多損失至少1 dB的信噪?？傊?，PEG算法結(jié)合分塊QC構(gòu)造的校驗矩陣，因其具有準循環(huán)結(jié)構(gòu)，因此方便硬件存儲及實現(xiàn)，變量因子最小和譯碼方式提供了譯碼參數(shù)調(diào)節(jié)的功能，有利于優(yōu)化譯碼性能均衡信道衰弱，適合用于低發(fā)射功率下的IR-UWB系統(tǒng)。

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