束 鋒 李 雋 顧 晨 王 進 周 葉 徐彥青 錢玉文

（1.南京理工大學電子工程與光電技術學院，南京，210094；2.東南大學移動通信國家重點實驗室，南京，210096；3.南京理工大學近程高速目標探測技術國防重點學科實驗室，南京，210094）

引 言

近年來，隨著智能手機的廣泛普及與移動互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，人們對無線數(shù)據(jù)傳輸速率的要求顯著增加。傳統(tǒng)的小規(guī)模多用戶多輸入多輸出（Multiple-input multiple-output，MIMO）技術由于具備較高的頻譜效率，已經(jīng)被4G標準采納為關鍵技術之一。功率分配和波束成形是傳統(tǒng)小規(guī)模多用戶MIMO系統(tǒng)的兩種關鍵技術［1-11］。前者可明顯提高系統(tǒng)的可靠性［1-3］，而后者可有效減少多用戶間的干擾，顯著提高系統(tǒng)的信息傳輸速率［4-11］。發(fā)射端波束成形的代表算法有匹配濾波（Matched filter，MF）、迫零（Zero forcing，ZF）［4-5］、塊對角化（Block diagonalization，BD）［6］、最大化信泄噪比（Maximum signal-toleakage-and-noise ratio，Max-SLNR）［7］、特征值分解［8］、最小均方誤差（Minimum mean square error，MMSE）［9-10］和酉速率控制［11］。

大規(guī)模MIMO相比于小規(guī)模MIMO，可進一步顯著提高頻譜效率，正在日益受到關注，現(xiàn)已成為無線通信領域的熱點研究方向之一，并被視為下一代無線通信的關鍵技術之一。不僅如此，大規(guī)模MIMO技術可以用較低的功耗提供很高的頻譜效率，因此，非常適合于綠色無線通信［12-14］。傳統(tǒng)小規(guī)模多用戶MIMO的波束成形及功率分配可以推廣到大規(guī)模多用戶MIMO系統(tǒng)中，但其中基于信道矩陣分解的一類發(fā)射波束成形算法，如BD，Max-SLNR，MMSE，ZF需要大約KN3次數(shù)的復乘運算（其中，K為用戶數(shù)，N為基站發(fā)射天線數(shù)），當基站天線數(shù)達到幾百或幾千副時，它們的復雜度就變得相當巨大。文獻［15］考慮消除多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中的較大干擾項，以簡化ZF預編碼器的復雜度。文獻［16］則采用二項式分解降低ZF預編碼中矩陣求逆的復雜度，同時優(yōu)化相關系數(shù)，以最大化多基站MIMO系統(tǒng)的信干噪比（Signal-to-interference-and-noise ratio，SINR）。然而，這些改進算法要達到與原有算法相近的誤碼性能或和速率性能，運算的復雜度就要遠高于MF預編碼的復雜度KN次復乘運算。MF作為低復雜度的預編碼器，在N為大規(guī)模時將與其他預編碼趨于同樣的和速率［12-15］，因而在大規(guī)模MIMO中極具實用潛能?？紤]到MF在大規(guī)模MIMO中具有較強的實用性，文獻［17］推導了在該環(huán)境下采用MF預編碼的SINR的近似概率密度函數(shù)（Probability density function，PDF）表達式。但文獻［17］著重考察高信噪比下MF預編碼的近似PDF，對低信噪比下噪聲與干擾相當?shù)那闆r研究較少，因此本文針對一般信噪比下的大規(guī)模MU-MIMO環(huán)境，推導了MF預編碼近似SINR的PDF，并通過仿真驗證所推導的公式的準確性。

1 系統(tǒng)模型

式中：ρ定義為基站的總發(fā)射功率，sk和sl分別表示基站發(fā)送給用戶k和用戶l的數(shù)據(jù)符號，nk是均值為0且方差為的加性白高斯噪聲。用戶k的SINR可表示為

基于式（1，3），易獲得所有用戶的和速率為

2 信干噪比的近似概率密度函數(shù)

為了便于推導式（3）定義的SINR的PDF，首先定義兩個新的隨機變量

和

則式（3）可簡化為

式中≥0，且

依據(jù)式（8，9），可獲得x的概率密度函數(shù)

下面推導yl的概率密度函數(shù)。根據(jù)式（6），yl可展開為

若k≠l或n≠m，則hkn與hlm相互獨立，它們的積也相互獨立。因此，對所有k≠l或n≠m，有

式（12）所示的yl的統(tǒng)計平均值為

隨機變量yl的方差定義為

根據(jù)零均值隨機變量的獨立特性，式（15）求和符號后的求期望過程只在m＝n時存在不為零的值，則有

令

式中≥0。

結合式（8）與式（17），式（7）可簡化為

應用Jacobi變換，可由~x的PDF得到x1的PDF

式中x1≥0。

另一方面，隨機變量x2服從第1自由度為2K-2，第2自由度為2N的F分布

式中x2≥0，且

令

式中

則的累積分布函數(shù)為

可得的PDF如下

考慮到是的倒數(shù)，根據(jù)式（26），可獲得SINR的PDF為

將式（20）與式（21，27）聯(lián)合，有

式中≥0。

至此完成了SINR的PDF推導過程。

3 仿真結果

為了驗證本文推導的SINR的PDF公式的正確性，下面通過Matlab軟件仿真產(chǎn)生充足的信道向量hk的隨機樣本，然后根據(jù)式（3）獲得模擬的SINR值并利用 Matlab軟件里的ksdensity（）函數(shù)計算出SINR的PDF，并以此作為參考值和由本文推導的式（28）直接計算得到的SINR的PDF相比較。目前，3G與4G移動通信系統(tǒng)相鄰蜂窩均采用頻率復用因子為1的工作模式，由于相鄰蜂窩同信道干擾的影響，實際系統(tǒng)的工作信噪比通常較低。因此，本文主要仿真低信噪比下SINR的PDF。

圖1和圖2分別給出了在不同典型信噪比和發(fā)射天線與用戶數(shù)的情況下，推導的SINR和純仿真的PDF曲線趨勢圖（其中，N＝4K）。由圖可知，在N＝32、N＝64時，本文推導得出的PDF和仿真模擬的PDF基本重合，尤其在低信噪比（SNR＝-5dB）時，推導與純仿真獲得的PDF曲線幾乎重合。

圖1 固定用戶數(shù)與基站發(fā)射天線數(shù)時，推導與仿真SINR的PDF曲線隨信噪比變化的趨勢圖（N＝32，K＝8）Fig.1 Comparison between derived PDF of SINR and simulated PDF with fixed numbers of users and transmit antennas（N＝32，K＝8）

圖2 固定用戶數(shù)與基站發(fā)射天線數(shù)時，推導與仿真SINR的PDF曲線隨信噪比變化的趨勢圖（N＝64，K＝16）Fig.2 Comparison between derived PDF of SINR and simulated PDF with fixed numbers of users and transmit antennas（N＝64，K＝16）

圖3 固定用戶數(shù)與信噪比時，推導與仿真的SINR的PDF曲線隨基站發(fā)射天線數(shù)變化的趨勢圖（SNR＝-5dB，K＝8）Fig.3 Comparison between derived PDF of SINR and simulated PDF with fixed numbers of users and SNR（SNR＝-5dB，K＝8）

圖3和圖4給出了在固定用戶數(shù)K＝8時，不同信噪比，不同發(fā)射天線條件下的SINR的PDF曲線。同圖1～2的結論類似，本文推導的概率密度函數(shù)在低信噪比下與實際概率密度曲線相差甚微，但在天線數(shù)較少且信噪比高于0dB時，由于對干擾部分概率分布的近似，使得推導的PDF同實際PDF曲線相比仍存在一定的改進空間，例如，在N＝16，SNR＝0dB時，仿真與推導得出的PDF曲線存在7%的峰值偏差。隨著天線數(shù)增加，本文推導的公式與仿真的結果逐步趨于重合，最后收斂于同一曲線。另外，由圖3與圖4可知，隨著信噪比的增加，基站配置越多發(fā)射天線，越能保證推導的公式與仿真結果接近重合。

4 結束語

本文推導了在中等規(guī)模MIMO系統(tǒng)下采用MF波束成形算法的SINR概率密度函數(shù)的表達式。通過仿真驗證，該PDF在基站天線趨于大規(guī)模時逼近實際的概率分布。該結果為大規(guī)模MIMO通信系統(tǒng)平均誤符號率、中斷概率和平均速率和的推導與分析奠定了數(shù)學基礎。

圖4 固定用戶數(shù)與信噪比時，推導與仿真的SINR的PDF曲線隨基站發(fā)射天線數(shù)變化的趨勢圖（SNR＝0dB，K＝8）Fig.4 Comparison between derived PDF of SINR and simulated PDF with fixed numbers of users and SNR（SNR＝0dB，K＝8）

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