陳占龍，周 林，龔 希，吳 亮

1.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710054

1 引 言

在地圖制圖綜合中常將大比例尺地圖轉(zhuǎn)換為小比例尺地圖，盡管尺度發(fā)生變化，但其所表達(dá)的信息應(yīng)該保持一定的相似性，空間相似性可用來評(píng)判綜合結(jié)果是否合理。廣義上，空間相似性指根據(jù)特定內(nèi)容和比例尺對(duì)空間的匹配和排序。文獻(xiàn)［1］將空間相似性定義為：在某一特定比例尺和內(nèi)容上被認(rèn)為是兩個(gè)相似的區(qū)域。已有的空間相似性方法包括空間拓?fù)洹⒎较?、距離、語義等關(guān)系相似性。文獻(xiàn)［2］將多尺度地圖空間相似關(guān)系分為圖形相似和屬性相似兩大類。方向關(guān)系相似性亦屬圖形相似，可作為制圖綜合結(jié)果評(píng)判的指標(biāo)之一。

相似關(guān)系的強(qiáng)弱模糊性難以衡量，方向關(guān)系模型中有只用于表示方向關(guān)系的定性模型，亦有用于相似度評(píng)估的定量模型［3－9］，以及既為定性模型亦為定量模型的方向矩陣模型［10－11］；通過對(duì)方向矩陣模型進(jìn)行改進(jìn)得到一系列可應(yīng)用于柵格數(shù)據(jù)或解決分區(qū)線與對(duì)象重合等問題的模型［12－16］。此外，根據(jù)不同的應(yīng)用情況產(chǎn)生了各種側(cè)重點(diǎn)不同的方向關(guān)系模型［17－23］。定性模型缺乏進(jìn)行方向關(guān)系相似度計(jì)算的量化信息；大部分定量模型為降低計(jì)算的復(fù)雜度僅對(duì)對(duì)象的外包矩形或質(zhì)心等替代物建模，且表示出的方向關(guān)系可比性較差，無法對(duì)方向關(guān)系相似度進(jìn)行定量比較。

與忽略空間對(duì)象自身形狀細(xì)節(jié)對(duì)方向關(guān)系的影響模型不同，方向關(guān)系矩陣模型基于空間對(duì)象自身形狀建模，滿足了空間方向模型應(yīng)具備可形式化、可推導(dǎo)、形狀敏感、尺度中立、可比性這5個(gè)特性。根據(jù)方向關(guān)系矩陣模型的定量描述特點(diǎn)，可利用方向關(guān)系矩陣間的距離來計(jì)算方向關(guān)系間的相似度?，F(xiàn)階段利用方向關(guān)系矩陣進(jìn)行定量計(jì)算研究較少，文獻(xiàn)［10—11］基于鄰域圖利用詳細(xì)關(guān)系矩陣對(duì)空間對(duì)象的相似度的定量計(jì)算進(jìn)行了嘗試。

本文以方向關(guān)系矩陣模型為基礎(chǔ)，簡單直觀地表達(dá)出任意空間對(duì)象間的方向關(guān)系，引入Northwest－Corner方法［24］計(jì)算方向矩陣間的距離，從而獲得任意尺度空間對(duì)象的方向相似度。

2 方向相似度計(jì)算方法

本文利用方向關(guān)系矩陣對(duì)空間對(duì)象間的方向關(guān)系進(jìn)行描述。

2.1 格網(wǎng)下的方向關(guān)系矩陣表示

方向關(guān)系矩陣的計(jì)算首先通過參考對(duì)象A最小外包矩形邊所在直線將空間劃分成9個(gè)分區(qū)｛N，S，E，W，NE，SE，SW，NW，same｝，分別對(duì)應(yīng)3×3矩陣的9個(gè)元素，元素值記錄的信息決定矩陣的詳細(xì)程度。本文將地圖上所涉及的區(qū)域劃分為固定大小的網(wǎng)格陣列，量化信息通過目標(biāo)對(duì)象B所占的網(wǎng)格數(shù)目計(jì)算，即通過B在各分區(qū)的網(wǎng)格數(shù)目與對(duì)象所占的總網(wǎng)格數(shù)目之比表示，如式（1）所示

該方法可簡化關(guān)系矩陣的計(jì)算。本文中點(diǎn)對(duì)象所占的網(wǎng)格數(shù)記為1，當(dāng)參考對(duì)象為點(diǎn)時(shí)以該點(diǎn)所在網(wǎng)格的延長線進(jìn)行分區(qū)。

通過動(dòng)態(tài)調(diào)整格網(wǎng)大小，本方法使對(duì)象落在某些格網(wǎng)中而非在格網(wǎng)線上。由于參考對(duì)象的分區(qū)線與格網(wǎng)線重合，目標(biāo)對(duì)象亦不會(huì)落在分區(qū)線上和分區(qū)線交點(diǎn)處。因此，采用該簡化的方向矩陣即可表示任意對(duì)象之間的關(guān)系。

2.2 空間參考對(duì)象的劃分

本文的方向度量模型可表示任意對(duì)象對(duì)間的方向關(guān)系，實(shí)際應(yīng)用時(shí)仍有特殊情況需處理：目標(biāo)對(duì)象全部落在same區(qū)，表示參考對(duì)象與目標(biāo)對(duì)象重合。但在實(shí)際空間場景中，選定的兩個(gè)對(duì)象為相離或相鄰關(guān)系，不可能出現(xiàn)重疊的情況，需對(duì)參考對(duì)象進(jìn)行劃分處理。

當(dāng)兩個(gè)對(duì)象距離很近時(shí)，可能出現(xiàn)方向關(guān)系判斷不準(zhǔn)確的情況。如圖1（a）、圖2（a）所示，兩幅圖中目標(biāo)對(duì)象相對(duì)于參考對(duì)象的方向是明確的，但都被劃分到same區(qū)，此時(shí)需對(duì)參考對(duì)象進(jìn)行劃分，即以目標(biāo)對(duì)象所占網(wǎng)格的延長線對(duì)參考對(duì)象截取的最小范圍作為新的參考對(duì)象，判斷目標(biāo)對(duì)象與參考對(duì)象間的方向關(guān)系。圖1（b）、圖1（c）和圖2（b）、圖2（c）為用B所在的柵格線的延長線對(duì)A進(jìn)行劃分，選取所截范圍最小的兩條延長線，將這兩條延長線與分區(qū)線截取出的部分作為新的參考對(duì)象重新進(jìn)行分區(qū)。

在實(shí)際應(yīng)用中數(shù)據(jù)遠(yuǎn)比示例中數(shù)據(jù)大且復(fù)雜，參考對(duì)象的劃分也更有必要，如線對(duì)象并不是只有上述示例中的一段，很可能是很長的一條路（圖3（a）），當(dāng)對(duì)路旁邊的一個(gè)房屋的方位判斷時(shí)，若使用整條線判斷，得到房屋就在公路上，不符合實(shí)際。需對(duì)參考對(duì)象進(jìn)行劃分后再進(jìn)行判斷才符合實(shí)際，如圖3（b）。

圖1 用點(diǎn)對(duì)象對(duì)面對(duì)象進(jìn)行劃分Fig.1 Coarse split on region reference to point

圖2 用線對(duì)象對(duì)線對(duì)象進(jìn)行劃分Fig.2 Coarse split on line reference to line

圖3 實(shí)際應(yīng)用中的劃分Fig.3 Coarse split applied in practice

2.3 方向矩陣間的距離計(jì)算

方向關(guān)系可通過方向關(guān)系矩陣表達(dá)，兩個(gè)方向關(guān)系之間的相似度即可通過其對(duì)應(yīng)的方向關(guān)系矩陣之間的相似度來反映。如圖4所示，計(jì)算方向關(guān)系之間的相似度s首先需計(jì)算方向關(guān)系矩陣之間的距離d，然后將d轉(zhuǎn)換為相異度δ

最后通過δ求相似度s

式（2）與式（3）中，D為方向關(guān)系矩陣；dmax為鄰域圖的最大距離。相似度取值范圍為［0，1］，取值越大表示兩個(gè)方向關(guān)系越相似，如1就表示兩個(gè)方向關(guān)系完全相同。本文將任意兩個(gè)方向關(guān)系矩陣之間的距離定義為從源方向矩陣D0轉(zhuǎn)換成目的方向矩陣D1的最小代價(jià)，該轉(zhuǎn)換通過將D0中的非零元素從原來的位置沿著鄰域圖的路徑移動(dòng)到D1中非零元素的位置來實(shí)現(xiàn)。距離d的計(jì)算分兩種情況討論：單元素矩陣間的距離與多元素矩陣間的距離。單元素方向矩陣只有一個(gè)非零元素，多元素方向關(guān)系矩陣中存在多個(gè)非零元素，單元素矩陣可看作一種特殊的多元素矩陣。

2.3.1 單元素方向關(guān)系矩陣間的距離

單元素方向矩陣對(duì)應(yīng)9種不同單元素方向關(guān)系。單元素矩陣間的最小距離與鄰域圖有關(guān)。在9方向分區(qū)上建立合適的鄰域圖有利于提高距離的計(jì)算精確度。鄰域圖分為4鄰域圖和8鄰域圖，4鄰域圖和8鄰域圖中各頂點(diǎn)之間的最小距離不同（圖5）。若采用4鄰域圖，式2中dmax取值為4，若采用8鄰域圖則其取值為2。

圖4 求解相似度的具體過程Fig.4 Process for assessing similarity

2.3.2 多元素關(guān)系方向矩陣間的距離

這種情況亦包含兩種情況。

（1）從多元素矩陣轉(zhuǎn)換為單元素矩陣，即將多元素的非零元素移入目的矩陣中唯一的非零元素中，需計(jì)算多元素矩陣中每個(gè)非零元素按其權(quán)重與單元素矩陣中非零元素的距離之和，即

式中，D0i表示源矩陣D0中的元素值；D1des表示目的矩陣D1中的非零元素，d（D0i，D1des）表示兩個(gè)元素之間的距離，即兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置非零的單元素矩陣之間的距離。由于距離是對(duì)稱的，單元素源矩陣與多元素目的矩陣的距離可通過計(jì)算目的矩陣到源矩陣的距離獲得。

圖5 4鄰域圖（左側(cè)值）和8鄰域圖（右側(cè)值）的單元素方向關(guān)系矩陣間距離Fig.5 4－neighbor distances（left）and 8－neighbor distances（right）between cardinal direction

（2）從多元素矩陣轉(zhuǎn)換為多元素矩陣，由于這種情況下不能明確源多元素矩陣各非零元素轉(zhuǎn)入目的多元素矩陣各非零元素的比例，本文利用方向矩陣間轉(zhuǎn)換的最小代價(jià)計(jì)算距離。首先，了解幾個(gè)與矩陣相關(guān)的概念。

定義1：矩陣D0和D1的共性矩陣C01

C01的每個(gè)元素的值取D0和D1相應(yīng)位置上兩個(gè)元素的較小值。同理，D1和D0的共性矩陣C10元素的值亦取兩個(gè)矩陣中元素的較小值，因而C01＝C10。

定義2：矩陣D0與D1的非對(duì)稱相異矩陣R01為矩陣D0與共性矩陣之差，即

同理，矩陣D1與D0的非對(duì)稱相異矩陣R10為矩陣D1與共性矩陣之差，即

定義3：矩陣D0與D1的方向相異矩陣Δ01定義為兩個(gè)非對(duì)稱相異矩陣的差值，即

用式（6）和式（7）中的值替換到式（8）中可得

式中，Δ01元素的值范圍為［－1，1］。

由于方向關(guān)系矩陣間的轉(zhuǎn)換與平衡傳輸問題有一定的共性，借用平衡傳輸問題的解決方法可求解矩陣間轉(zhuǎn)換的最小代價(jià)。首先了解普通的平衡傳輸問題及其求解思想。

平衡傳輸表（balance transportation tableau，BTT）如圖6所示，已知倉庫Wi能供給的貨物量為si，市場Mj的需求量為dj，cij為從Wi到Mj運(yùn)送單位貨物的成本，已知倉庫的總供給量等于市場的總需求量。如何分配貨物才能使得運(yùn)輸成本最低，即平衡運(yùn)輸問題。

圖6 平衡傳輸表Fig.6 The balance transportation tableau

假設(shè)最終解決方案中從Wi運(yùn)送到Mj的貨物為xij。問題演變成確定特定的x，使得代價(jià)z最小，即

式中，x需滿足倉庫供給量和市場需求量的約束為

一種求解xij的方法為Northwest－Corner方法：從平衡傳輸表的左上方開始，先清空一個(gè)倉庫或填滿一個(gè)市場，將實(shí)際運(yùn)輸量記下，并從相應(yīng)的行列中減去運(yùn)輸量，然后刪除已空的倉庫（行）或已滿的市場（列），如果兩者同時(shí)滿足且該行不是剩下的唯一行，則優(yōu)先去掉行，直到所有的行列都刪除，否則繼續(xù)回到新表的左上方重新開始，每次記下的運(yùn)輸量即為最終xij的解。

方向關(guān)系矩陣間的轉(zhuǎn)換與從倉庫（源矩陣非零元素對(duì)應(yīng)的分區(qū)）運(yùn)輸貨物（非零元素）到市場（目的矩陣非零元素對(duì)應(yīng)的分區(qū)）類似，兩矩陣若在同一位置都有非零元素，那么部分非零元素（兩者中值較小的元素值）是不需運(yùn)送的，即兩者的共性矩陣中的非零元素?zé)o須運(yùn)送，因此非零元素的運(yùn)送實(shí)質(zhì)是在兩個(gè)非對(duì)稱相異矩陣中進(jìn)行。

3 空間方向相似度計(jì)算實(shí)例分析

本文選取制圖綜合中4種可能的情況，作為示例進(jìn)行分析。

3.1 面面到面點(diǎn)

如圖7（a）為大比例尺下的兩個(gè)面對(duì)象，圖7（b）—7（d）為 綜 合 后 的 小 比 例 尺 地 圖，圖7（b）和圖7（c）中目標(biāo)對(duì)象B綜合為點(diǎn)對(duì)象，圖7（d）中參考對(duì)象A綜合為線對(duì)象。

圖7 大比例下面和面轉(zhuǎn)為小比例尺的情況Fig.7 Collapsing apair of regions at large scale to objects at small scale

圖 7（a）—7（b）的關(guān)系矩陣如式（12）—式（13）所示

圖7（c）—7（d）的方向關(guān)系矩陣如式（14）所示

計(jì)算得到：圖7（a）、（b）之間相似度S0＝1－0.67×1／4＝0.832 5，圖7（a）、7（c）之間相似度S1＝1－0.33×1／4＝0.917 5，圖7（a）、7（d）之間相似度S2＝1－0.33×1／4＝0.917 5。圖7（b）和圖7（c）相比較，圖7（b）、7（a）的相似度低于圖7（c）、7（a），圖7（c）更符合制圖綜合的要求，圖7（d）同樣也較好地保持了方向間的相似性。

3.2 面面到點(diǎn)點(diǎn)

如圖8（a）為大比例尺下的兩個(gè)面對(duì)象，圖8（b）—8（d）為綜合后的小比例尺地圖，面對(duì)象均綜合為點(diǎn)對(duì)象，不同之處在于B相對(duì)于A的位置，圖8（a）中目標(biāo)對(duì)象分別落在在參考對(duì)象的N、NE和NW這3個(gè)分區(qū)。

圖8 大比例下面和面轉(zhuǎn)為小比例尺的情況Fig.8 Collapsing apair of regions at large scale to objects at small scale

圖8（a）—8（d）的關(guān)系矩陣依次為式（15）—式（18）

計(jì)算結(jié)果：圖8（a）、8（b）之間相似度S0＝1－（11×1＋6×0＋14×1）／31／4＝0.798 387，圖8（a）、8（c）之間相似度S1＝1－（11×2＋6×1＋14×0）／31／4＝0.774 194，圖8（a）、8（d）之間相似度S2＝1－（11×0＋6×1＋14×2）／31／4＝0.725 806。圖8（b）—8（d）與圖8（a）的相似度逐漸遞減，即圖8（b）更符合制圖綜合的要求。

若對(duì)象B的形狀稍作改變，則圖8（b）不一定仍為最佳結(jié)果。如圖8（e）所示，得到其方向關(guān)系矩陣為

重新計(jì)算方向關(guān)系相似度結(jié)果為：圖8（b）、（e）之間相似度S0＝1－（12×1＋6×0＋22×1）／40／4＝0.787 5，圖8（c）、（e）之間相似度S1＝1－（12×2＋6×1＋22×0）／40／4＝0.812 5，圖8（d）、（e）之間相似度S2＝1－（11×0＋6×1＋22×2）／40／4＝0.687 5。此時(shí)圖8（c）的相似度更高。當(dāng)目標(biāo)對(duì)象關(guān)于參考對(duì)象近似對(duì)稱分布即左右部分面積相差不大時(shí)，綜合后的方向接近目標(biāo)對(duì)象中心點(diǎn)所在的位置方向，若左右部分面積相差較大則會(huì)偏向面積大的方向。

3.3 面面到面面

如圖9所示，將目標(biāo)對(duì)象B向西移動(dòng)，比較圖9（b）、9（c）與圖9（a）的相似度。通過視覺可直觀判斷圖9（b）與圖9（a）的相似度更高，計(jì)算結(jié)果將對(duì)此進(jìn)行驗(yàn)證。

圖9（a）—9（c）的方向關(guān)系矩陣如式（20）—式（22）所示

圖9 將目標(biāo)對(duì)象B向西移動(dòng)Fig.9 Moving the target object Bto west

圖9（a）、9（b）間的相似度需用多元素方向關(guān)系矩陣間的距離進(jìn)行計(jì)算，得到兩者之間的方向相異矩陣為

通過倉庫即SE、E、same的供給量（正元素）和市場即S、SW的需求量（負(fù)元素）得到平衡傳輸表如圖10所示。

圖10 矩陣D0和D1的平衡傳輸表Fig.10 BTT between D0and D1

由解集xij（i∈｛1，2，3｝，j∈｛1，2｝）得到的總代價(jià)z

解集應(yīng)該滿足式（25）的約束條件

然后用Northwest－Corner法求解xij。

（1）從圖11（a）左上角開始，首先滿足一個(gè)倉庫（E）的供給或者市場（SW）的需求，先滿足兩者中較小的0.375，取x11＝0.375，在倉庫的供給量和市場的需求量中減掉x11，此時(shí)第一行的倉庫清空，刪掉行，繼續(xù)對(duì)新表進(jìn)行操作。

（2）現(xiàn)在圖11（b）左上方為SE和SW，取x21為兩者中的較小值0.125，同時(shí)兩者減掉x21，此時(shí)只有該列為0，因此去掉該列。

（3）現(xiàn)在圖11（c）左上方為SE和S，SE的值較小因此取x22＝0.25，將兩者的值減掉x22，此時(shí)SE的值為0，而S的值為0.125，因此去掉該行。

（4）現(xiàn)在圖11（d）左上方為same和S，兩者都等于0.125，因此直接取x32＝0.125，并同時(shí)將兩者的值減掉x32，發(fā)現(xiàn)兩者都為0，優(yōu)先刪除該行，表格清空循環(huán)停止。

圖11 使用的Northwest－Corner時(shí)的平衡傳輸表Fig.11 BTT in Northwest－Corner method

循環(huán)得到最終解集如下：x11＝0.375，x21＝0.125，x22＝0.25，x32＝0.125，x12＝x31＝0?？偞鷥r(jià)為：z＝3x11＋2x12＋2x21＋x22＋2x31＋x32＝3×0.375＋2×0＋2×0.125＋0.25＋2×0＋0.125＝1.75。因此方向關(guān)系矩陣D0和D1間的距離d（D0，D1）＝z＝1.75，求得圖9（a）、（b）相異度δ（D0，D1）＝z／4＝0.437 5，相似度S0＝s（D0，D1）＝0.562 5。

根據(jù)D0、D2求得圖9（a）、（c）之間相似度S1＝1－（0.125×（2＋1）＋0.375×（2＋3））／4＝0.437 5。由計(jì)算結(jié)果可知，圖9（a）、（b）的相似度高于圖9（a）、9（c），符合人類的實(shí)際認(rèn)知。

3.4 面線到點(diǎn)線

如圖12（a）為大比例尺下的公路與池塘，公路為線對(duì)象，池塘為面對(duì)象，圖12（b）—12（d）為綜合后的小比例尺地圖，3幅圖中池塘由面對(duì)象綜合為點(diǎn)對(duì)象，而公路依然是線對(duì)象，但其形態(tài)由曲線變?yōu)橹本€，三者不同之處在于公路相對(duì)于池塘的位置。圖12（b）中公路從池塘中穿過，顯然不符合實(shí)際情況，為避免這種情況，應(yīng)將池塘的位置稍作偏移，使其位于公路邊。圖12（c）、12（d）是偏移后的兩種情況。

圖12 大比例下面和線轉(zhuǎn)為小比例尺的情況Fig.12 Collapsing a region and a line at large scale to apoint and a line at small scale

求得圖12（a）、圖12（c）、圖12（d）的方向關(guān)系矩陣如式（26）—式（28）所示

計(jì)算得到圖12（a）、12（c）之間方向相異矩陣

得到平衡傳輸表如圖13（a）。解集為所示：x11＝52，x21＝23，x22＝16，x32＝26，x42＝4，x43＝19，x12＝x13＝x23＝x31＝x33＝x41＝0，則z＝329。圖12（a）、12（c）之間相似度S0＝1－（3×x11＋1×x21＋3×x22＋2×x32＋3×x42＋2×x43）×1／4×1／416＝0.802 284。

再計(jì)算圖12（a）、12（d）之間方向相異矩陣如式（30）

得到平衡傳輸表如圖13（b），解集為：x11＝39，x21＝36，x31＝19，x32＝7，x42＝13，x52＝7，x12＝x22＝x41＝x51＝0，則z＝251。圖12（a）、12（d）之間相似度S1＝1－（3×x11＋1×x21＋2×x31＋2×x32＋3×x42＋1×x52）×1／4×1／416＝0.849 159。

圖13 實(shí)例中的平衡傳輸表Fig.13 BTT in the example

結(jié)果表明圖12（a）、12（d）之間的方向相似度略高于圖12（a）、12（c）之間的方向相似度。圖12（c）、12（d）中B大部分在SE和 NW 分區(qū)，不同之處在于中間部分相對(duì)A的位置，圖12（a）中A在B右上側(cè)，但圖12（c）中卻將A移至B的左下側(cè)，而圖12（d）保持了圖12（a）中A相對(duì)B的位置，計(jì)算出的相似度的差異在中間部分體現(xiàn)出來。

4 總 結(jié)

本文通過方向關(guān)系矩陣間的相似度來評(píng)判制圖綜合后的結(jié)果的合理性。利用方向關(guān)系矩陣量化模型的特點(diǎn)，計(jì)算場景中方向?qū)﹂g的相似度，從而進(jìn)行比較和評(píng)判。與基于對(duì)象的外包矩形或質(zhì)心的建模不同，基于對(duì)象本身建模的方向關(guān)系矩陣能更精確地對(duì)多尺度空間場景中的方向關(guān)系對(duì)進(jìn)行評(píng)估。本文采用4鄰域圖和Northwest－Corner算法計(jì)算方向關(guān)系矩陣間的距離，下一步工作將優(yōu)化網(wǎng)格計(jì)數(shù)方法，并利用8鄰域圖或自定義距離的鄰域圖以及改良的平衡傳輸算法對(duì)多元素矩陣進(jìn)行距離求解以提高計(jì)算精度。

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