賈 娟

（西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,710014）

近幾年在生物模型的發(fā)展中，國內(nèi)外學(xué)者對帶有時滯階段結(jié)構(gòu)的生物種群研究頗為重視。其中時滯是指一種時間滯后現(xiàn)象，在現(xiàn)實生物界中普遍存在，也非常重要。例如傳染病H7N9的潛伏期，它有一個時間滯后；經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入與產(chǎn)出之間也存在著時間上的延遲；二胎政策的提倡到人口的出生率猛增二者之間存在時間滯后現(xiàn)象；另外捕食者捕獲食物后再轉(zhuǎn)化為自身的能量這之間也需要一定的時間。所以時滯對于我們研究生物系統(tǒng)是一個不容忽視的問題。而所有生物的發(fā)展無一例外都具有一定的階段結(jié)構(gòu)，所以考慮帶有時滯階段結(jié)構(gòu)的生物模型就顯得極為重要。本文主要考慮了帶有時滯階段結(jié)構(gòu)的一類生物模型，主要分析了系統(tǒng)正平衡點的穩(wěn)定性以及Hof分支的存在性。所建模型能夠更加準(zhǔn)確的描述生物系統(tǒng)，也為人們預(yù)測、控制以及保護(hù)生物系統(tǒng)的平衡發(fā)展奠定一定的基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)正平衡點的穩(wěn)定性

本文著重考慮以下系統(tǒng)：

對上式公式中的字母解釋：其中幼年的食餌種群、成年的食餌種群以及捕食者種群在時刻時的種群密度我們用各自表示，幼年的食餌種群的出生率與成年的食餌種群的出生率之比用表示；幼年食餌種群由于外界不可抗力可能會導(dǎo)致部分死亡，所以幼年食餌種群死亡率用表示；長大后的幼年食餌種群轉(zhuǎn)化為成年食餌種群的轉(zhuǎn)化系數(shù)用表示；由于外界對成年食餌種群的收獲，所以收獲努力量我們用H表示；幼年食餌種群向成年食餌種群的轉(zhuǎn)化需要一個時間我們用表示；而捕食者對于成年食餌種群的消化時間我們用表示，系統(tǒng)中出現(xiàn)的字母均為正的常數(shù)，并且具有一定的生物理論意義。

通過計算我們知道，（H1）:

系統(tǒng)(1.2)的線性化系統(tǒng)如下所示：

相應(yīng)的我們有特征方程：

由上式(1.4)可知：0λ=不是方程(1.4)的根，所以我們通過對下列方程的分析來替代上述方程(1.4)：

明顯，dλ?

=- 是方程(1.6)的一個負(fù)實根。

2 Hopf分支的存在性

周期現(xiàn)象是生物系統(tǒng)普遍存在的一種現(xiàn)象，對于它的研究一直以來都受到關(guān)注。而周期解的產(chǎn)生一般都是由于Hopf分支的出現(xiàn)，所以分支問題又使得研究者們津津樂道。Hopf分支是一種重要的分支現(xiàn)象，它是指當(dāng)系統(tǒng)的奇點穩(wěn)定性發(fā)生某種變化時，在其所在領(lǐng)域內(nèi)產(chǎn)生閉軌的一種現(xiàn)象。本文主要考慮了系統(tǒng)(1.1)的局部Hopf分支的存在性。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]可知，多時滯的特征根的分布情況比較復(fù)雜，要分析具有兩個時滯的方程(1.5)可能較為困難，所以我們先來分析只含一個時滯τ2的情形，即就是時的方程(1.5)，此時方程(1.5)變?yōu)椋?/p>

當(dāng)20τ＞時，若,0iλω ω=＞是方程(1.7)的根，ω滿足下列方程：

于是有：

其中：

(H2)：當(dāng)時，方程(1.8)沒有正實根，所以方程(1.7)就沒有純虛根。

(H3)：當(dāng)時，可見方程(1.8)有唯一的正根

0ω：

其中

我們令:

引理2 假設(shè)(H1)，(H2)成立，則橫截條件

證明：上述方程(1.7)的兩端分別對2τ求導(dǎo)：

通過上述引理1、引理2我們可以得到以下定理：

定理 1 假設(shè)（H1），（H2），（H3）成立，則對于本文討論系統(tǒng)(1.1)我們有：

ⅱ） 當(dāng)τ2＞τ0時，系統(tǒng)的非負(fù)平衡點是不穩(wěn)定的；

同理，當(dāng) τ1≠0,τ2=0時，分析的方法與上述分析的方法類似。當(dāng)系統(tǒng)(1 . 1)滿足一定的

條件時系統(tǒng)也會出現(xiàn)分支現(xiàn)象。若將τ1作為分支參數(shù)進(jìn)行討論，將在非負(fù)平衡點附近也會發(fā)生Hopf分支現(xiàn)象。

3 小結(jié)

本文討論了一類具有時滯和階段結(jié)構(gòu)的食餌-捕食系統(tǒng)的收獲模型，主要是分析了該系統(tǒng)平衡點的全局穩(wěn)定性，驗證了時滯取一系列臨界值時，系統(tǒng)(1 . 1)存在Hopf分支的現(xiàn)象。文章對于生物系統(tǒng)的完善分析具有一定的理論意義。