王國友，夏湘芳，彭柯銘，陳光偉

（湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南株洲412007）

量子退相位通道中量子Fisher信息動力學(xué)

王國友，夏湘芳，彭柯銘，陳光偉

（湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南株洲412007）

利用量子通道估計方法研究了純退相位通道下，2個相互作用量子比特系統(tǒng)退相干率的量子Fisher信息的動力學(xué)演化。數(shù)值計算表明：量子Fisher信息總是先從0增加到某一最大值后迅速衰減，最后又減小到0；退相干率越大，導(dǎo)致量子Fisher信息越小和衰減到0的時間也越短；提高初始輸入態(tài)的糾纏不能使最大量子Fisher信息得到提升。

量子Fisher信息；糾纏；量子通道估計；退相干率；純退相位通道

0 引言

所有的量子系統(tǒng)都不可避免地和它們的環(huán)境相互作用，因而系統(tǒng)的動力學(xué)演化成為系統(tǒng)的一個重要特性[1-2]。在退相干環(huán)境下，物理量的動力學(xué)問題已引起許多學(xué)者的研究興趣。他們在研究中發(fā)現(xiàn)許多有趣的特性，例如糾纏演化中出現(xiàn)的糾纏死亡現(xiàn)象[3]，量子關(guān)聯(lián)演化中表現(xiàn)出的突變現(xiàn)象[4]等。

環(huán)境往往影響甚至破壞一個物理系統(tǒng)演化的進(jìn)程，因而盡可能精確地估計環(huán)境噪音的影響顯得尤為重要。量子通道估計是用來辨別未知噪音的方法之一，這種方法首先要制備一個作為量子通道的最優(yōu)輸入態(tài)，并且這個態(tài)攜帶了要被估計的通道參數(shù)，然后在與環(huán)境相互作用之后的輸出態(tài)上進(jìn)行某一量子態(tài)最優(yōu)測量，從而達(dá)到有效估計這個參數(shù)的目的[1]。

正像經(jīng)典估計理論中費舍爾（Fisher）信息的地位那樣[5]，在量子估計理論和量子信息理論中，量子Fisher信息也是一個關(guān)鍵的量。量子估計的目的是要估計出標(biāo)記量子系統(tǒng)參數(shù)的值，并提高分辨率的精度[1,6]。量子Fisher信息是描述一個量子態(tài)關(guān)于一個參數(shù)變化敏感性的量，它與決定最優(yōu)測量界的量子Cramer-Rao不等式密切相關(guān)[7]。近年來，人們對退相干下的量子Fisher信息動力學(xué)的研究表現(xiàn)出濃厚的興趣[8-14]。Sun Zhe等[11]發(fā)現(xiàn)，處于一個量子臨界自旋鏈環(huán)境中的自旋-j系統(tǒng)，當(dāng)環(huán)境達(dá)到臨界點時，其量子Fisher信息幾乎單調(diào)衰減；Ma Jian等[12]研究了退相干下，N個量子比特的GHZ態(tài)的量子Fisher信息的演化，表現(xiàn)出衰減和突變現(xiàn)象；Zhong Wei等[13]得到了不同量子通道下單個量子比特的量子Fisher信息的Bloch矢量表示的公式；V. Bu ek等[14]直接估計了一個量子比特的平均退相干率。

本文對處于退相干環(huán)境中的2個初始糾纏的量子比特進(jìn)行退相干率參數(shù)的估計。對這2個量子比特組成的系統(tǒng)，2個量子比特的退相干可以看作一個量子通道。采用文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[14]中量子通道估計的方法，考慮量子Fisher信息的動力學(xué)演化來估計通道退相干率參數(shù)。

1 模型和理論

考慮2個初始糾纏的完全相同的相互作用的量子比特A和B，每個量子比特由一個激發(fā)態(tài)和一個基態(tài)構(gòu)成的一個二能級系統(tǒng)描述[3]，而且假設(shè)2個量子比特A,B間相互作用強(qiáng)度為v，它們獨立地和各自的環(huán)境相互作用導(dǎo)致局域退相干。研究系統(tǒng)見圖1。

圖1 研究系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic for the research system

研究系統(tǒng)模型的哈密頓量為（設(shè)h=1）

式中：0是原子的躍遷頻率；

v是2個量子比特間的相互作用強(qiáng)度；

考慮每個量子比特的退相干通道是純退相位通道，系統(tǒng)的動力學(xué)可由下列方程（2）描述。

i為虛數(shù)單位；

為了研究退相干對參數(shù)估計精度的影響，需要研究2個量子比特的量子Fisher信息動力學(xué)。一個量子態(tài)關(guān)于參數(shù)的量子Fisher信息定義為

Tr表示求矩陣的跡。

如果一個量子態(tài)的譜分解為

假設(shè)系統(tǒng)輸入的初始態(tài)是一種X形混態(tài)

容易證明，在時間的演化中主方程（2）的解始終保持了X形，即

由于假設(shè)了2個量子比特的退相干率是相同的，并且把這種退相干看作一個量子通道，因而可以把2個量子比特作為一個整體來估計環(huán)境的退相干參數(shù)[1]，這就需要采用量子通道估計方法，研究量子Fisher信息動力學(xué)。通過對密度矩陣(t)對角化獲得其本征值和對應(yīng)的本征態(tài)，然后代入方程（4）得到量子Fisher信息的表達(dá)式。由于量子Fisher信息沒有簡單的解析式，下面以數(shù)值計算的形式給出的演化。

2 討論

量子Fisher信息動力學(xué)演化見圖2，圖2給出了在a=0.5,v=0.8,=0條件下，2個相互作用的量子比特在純退相位通道下，不同退相位率的量子Fisher信息動力學(xué)演化特性。

圖2 量子Fisher信息動力學(xué)演化Fig.2 The dynamical evolution of the quantum Fisher information（QFI）

從圖2中可以看出，對一個固定的退相位率，量子Fisher信息總是先從0增加到某一最大值后迅速衰減，最后減少到0。整個演化過程沒有出現(xiàn)量子Fisher信息的突然死亡，也沒有出現(xiàn)振蕩行為。這在物理上可以理解為：在時間t=0時，由于處于激發(fā)態(tài)的原子還沒有衰減，因而衰減率的量子Fisher信息是0。衰減開始時，原子處于激發(fā)態(tài)的概率大，衰減的可能性大，量子Fisher信息因此迅速增加。但隨著不斷衰減，處于激發(fā)的概率減小，量子Fisher信息也因此減小。最后，由于衰減使激發(fā)態(tài)概率變?yōu)?，量子Fisher信息也隨即變?yōu)?。由于考慮的是馬爾科夫環(huán)境，忽略了環(huán)境的記憶效應(yīng)，因而沒有出現(xiàn)振蕩和復(fù)蘇行為[9]。

從圖2還可以看到，對不同的退相位率，退相位率越大，導(dǎo)致量子Fisher信息越小，達(dá)到最大值和衰減到0的時間也越短。這在物理上可理解為，退相位率大衰減就快，使原子處于激發(fā)態(tài)的概率迅速減小，從而使量子Fisher信息最大值減小并迅速變化為0[1]。

通常情況下，提高輸入初始態(tài)的糾纏可以增大量子Fisher信息，也就可以提高參數(shù)估計的精度。如果用共生糾纏度來度量糾纏[3,15-16]，容易得到初始態(tài)的糾纏為

圖3 參數(shù)a對量子Fisher信息動力學(xué)的影響Fig.3 The effect of parameter a on the dynamical evolution of the quantum Fisher information（QFI）

從圖3可以看出，與文獻(xiàn)[1]不同，這里不同的a值（對應(yīng)不同的糾纏）對應(yīng)著相同的最大量子Fisher信息，也就有相同的參數(shù)估計的精度。這說明提高輸入態(tài)糾纏不總是可以提高參數(shù)估計的精度。

3 結(jié)論

本文利用量子通道估計方法，研究在純退相位通道下，2個相互作用的量子比特系統(tǒng)的量子Fisher信息的動力學(xué)演化。數(shù)值計算表明，對不同衰減率的退相位通道，量子Fisher信息總是先從0增加到某一最大值后迅速衰減，最后減小到0。整個演化過程沒有出現(xiàn)量子Fisher信息的突然死亡和振蕩行為。而且衰減率越大，導(dǎo)致其量子Fisher信息越小，在演化中達(dá)到最大值和衰減到0的時間也越短。而且，提高輸入態(tài)的糾纏可以提高量子Fisher信息的結(jié)論不總是正確的。至于量子糾纏和量子Fisher信息之間的關(guān)系問題值得進(jìn)一步研究。

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（責(zé)任編輯：鄧光輝）

Dynamics of Quantum Fisher Information Under Pure Dephasing Channel

Wang Guoyou，Xia Xiangfang，Peng Keming，Chen Guangwei
（School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Using the quantum channel estimation method,studies the dynamical evolution of quantum Fisher nformation(QFI) with respect to decoherent rate of two interacting qubits under pure dephasing channel. Numerical results show that the quantum Fisher information always increases from zero to a maximum value before rapidly decays,finally decays to zero,a larger decoherence rate leads to smaller quantum Fisher information and shorter decay time to zero,and also show that the maximum quantum Fisher information is not enhanced by promoting the degree of entanglement in the nitial input state.

quantum Fisher information；entanglement；quantum channel estimation；decoherent rate；pure dephasing channel

O413

A

1673-9833(2015)01-0098-04

2014-10-20

湖南省教育廳科學(xué)研究基金資助項目（13C039）

王國友（1974-），男，湖南隆回人，湖南工業(yè)大學(xué)講師，湖南師范大學(xué)博士生，主要研究方向為量子光學(xué)和量子信息，E-mail：gywang04@163.com

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.01.018