張友安 余名哲耿寶亮

(海軍航空工程學(xué)院控制工程系 煙臺(tái) 264001)

基于投影法的不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)同步

張友安 余名哲*耿寶亮

(海軍航空工程學(xué)院控制工程系 煙臺(tái) 264001)

針對(duì)一類具有未知參數(shù)、未知非線性函數(shù)及外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和Lyapunov穩(wěn)定性理論，該文提出一種基于滑模自適應(yīng)和投影法的同步控制策略。首先選取一類穩(wěn)定的分?jǐn)?shù)階積分滑模面，運(yùn)用自適應(yīng)技術(shù)對(duì)不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了同步控制器。然后對(duì)自適應(yīng)設(shè)計(jì)中容易出現(xiàn)的增長(zhǎng)型自適應(yīng)律運(yùn)用投影法進(jìn)行修正，以保證參數(shù)有界，從而也保證控制輸入有界。最后數(shù)值仿真證明了所設(shè)計(jì)控制器的正確性和有效性。

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)；滑模自適應(yīng)控制；投影法；參數(shù)有界

1 引言

自90年代初，美國(guó)海軍實(shí)驗(yàn)室的學(xué)者Pecra和Carrol在電子線路的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了混沌同步[1]以來(lái)，由于其巨大的應(yīng)用潛力，混沌同步的研究引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者空前的興趣。在過(guò)去的二十年中，混沌系統(tǒng)的同步研究得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，多種同步方法被提出來(lái)[2,3]，各種先進(jìn)的控制理論被人們引入混沌同步控制中，所研究的對(duì)象從理想的混沌系統(tǒng)模型到具有不確性的混沌模型，在理論上幾乎已經(jīng)完備，并且這些控制方法已在保密通信等實(shí)際工程領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，并獲得了很好的效果。但是隨著研究的深入，學(xué)者們也逐漸碰到一些新的問(wèn)題，在很多工程領(lǐng)域，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型所表現(xiàn)出的混沌特性不僅是整數(shù)階的，同時(shí)也有分?jǐn)?shù)階的[4]，并且分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的混沌特性要遠(yuǎn)比整數(shù)階次時(shí)復(fù)雜，其不僅具有整數(shù)階混沌系統(tǒng)固有的混沌特性同時(shí)也具有分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)相關(guān)的一些特性，因此其在工程領(lǐng)域特別是在保密通信領(lǐng)域中的應(yīng)用潛力更加巨大，這樣就有了要對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步控制的新課題。

當(dāng)前，絕大多數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌同步進(jìn)行理論研究的文獻(xiàn)中，研究的對(duì)象模型大多精確已知，或者僅存在簡(jiǎn)單的參數(shù)未知或外部擾動(dòng)的情況，在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)的時(shí)候作者也往往要求有不確定項(xiàng)上界已知等種種約束條件。但是在實(shí)際控制中，系統(tǒng)的不確定性絕不僅僅只有未知參數(shù)那么簡(jiǎn)單，比如在保密通信[5]，圖像加密[6]，生物工程[7]等領(lǐng)域，系統(tǒng)往往存在多種不確定性，這些不確定性將為系統(tǒng)的同步控制帶來(lái)不可預(yù)計(jì)的影響，并且這些不確定項(xiàng)的上界信息絕大多數(shù)情況下是不可能為設(shè)計(jì)者所掌握的。

自適應(yīng)控制對(duì)不確定性的處理有其獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)[8,9]，但是，設(shè)計(jì)者們也?？吹竭@樣一些現(xiàn)象，有些設(shè)計(jì)的參數(shù)自適應(yīng)律理論上雖然能夠使得對(duì)象系統(tǒng)穩(wěn)定，但在實(shí)際控制過(guò)程中由于擾動(dòng)的影響卻容易發(fā)生自適應(yīng)參數(shù)發(fā)散，這就是通常被稱之為的增長(zhǎng)型自適應(yīng)律。這種自適應(yīng)律在實(shí)際控制中會(huì)隨著時(shí)間導(dǎo)致控制量無(wú)界，而這種情況在控制設(shè)計(jì)中是令人無(wú)法接受的。例如文獻(xiàn)[10-12]等一大類采用自適應(yīng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)混沌同步的控制器設(shè)計(jì)中都出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題，而這種情況目前還并沒(méi)有引起相關(guān)學(xué)者的重視。投影法[13]采用對(duì)參數(shù)設(shè)置約束集的辦法，可將參數(shù)向量限制在約束集內(nèi)，保證自適應(yīng)參數(shù)的有界性。

本文的目的就是在運(yùn)用自適應(yīng)控制方法實(shí)現(xiàn)不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步后，采用投影法對(duì)基本的自適應(yīng)律進(jìn)行修正，以保證參數(shù)有界，解決增長(zhǎng)型自適應(yīng)律存在的參數(shù)無(wú)界問(wèn)題，以增強(qiáng)混沌同步方法的實(shí)用性。

2 問(wèn)題描述和模型建立

考慮式(1)所示的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)：

現(xiàn)將式(1)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，構(gòu)建相應(yīng)具有控制輸入的響應(yīng)系統(tǒng)：

式中y(t)∈Rn為響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量；G(y,t)為適當(dāng)維數(shù)函數(shù)矩陣；δ∈Rm2為未知的參數(shù)向量，g(y,t)∈Rn是已知光滑向量函數(shù)；Δg(y,t)∈Rn為未知有界的向量函數(shù)；dy(t)∈Rn為未知有界的外部擾動(dòng)；u(t)為待設(shè)計(jì)的控制輸入。

定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的誤差e(t)=y(t)-x(t )，本文的目的就是設(shè)計(jì)控制器u(t)，使得當(dāng)t→∞時(shí)有e(t)=0，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到完全同步。

考慮驅(qū)動(dòng)式(1)和響應(yīng)式(2)，分?jǐn)?shù)階同步誤差系統(tǒng)方程為

其中d(t)=dy(t)-dx(t )。

3 自適應(yīng)同步控制器設(shè)計(jì)

為方便讀者理解，在本節(jié)先對(duì)文獻(xiàn)[15]所做的工作做簡(jiǎn)單的介紹。

選取如式(4)所示的滑模面：

式中s∈Rn, e∈Rn, C∈Rn×n。

對(duì)式(4)兩邊關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)：

由滑模面開(kāi)始滑模運(yùn)動(dòng)條件s=0和s˙=0，及分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性條件[16]可知，當(dāng)選取合適的矩陣C，式(5)將是漸近穩(wěn)定性的，也即s=0時(shí)有e→0，并且C的選取將決定e→0的速度。

假設(shè)1 系統(tǒng)非線性不確定項(xiàng)和外部干擾均有界，且滿足

式中ε1, ε2,,為非負(fù)常數(shù)，那么對(duì)任意時(shí)間t總是存在一個(gè)正常數(shù)ρ滿足

假設(shè)2 未知參數(shù)向量δ和θ是定常的或是慢時(shí)變的。

設(shè)計(jì)如式(8)所示的控制律：

選取參數(shù)自適應(yīng)律：

式中μ1, μ2, μ3為設(shè)計(jì)權(quán)重，且為正常數(shù)。

將式(8)代入式(3)可得誤差系統(tǒng)方程為

將式(10)代入式(5)可得

綜合以上分析，有如下定理存在。

定理1 在同步控制律式(8)和自適應(yīng)律式(9)的作用下，誤差式(3)將漸近收斂到滑模面s=0上，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式(1)和響應(yīng)系統(tǒng)式(2)達(dá)到完全同步。

定理1的證明過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。

4 參數(shù)投影法修正自適應(yīng)律

式中Mδ, Mθ, Mρ均為常數(shù)，它們的值將依據(jù)對(duì)應(yīng)的不確定項(xiàng)的變化范圍來(lái)給出。

定理2[13]設(shè)約束集,和的定義由式(12)～式(14)給出。假如參數(shù)的初始值滿足(0)∈和0)∈，則對(duì)任意時(shí)間t≥0，自適應(yīng)律式(15)～式(17)能夠保證(t)∈。

定理3 在同步控制律式(8)和修正自適應(yīng)律式(15)～式(17)的作用下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)式(1)和響應(yīng)系統(tǒng)式(2)將達(dá)到完全同步。

證明 選擇如式(18)所示的Lyapunov函數(shù)：

對(duì)等式兩邊關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，并將式(11)和修正自適應(yīng)律式(15)～式(17)代入可得

將式(11)代入式(20)可得

進(jìn)一步結(jié)合文獻(xiàn)[15]的穩(wěn)定性證明，結(jié)合Barbalat引理[19]可知結(jié)論成立。 證畢

5 數(shù)值仿真與分析

本文采用如下對(duì)象模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并采用預(yù)估-校正算法進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分方程的解析運(yùn)算。

以不確定分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

當(dāng)αi=0.9,i=(1,2,3)，未知參數(shù)a=35, b=3, c=28時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)。

選取不確定分?jǐn)?shù)階R?ssler系統(tǒng)增加控制輸入構(gòu)建響應(yīng)系統(tǒng)：

當(dāng)αi=0.9,i=(1,2,3),未知參數(shù)m=0.4, p=0.2, r=10時(shí)，響應(yīng)系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌狀態(tài)，其混沌相圖見(jiàn)圖1。

給定驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為(2,4,1)T和(-4,-3,2)T，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)取矩陣C=I，設(shè)計(jì)參數(shù)μ1=10, μ2=20, μ3=10, k=2。根據(jù)給定的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)不確定項(xiàng)取∞-范數(shù)，可以得到未知項(xiàng)的上界取值范圍：d*≥1.4, ε1≥0.2, ε2≥0.3。預(yù)設(shè)參數(shù)估計(jì)初值為0)=(0,0,0)T,(0)=(0,0,0)T,0)=0.1，并設(shè)定不確定項(xiàng)ρ的約束集Mρ=1.5，參數(shù)b的約束集為Mδb=3.3。

由定理1可知，誤差系統(tǒng)在如下的控制器作用下將穩(wěn)定到零點(diǎn)。

控制律：

基本自適應(yīng)律：

圖1 不確定分?jǐn)?shù)階R?ssler系統(tǒng)混沌吸引子(α=0.9)

由給出的模型條件，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。圖2為對(duì)定理3的仿真驗(yàn)證曲線，分析發(fā)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的同步控制器可以在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步，并且參數(shù)自適應(yīng)律可以較好地逼近真實(shí)值；圖3為對(duì)基本自適應(yīng)律參數(shù)b和參數(shù)ρ應(yīng)用投影法進(jìn)行修正后的效果，可以看到，這兩個(gè)參數(shù)有效地被限制在了所設(shè)定的約束集內(nèi)；圖4為采用投影法前后控制輸入的對(duì)比較果，為了進(jìn)行清楚的比較，分別繪制了控制量u1和u2，從圖中可見(jiàn)，當(dāng)未采用投影法時(shí)，隨時(shí)間積累，控制量慢慢增加，并逐漸發(fā)散，采用投影法后，u1和u2被限制在一個(gè)有限范圍內(nèi)，為有界控制，因而控制是可實(shí)現(xiàn)的。

圖2 采用投影法前同步仿真曲線

圖3 采用投影法后參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

圖4 采用投影法前后控制輸入對(duì)比曲線

6 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)存在未知參數(shù)、非線性未知項(xiàng)和外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)做了自適應(yīng)同步研究，首先選取了一類穩(wěn)定的分?jǐn)?shù)階積分滑模面，然后對(duì)慢時(shí)變的未知參數(shù)和不確定上界ρ設(shè)計(jì)了相應(yīng)的自適應(yīng)律，接著設(shè)計(jì)了同步控制器，最后，為了防止自適應(yīng)參數(shù)發(fā)散，采用投影法對(duì)自適應(yīng)律進(jìn)行了修正。參數(shù)是比較典型的增長(zhǎng)型自適應(yīng)律，從仿真情況來(lái)看，經(jīng)修正后的自適應(yīng)律完全可以保證自適應(yīng)參數(shù)有界。

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張友安： 男，1963年生，博士，教授，研究方向?yàn)榉蔷€性理論，導(dǎo)航、制導(dǎo)及智能控制研究.

余名哲： 男，1982年生，博士生，研究方向?yàn)榉蔷€性理論及混沌同步研究.

耿寶亮： 男，1984年生，博士生，研究方向?yàn)橹悄芸刂萍皯?yīng)用研究.

Adaptive Synchronization of Uncertain Fractional-order Chaotic Systems Based on Projective Method

Zhang You-an Yu Ming-zhe Geng Bao-liang
(Department of Control Engineering, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China)

Based on the stability theory of fractional-order system and Lyapunov stability theory, and using the sliding mode adaptive control and projective method, a synchronization control strategy is proposed for a class of fractional-order chaotic systems with uncertain parameters, uncertain nonlinear functions and external disturbances. A stable fractional-order integral sliding surface is selected and the adaptive laws are designed to estimate the uncertainties, consequently, the synchronization controller is obtained. Then, the projective method is introduced to modify above basic adaptive laws to prevent the adaptive parameters from diverging to infinite, thus, the boundedness of the control inputs is guaranteed. Finally, the numerical simulation result is presented to show the effectiveness and applicability of the proposed control strategy.

Fractional-order chaotic system; Sliding mode adaptive control; Projective method; Bounded parameter

TP273

A

1009-5896(2015)02-0455-06

10.11999/JEIT140514

2014-04-22 收到，2014-06-30改回

*通信作者：余名哲 18953589889@189.cn