金 瑩

(河南財經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計學(xué)院,河南 鄭州 450002)

TFR模型下關(guān)于幾何分布產(chǎn)品加速壽命試驗的Bayes分析

金 瑩

(河南財經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計學(xué)院,河南 鄭州 450002)

討論了TFR模型下幾何分布參數(shù)的Bayes估計,通過實例對加約束與不加約束的兩種估計結(jié)果進(jìn)行對比．

幾何分布; TFR模型; Bayes估計

0 引言

許多產(chǎn)品(如開關(guān)等)的壽命就可以用幾何分布來描述．由于其無記憶性的優(yōu)點(diǎn),常用于可靠性理論的研究中．隨著科技的發(fā)展,許多產(chǎn)品的壽命大幅增加,若想快速得到產(chǎn)品壽命數(shù)據(jù),就需要進(jìn)行加速壽命試驗.本文討論的TFR模型下關(guān)于幾何分布產(chǎn)品加速壽命試驗的Bayes推斷．

將一批產(chǎn)品從t=0時刻開始置于應(yīng)力水平S1下做試驗,試驗到時刻t1將未失效產(chǎn)品置于應(yīng)力水平S2(S2>S1)下繼續(xù)做試驗,且試驗到產(chǎn)品都失效為止.假定應(yīng)力水平S1的失效率函數(shù)為λ1(x),應(yīng)力水平升高后,S2水平下的失效率函數(shù)δλ1(x)δ(δ>1)．設(shè)上述條件下加速壽命試驗的壽命時間X*的失效率函數(shù)為λ*(x),則λ*(x)表示為:

其中δ可能和t1有關(guān),記為δ(t1),并稱其為損傷因子．這種加速損傷模型稱為損傷失效率(TFR)模型[1].

TFR模型可推廣到一般的k步步加試驗[2]．在k步步進(jìn)應(yīng)力水S(t)=Si,

ti-1

1 多步步加試驗截尾場合下加約束的Bayes估計

設(shè)G(p)表示參數(shù)為p的幾何分布,X表示幾何分布產(chǎn)品的壽命,X～G(p)即

P(X=k)=pqk,k=1,2,…,(q=1-p).

則

P(xi>km)=P(xi≥km+1)=(1-p)k1(1-δ1p)k2-k1(1-δ2p)k3-k2…(1-δm-2p)km-1-km-2(1-δm-1p)km-km-1.

在應(yīng)力S1下,產(chǎn)品失效率λ1(k1)

定理1[3]若產(chǎn)品在恒定應(yīng)力S1下產(chǎn)品服從參數(shù)為p的幾何分布,那么在TFR下,在恒定應(yīng)力S2(>S1)下產(chǎn)品的壽命仍服從幾何分布,只是改變了參數(shù)而已.即當(dāng)k1→0時,

P(X=k)=limk1→0[δ(k1)p(1-p)k1(1-δ(k1)p)k-k1-1]=δ(0)p(1-δ(0)p)k-1.

由定理1可知,產(chǎn)品壽命在恒定應(yīng)力S2下仍服從幾何分布,參數(shù)為δ(0)p．

則其在截尾場合下似然函數(shù)為:

因為

所以得到如下約束條件

取p的先驗密度函數(shù)為

因為沒有相關(guān)信息,所以取δ1,δ2,…,δm-1的先驗密度函數(shù)為均勻分布

…

其中

其中

所以p,δs(s-1,2,…,m-1)有約束條件的Bayes估計為:

2 多步步加試驗截尾場合下未加約束的Bayes估計

沿用記號,已知無約束條件

其中

所以p,δs(s-1,2,…,m-1)有約束條件的Bayes估計為:

3 實例分析

例1 將20個幾何分布產(chǎn)品進(jìn)行試驗,在應(yīng)力S1下有3個產(chǎn)品失效(壽命為26,152,153),繼續(xù)試驗至k1=200 次提高應(yīng)力至S2,有5個產(chǎn)品失效(壽命為247,282,289,344,348)繼續(xù)做試驗至k2=350次提高應(yīng)力至S3,有1個產(chǎn)品失效(壽命為 445),繼續(xù)試驗至k3=450次提高應(yīng)力至S4,至再有6個產(chǎn)品失效停止試驗(壽命為463,488,507,535,536,549),未失效產(chǎn)品數(shù)r5=5.另外參數(shù)真值為p=7.686×10-4,δ1=2,δ2=6,δ3=24.

參數(shù)的Bayes估計為:

例2 將20個幾何分布產(chǎn)品進(jìn)行試驗,在應(yīng)力S1下有3個產(chǎn)品失效 (壽命為5,67,84),在繼續(xù)試驗至k1=200次提高應(yīng)力至S2,有6個產(chǎn)品失效(壽命為215,222,255,288,303,339),續(xù)做試驗至k2=350次提高應(yīng)力至S3,有2個產(chǎn)品失效(壽命為355,373),繼續(xù)試驗k3=450次提高應(yīng)力至S4,至再有1個產(chǎn)品失效停止試驗(壽命為 547),而未失效產(chǎn)品個數(shù)r5=5．另外參數(shù)真值為p=7.686×10-4,δ1=2,δ2=3,δ3=4．

參數(shù)的Bayes估計為:

從兩個例子可以看出參數(shù)p加約束的估計比不加約束的估計更接近真值.當(dāng)3個損傷因子的δi,i=1,2,3真實值比較接近時,不加約束的估計就可能出現(xiàn)逆序的情況.總之,一般情況下加約束的和不加約束的估計兩種方法都是適用的,加約束的比不加約束的估計更接近真值．

[1]Bhattacharyya G K,Soejoeti Z A. A Tampered Failure Rate Model for Step-Stress Accelerated Life Test[J]. Communications in Statistics-Theory and Method,1989,18(5):1627-1643.

[2]Madi M T. Multiple Step-Stress Accelerated Life Test:The Tampered Failure Rate Model[J]. Communications in Statistics-Theory and Method,1993,22(9):2631-2639.

[3]徐曉嶺.幾何分布和 Weibull分布產(chǎn)品的統(tǒng)計分析[D].上海:上海師范大學(xué),2004.

[4]金瑩,張立. 幾何分布定時截尾簡單恒加試驗的最優(yōu)設(shè)計[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,25(2):16-18.

[5]徐曉嶺,王蓉華,朱崇愷. 全樣本場合幾何分布產(chǎn)品步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗TFR模型下的統(tǒng)計分析[J].強(qiáng)度與環(huán)境,2005,32(4):46-52.

[責(zé)任編輯：李春紅]

TheBayesianAnalysisforGeometricDistributionBasedonTamperedFailureRateModelUnderStep-StressAcceleratedLifeTesting

JIN Ying

(School of Statistical Institute,Henan University of Economics and Law,Zhengzhou Henan 450002,China)

Geometric distribution is one of the most important discrete life distributions. The Bayesian estimation for geometric distribution parameter based on TFR Model are discussed,it was compared cthe estimation under restraint condition with the estimation of no restraint condition by using the examples.

geometric distribution; TFR model; bayesian estimation

2015-06-05

河南省教育廳人文社會科學(xué)基金項目(2014GH556)

金瑩(1980-),女,河南新鄉(xiāng)人,講師,碩士,研究方向為數(shù)理統(tǒng)計、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計． E-mail:jinying7788@yeah.net

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