左林昌，尹志宏

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的建模及性能分析

左林昌，尹志宏

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

基于現(xiàn)代控制理論、機(jī)械振動(dòng)與結(jié)構(gòu)振動(dòng)相關(guān)理論，以無(wú)阻尼三自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)為對(duì)象。以第一牛頓定律為理論基礎(chǔ)分析了物體的受力，從控制的角度繪制了系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，反應(yīng)了系統(tǒng)全部獨(dú)立變量的變化及其相互間的關(guān)系，揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部特征，并分析判斷了系統(tǒng)既能控又能觀，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì)。采用主振型法研究了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，計(jì)算了系統(tǒng)的固有頻率，主振型及位移響應(yīng)。

受力分析；能控能觀性；狀態(tài)空間；位移響應(yīng)

對(duì)于一個(gè)給定的機(jī)械系統(tǒng)，分析其性能及其響應(yīng)并進(jìn)行控制是控制理論研究和動(dòng)力學(xué)研究的重要內(nèi)容。控制理論的目標(biāo)是了解基本控制原理并以數(shù)學(xué)表達(dá)它們，使其最終能用于計(jì)算進(jìn)入系統(tǒng)的控制輸入，或用于設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)[1]。研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的方法有很多種，但這些方法都是單一的從控制理論或動(dòng)力學(xué)研究，很少有結(jié)合控制理論與動(dòng)力學(xué)進(jìn)行綜合研究的，因此存在對(duì)系統(tǒng)認(rèn)識(shí)的不全面性。

本文綜合應(yīng)用現(xiàn)代控制理論和動(dòng)力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，建立了系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，繪制了狀態(tài)空間模擬圖，并以狀態(tài)空間模型為基礎(chǔ)判定了系統(tǒng)的能控性及能觀性即系統(tǒng)的內(nèi)部特性。此外，還研究了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性即計(jì)算了系統(tǒng)的固有頻率及主振型，并求出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)[2-3]。

1 系統(tǒng)及其數(shù)學(xué)模型

1.1 研究對(duì)象

三自由度無(wú)阻尼質(zhì)量彈簧鏈狀系統(tǒng)如圖1所示。圖1中mi為質(zhì)量塊同時(shí)也為其質(zhì)量，ki為彈簧同時(shí)也為其彈性系數(shù)，fi為對(duì)應(yīng)mi質(zhì)量塊受到的力。很明顯，這是一個(gè)三自由度無(wú)阻尼質(zhì)量彈簧鏈狀系統(tǒng)。

圖1 機(jī)械運(yùn)動(dòng)模型圖

1.2 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步研究的首要前提是建立其數(shù)學(xué)模型。線性系統(tǒng)的描述可以用微分方程、傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間法等，其中微分方程和傳遞函數(shù)不能完全揭示系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此，本文選用狀態(tài)空間法。這種方法可以反映系統(tǒng)的所有獨(dú)立變量的變化，確定系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

狀態(tài)空間法從“輸入→狀態(tài)→輸出”的過(guò)程揭示了系統(tǒng)的本質(zhì)。對(duì)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)，根據(jù)物理或其他機(jī)理、規(guī)律寫(xiě)出微分方程，最后把寫(xiě)出的方程寫(xiě)成矩陣形式，即狀態(tài)空間描述：

(1)

式中，X是狀態(tài)矢量；Y是輸出矢量；u是輸入(控制)矢量；A是系統(tǒng)矩陣；B是輸入矩陣；C是輸出矩陣；D為直接傳遞矩陣。

對(duì)分離體m1、m2、m3分別進(jìn)行受力分析，受力圖如圖2 所示。

圖2 分離體受力圖

對(duì)每一個(gè)分離體應(yīng)用牛頓第一定律，可得運(yùn)動(dòng)方程：

代入狀態(tài)變量和f1、f2、f3，整理得：

將此方程組寫(xiě)成向量矩陣形式，即為系統(tǒng)狀態(tài)方程，得：

(2)

這里指定x1、x2、x3為輸出，則輸出方程為：

(3)

由以上可知，式2和式3是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。

1.3 系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖

狀態(tài)空間表達(dá)式和系統(tǒng)框圖都能清楚地說(shuō)明，它們既表征了輸入對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的因果關(guān)系，又反映了內(nèi)部狀態(tài)對(duì)于外部輸出的影響，所以狀態(tài)空間表達(dá)式是對(duì)系統(tǒng)的一種完全的描述。系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如圖3所示，由圖3可以看出內(nèi)部變量的變化及其相互關(guān)系。

圖3 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

2 系統(tǒng)的能控性和能觀性判定

2.1 系統(tǒng)能控性判定

用A陣與B陣判定系統(tǒng)的能控性，能控的充分必要條件是由A、B構(gòu)成的能控性矩陣M=(B,AB,A2B,…,An-1B)滿秩，即rankM=n，式中，n為系統(tǒng)的階次，否則系統(tǒng)為不能控的。系統(tǒng)的能控性矩陣的秩為：

即該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。此處需要說(shuō)明的是，在判定時(shí)，不一定要算到n階的矩陣An-1B，只需算出滿秩就可以得出結(jié)論，本例中B不滿秩，而(BAB)是滿秩的。

2.2 系統(tǒng)能觀性判定

rankNT=rank(CTATCT)=

即該系統(tǒng)的能觀性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能觀測(cè)的。

3 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析

所謂系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，指的是系統(tǒng)本身的固有頻率、阻尼特性以及對(duì)應(yīng)各階固有頻率的振型和系統(tǒng)在外部載荷下的響應(yīng)[4]。系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性研究主要研究固有頻率和動(dòng)態(tài)響應(yīng)。計(jì)算固有頻率主要是為了避免共振的發(fā)生，動(dòng)態(tài)響應(yīng)則是由外部激勵(lì)引起的系統(tǒng)響應(yīng)。

3.1 固有頻率和主振型

對(duì)圖1的系統(tǒng)振動(dòng)模型，取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，用三質(zhì)量塊的位移描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。將運(yùn)動(dòng)微分方程用矩陣形式表示為：

(4)

物體的固有頻率是物體的一種物理特征，由它的結(jié)構(gòu)、大小和形狀等因素決定。這種物理特征不以其是否處于振動(dòng)狀態(tài)而轉(zhuǎn)移。

式4所示系統(tǒng)的特征矩陣為：

B=K-p2M=

由頻率方程|K-p2M|=0得到p2的一元三次方程，它的根即為系統(tǒng)的特征值，即系統(tǒng)的固有頻率。應(yīng)用盛金公式[5]或者應(yīng)用郭志勇[6]的方法，可以求得系統(tǒng)的3個(gè)固有頻率，它們由系統(tǒng)本身的物理參數(shù)決定。將求得的固有頻率代入(K-p2M)A=0，雖然不能求得A的具體值，但是可以求得3個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)的振幅比值，而振幅比確定了系統(tǒng)的振型。

3.2 系統(tǒng)的位移響應(yīng)分析

(5)

這是以正則坐標(biāo)描述的3個(gè)獨(dú)立的單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程。

返回原物理坐標(biāo)，則有：

得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

4 算例驗(yàn)證

即：

并求得：

將數(shù)據(jù)代入式5，得正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)為：

利用x=ANxN將正則坐標(biāo)還原到原坐標(biāo)，得系統(tǒng)響應(yīng)為：

5 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于由質(zhì)量塊、彈簧組成的機(jī)械系統(tǒng)，可用現(xiàn)代控制的狀態(tài)空間法進(jìn)行系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間相互關(guān)系的分析，可用機(jī)械振動(dòng)理論的主振型法研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。運(yùn)用上述2種方法可以全面的對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析[7]，為系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供有用的方法。

[1] 劉豹,唐萬(wàn)生. 現(xiàn)代控制理論[M]. 3版. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

[2] 曲維德,唐恒齡. 機(jī)械振動(dòng)手冊(cè)[M].2版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005.

[3] 賈啟芬,劉習(xí)軍. 機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng)[M]. 天津:天津大學(xué)出版社,2007.

[4] 韓致信,李鈁,楊莉玲，等. 鉆柱縱向自由振動(dòng)研究[J].甘肅工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2002,28(2):50-53.

[5] 范盛金. 一元三次方程的新求根公式與新判別法[J]. 西南師范學(xué)院學(xué)報(bào),1989,2(2):91-98.

[6] 郭志勇. 計(jì)算n階固有頻率的一個(gè)簡(jiǎn)便公式[J]. 西安科技學(xué)院學(xué)報(bào),2003,23(3):354-356.

[7] 何成浩. 有阻尼雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的理論建模及性能分析[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2013,32(8):1144-1148.

責(zé)任編輯彭光宇

TheModelingandPerformanceAnalysisoftheThreeDegreesSpring-massSystem

ZUO Linchang，YIN Zhihong

(Faculty of Mechanical and Electrical Engineering，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China)

Use modern control theory, machine dynamics and structural vibration theory to study a mass-spring system of three degrees. Use Newton's first law of the theoretical to analyze the object by force, drawn the simulation system chart from the control perspective reflecting the independent variables and their inter reveals the internal relationship between the change in the system and reveal the characteristics of the system. We also analyze and prove that the system can not only be controlled but also be observed, then understand the inherent nature of the system further. To the dynamic characteristic of the system, we use the main formation method to calculate the natural frequency, the main formation and displacement response of the system.

stress analysis，controllability and observability，state space，displacement response

TH 13

:A

左林昌(1989-)，男，碩士研究生，主要從事機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)理論與方法等方面的研究。

2015-02-02