(西華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，四川 成都 610039)

·基礎(chǔ)學(xué)科·

從相似結(jié)構(gòu)到相似構(gòu)造法的微分方程邊值問(wèn)題求解方法綜述

李 順 初

(西華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，四川 成都 610039)

論述從微分方程的邊值問(wèn)題的解的相似結(jié)構(gòu)到求解微分方程的相似構(gòu)造法的認(rèn)識(shí)和形成過(guò)程，綜述其研究現(xiàn)狀，分析了研究的脈絡(luò)，總結(jié)了當(dāng)前研究的不足，指出了未來(lái)研究的方向。

微分方程； 邊值問(wèn)題； 相似結(jié)構(gòu)；相似構(gòu)造法

研究事物的相似特性，是人們認(rèn)識(shí)世界的最重要的方法之一。本世紀(jì)之初興起的微分方程解的相似結(jié)構(gòu)的研究正處于生機(jī)勃勃的發(fā)展之時(shí)，尤其是2010年發(fā)表的文獻(xiàn)[1]分析了解的相似思想的形成及研究的意義，剖析了解的相似結(jié)構(gòu)與定解方程和邊值條件間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)了一種利用相似結(jié)構(gòu)式和相似核函數(shù)構(gòu)造定解問(wèn)題的解的方法——相似構(gòu)造法，列舉了一些在油氣藏滲流問(wèn)題中的應(yīng)用實(shí)例，并對(duì)微分方程解的相似結(jié)構(gòu)理論的研究與應(yīng)用前景進(jìn)行了展望；在其后的短短的4年間,相關(guān)的研究論文達(dá)60余篇，逐漸建立了微分方程解的相似結(jié)構(gòu)理論的基礎(chǔ)，且其應(yīng)用范圍也不斷地在擴(kuò)展，使理論與應(yīng)用交相輝映，生機(jī)昂然。

本文通過(guò)對(duì)10余年來(lái)的相關(guān)的研究成果進(jìn)行疏理，依據(jù)其理論基礎(chǔ)進(jìn)行分類和綜述，找尋理論研究和應(yīng)用的脈絡(luò)。

1 微分方程解的相似結(jié)構(gòu)與相似構(gòu)造法

在文獻(xiàn)[1]之前的相關(guān)研究中，本質(zhì)上探討的全是微分方程的解的相似結(jié)構(gòu)，其硏究的特點(diǎn)是：

1)針對(duì)二階齊次線性常微分方程的邊值問(wèn)題，研究其左(內(nèi))邊界條件為非齊次的情形。

2)先對(duì)右(外)無(wú)窮大、第1類齊次、第2類齊次邊界條件分別進(jìn)行求解，再分析其解式，找到對(duì)應(yīng)的相似核函數(shù)和邊值問(wèn)題的解的結(jié)構(gòu)式(一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式, 即解固有的相似結(jié)構(gòu)式)。

3)分析左(內(nèi))邊界條件中的參數(shù)對(duì)解的影響，由于可在同一坐標(biāo)系下很方便地繪制不同右(外)邊界條件的解曲線，為分析解的特性帶來(lái)了全新的感知。

4)在應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先將其數(shù)學(xué)模型無(wú)量綱化；若為偏微分方程的初邊值問(wèn)題，則施行相應(yīng)的積分變換將其轉(zhuǎn)化為常微分方程的邊值問(wèn)題，在獲得解的相似結(jié)構(gòu)后，經(jīng)逆積分變換即可編程制作相應(yīng)的分析圖版。

在文獻(xiàn)[1]之后的研究進(jìn)入了一個(gè)全新的階段，其標(biāo)志性的事件就是求解微分方程的相似構(gòu)造法的提出，其特點(diǎn)為：

1)求解微分方程的相似構(gòu)造法的思想來(lái)源于對(duì)微分方程的解的相似結(jié)構(gòu)的深入研究；

2)直接針對(duì)第三類齊次(或非齊次)右(外)邊界條件進(jìn)行探討，找尋邊值問(wèn)題的解的相似結(jié)構(gòu)式和對(duì)應(yīng)右(外)邊界條件的相似核函數(shù)；

3)根據(jù)解的相似結(jié)構(gòu)式設(shè)計(jì)出求解微分方程的邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法；

4)相似構(gòu)造法給求解微分方程的邊值問(wèn)題帶來(lái)了全新的革命性創(chuàng)造，它避免了繁雜和冗長(zhǎng)的理論推導(dǎo)過(guò)程，帶來(lái)的卻是優(yōu)美的解式和清晰明了、簡(jiǎn)潔而易掌握的構(gòu)造步驟，尤其是對(duì)實(shí)際問(wèn)題中遇到的特定的方程來(lái)說(shuō)，該方法還是一個(gè)代數(shù)的方法。

鑒于二者的上述緊密關(guān)系，也為方便了解相關(guān)研究的現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)，下面分常規(guī)型、復(fù)合型和耦合型及組合型微分方程的邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法的理論基礎(chǔ)及其在石油工程中的應(yīng)用進(jìn)行評(píng)述和展望。

2 常規(guī)型微分方程的邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法

文獻(xiàn)[2]研究了如下常規(guī)型的二階線性齊次微分方程的邊值問(wèn)題的解的存在性與唯一性

(1)

φ0,0(x1,x2)=y1(x1)y2(x2)-y1(x2)y2(x1)。

其中：

φ0,0(x,b)=y1(x)y2(b)-y1(b)y2(x)；

此式即為邊值問(wèn)題(1)的解。

這一過(guò)程，還可從下面的流程圖(見(jiàn)圖1)中看得更加清楚。

圖1 常規(guī)型微分方程的邊值問(wèn)題的解的相似構(gòu)造法流程圖

實(shí)際上，只需知道邊值問(wèn)題(1)定解方程的一個(gè)非零解y1(x)，再利用Liouville公式構(gòu)造另一個(gè)與之線性無(wú)關(guān)的解

也可完成上述相似構(gòu)造法的求解過(guò)程(見(jiàn)文獻(xiàn)[6])。

進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[7]還研究了邊值問(wèn)題(1)中右(外)邊界條件為非齊次的情況，將相似構(gòu)造法進(jìn)行了有益的推廣。

由于科學(xué)與工程中常常遇到的是一些特殊方程，它們的解往往是特殊函數(shù)，而根據(jù)相應(yīng)的特殊函數(shù)的微分遞推關(guān)系式，可以消除上述第2步中的求導(dǎo)運(yùn)算，從而使此類相似構(gòu)造法轉(zhuǎn)化成為一種代數(shù)方法，這在實(shí)際應(yīng)用中具有極其現(xiàn)實(shí)的意義。已有研究的特殊方程有Bessel方程[8-9]、Euler超幾何方程[10-12]、Airy方程[13]、Thomson方程[14]、第一種Weber方程[15]。

在具體應(yīng)用方面，廣泛的應(yīng)用有待不斷的擴(kuò)展，現(xiàn)時(shí)還局限于求解和分析石油工程中的油氣藏滲流問(wèn)題這一領(lǐng)域，可用常規(guī)型微分方程邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法去進(jìn)行研究的油氣藏滲流問(wèn)題有：

1)均質(zhì)油藏中的滲流問(wèn)題[16-17]，分形均質(zhì)油藏中的滲流問(wèn)題[3,18-25]，考慮二次壓力梯度的非線性均質(zhì)油藏中的滲流問(wèn)題[26-31]；

2)雙孔油藏中的擬穩(wěn)定滲流問(wèn)題[32]，分形雙孔油藏中的擬穩(wěn)定滲流問(wèn)題[9,33-34]，考慮二次壓力梯度的非線性雙孔油藏中的擬穩(wěn)定滲流問(wèn)題[35-37]；

3)雙孔油藏中的不穩(wěn)定滲流問(wèn)題(球狀基情形,見(jiàn)文獻(xiàn)[38-41])，分形雙孔油藏中的不穩(wěn)定滲流問(wèn)題(待硏)，考慮二次壓力梯度的非線性雙孔油藏中的不穩(wěn)定滲流問(wèn)題(待硏)；

4)多層合采油藏中的滲流問(wèn)題[42-46]，分形多層合采油藏中的滲流問(wèn)題[46-47]，考慮二次壓力梯度的非線性多層合采油藏中的滲流問(wèn)題[48-49]。

值得注意的是：1)這些研究還僅僅局限于平面徑向流和球面向心流的情形(見(jiàn)圖2)；2)在考慮二次壓力梯度的非線性滲流問(wèn)題時(shí)，需要事先作一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換，以消除定解方程中的非線性項(xiàng)；3)利用Laplace變換將其滲流模型轉(zhuǎn)化為邊值問(wèn)題(1)，而后再用相似構(gòu)造法，而利用其他的積分變換法和分離變換法等方法轉(zhuǎn)化為邊值問(wèn)題(1)的情形，還有待探討。

相似構(gòu)造法在求解油氣藏滲流模型中的地位是十分重要的(見(jiàn)圖3)。

圖2 已完成相似構(gòu)造法求解的油氣藏滲流模型

圖3 相似構(gòu)造法在求解油氣藏滲流模型中的地位

3 復(fù)合型微分方程的邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法

文獻(xiàn)[50]研究了如下復(fù)合型的二階線性齊次微分方程的邊值問(wèn)題的解的相似構(gòu)造法：

(2)

其中：a,b,c,D,E,F,G,H,α,β均為已知的實(shí)常數(shù),且D≠0,G2+H2≠0,a

第1步利用邊值問(wèn)題(2)中的左區(qū)定解方程

第2步利用邊值問(wèn)題(2)中的右區(qū)定解方程

文獻(xiàn)[51]將邊值問(wèn)題(2)中的右(外)邊值條件進(jìn)行推廣到了非齊次的情況。

對(duì)于一些特殊方程，此類相似構(gòu)造法也可轉(zhuǎn)化成為一種代數(shù)方法。已有研究的復(fù)合型的特殊方程有Bessel方程[51]、Hermit方程[52]、第一種Weber方程[53]。

在應(yīng)用方面，現(xiàn)時(shí)也還是局限于求解和分析石油工程中的復(fù)合油氣藏滲流問(wèn)題領(lǐng)域，復(fù)合型微分方程邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法同樣是十分高效的工具，已經(jīng)獲得研究成果的有：

1)復(fù)合油藏中的滲流問(wèn)題[54-59]；

2)分形復(fù)合油藏中的滲流問(wèn)題[60-61]；

3)考慮二次壓力梯度的非線性(分形)復(fù)合油藏中的滲流問(wèn)題[62-64]。

有關(guān)復(fù)合型微分方程的邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法的理論基礎(chǔ)及應(yīng)用研究還遠(yuǎn)未完善，同樣也存在常規(guī)型微分方程在應(yīng)用中需要注意的相同問(wèn)題。

4 耦合型及組合型微分方程的邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法

關(guān)于一般的耦合型微分方程的邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法的理論基礎(chǔ)還未建立起來(lái)，但耦合型微分方程的邊值問(wèn)題在現(xiàn)代科學(xué)和工程中卻有十分廣泛的應(yīng)用，如在石油工程中的雙滲透油氣藏中的分析中就是迫切需要解決的問(wèn)題。在這方面，已有一些很好的成果：文獻(xiàn)[65]基于解的相似結(jié)構(gòu)，探討了雙滲透油藏問(wèn)題；文獻(xiàn)[66-67]較為系統(tǒng)地硏究了雙滲透油藏滲流模型解的相似構(gòu)造法。這些結(jié)果為進(jìn)一步的研究提供了很好的實(shí)例。

組合型微分方程的邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法的研究正在開(kāi)展中，已有的成果并不多(見(jiàn)文獻(xiàn)[68-70])，根據(jù)工程(尤其是石油工程)中的需要，未來(lái)研究的方向是可以預(yù)見(jiàn)的，如表1所示(打“√”者為已研究項(xiàng))。

表1 基礎(chǔ)理論研究及具體應(yīng)用的未來(lái)研究方向

由此可見(jiàn)，等待我們?nèi)ヌ接懙臇|西可謂太多太多，若是再將其相關(guān)內(nèi)容提升到數(shù)學(xué)層面和應(yīng)用于其他學(xué)科，就更需不斷努力了。

[1]李順初. 微分方程解的相似結(jié)構(gòu)的初探與展望[J]. 西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2010, 29(2): 223-226，238.

[2]李順初,吳小慶.二階線性齊次方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的幾個(gè)重要性質(zhì)[J].西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版 2013,32(1): 23-26.

[3]Sheng Cui-Cui, Zhao Jin-Zhou, Li Yong-Ming, et al. Similar Construction Method of Solution for Solving the Mathematical Model of Fractal Reservoir with Spherical Flow[J]. Journal of Applied Mathematics，vol, 2013，Article ID 219218, 8 pages.

[4]LI Hong-E, DONG Xiao-Xu, LI Shun-Chu, et al. A New Method and Applications of the Boundary Value Problem of Differential Equation[J]. Advanced Materials Research, 2014, 937: 695-699.

[5]BAI Li-xia, LI Shun-chu, GUI Dong-dong, et al. Similar Structure Algorithm for Solving Boundary Value Problem of Differential Equations[J].Applied Mechanics and Materials, 2014,574: 665-671.

[6]李順初,廖智健. 由任一非零特解構(gòu)造復(fù)合微分方程邊值問(wèn)題的解[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,49(6): 1209-1213.

[7]許東旭. 二階齊次線性微分方程邊值問(wèn)題解的構(gòu)造及其應(yīng)用[D].成都:西華大學(xué),2013.

[8]陳宗榮,李順初. 求解Bessel方程的邊值問(wèn)題的相似結(jié)構(gòu)法[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,34(6): 850-853.

[9]Xu Li, Liu Xiangjun, Liang Lixi, et al. The Similar Structure Method for Solving the Model of Fractal Dual-Porosity Reservoir [J]. Mathematical Problems in Engineering, Volume 2013, Article ID 954106, 9 pages.

[10]許東旭,李順初,許麗. 歐拉超幾何微分方程的一類邊值問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu) [J]. 西華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,31(2): 91-93.

[11]暴喜濤,李順初,廖智健. Euler超幾何微分方程邊值問(wèn)題解的相似構(gòu)造法[J].西南科技大學(xué)學(xué)報(bào),2012,27(4):101-105.

[12]肖緒霞,李順初. 歐拉超幾何方程邊值問(wèn)題的解的相似結(jié)構(gòu)[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)漢文版,2012,41(6):597-600(-603)

[13]王芙蓉,李順初,許東旭. Airy方程的一類邊值問(wèn)題的解的相似構(gòu)造法[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,33(1):79-85.

[14]范聰銀,李順初,許東旭. 一類Thomson方程邊值問(wèn)題解的相似構(gòu)造法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展,2012,1(2): 41-48.

[15]黃榮軍,李順初,許東旭. 求解第一種Weber方程邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法[J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,31(11):1-5，15.

[16]Li Shunchu , Li Wei , Li Xiaoping , et al. The Construction Method for Solving Radial Flow Problem through the Homogeneous Reservoir [J]. Applied Mathematics, 2012, 3(6): 517-522.

[17]李全勇,李順初,李偉,等. 基于解的相似結(jié)構(gòu)的均質(zhì)油藏滲流模型[J].天然氣與石油,2011,29(2): 40-42.

[18]郭麗潔,李順初,盛翠翠. 分形油藏徑向滲流問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 斷塊油氣田,2012,19(1): 114-116.

[19]郭麗潔. 均質(zhì)分形油藏非線性滲流問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)[D].成都:西華大學(xué),2011.

[20]盛翠翠,李順初,李偉,等. 分形球向滲流模型及其相似結(jié)構(gòu)解[J]. 鉆采工藝,2011,34(4):35-38.

[21]盛翠翠,李順初,暴喜濤. 分形球向流油氣藏有效井徑模型及其解[J]. 西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,30(5): 29-31，37.

[22]盛翠翠,李順初,許東旭. 分形球向流油氣藏模型及其解[J]. 天然氣與石油,2011,29(6):55-58.

[23]盛翠翠,李順初,郭麗潔. 分形均質(zhì)球向流油藏的解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2011,37(6): 136-139.

[24]盛翠翠,李順初,李全勇,等. 分形球向流有效井徑模型及其解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012,17(3): 37-41.

[25]盛翠翠.分形均質(zhì)儲(chǔ)層球向滲流方程的解的相似結(jié)構(gòu)研究[D].成都:西華大學(xué),2012.

[26]暴喜濤,李順初,肖緒霞,等. 均質(zhì)油藏非線性滲流模型解的相似構(gòu)造法[J].天然氣與石油,2012,30(65):47-51.

[27]WANG Yong, BAO Xi-tao, LI Shun-chu. Similar Constructive Method of Solution for Percolation Model through Homogeneous Reservoir Considering the Quadratic Pressure Gradient[J]. JCIT: Journal of Convergence Information Technology, 2013, 8(6): 794-801.

[28]WANG Yong, BAO Xi-tao, LI Shun-chu. Similar Constructive Method for Solving a Nonlinearly Spherical Percolation Model[J]. TELKOMNIKA Indonesian Journal of Electrical Engineering, 2013, 11(3):1393-1402.

[29]許麗,李順初,盛翠翠. 均質(zhì)油藏非線性球向滲流問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,28(4):32-34.

[30]許麗,李順初,王俊超.考慮二次梯度影響的球向滲流問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,28(6): 585-589.

[31]郭麗潔,李順初,盛翠翠. 分形油藏非線性不穩(wěn)定滲流問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 化學(xué)工程與裝備,2011(6): 8-11.

[32]徐昌學(xué),李順初,朱維兵,等. 雙孔介質(zhì)油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 鉆采工藝,2006,29(4):28-30.

[33]李順初,張建軍.分形雙孔介質(zhì)油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 2006,25(1):40-43.

[34]許麗. 基于相似結(jié)構(gòu)的分形雙孔油藏球向滲流模型分析[D].成都:西華大學(xué),2012.

[35]李全勇,李順初,李偉,等.基于相似結(jié)構(gòu)的雙孔油藏非線性滲流模型研究(英)[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,30(1):123-130.

[36]暴喜濤.雙孔油藏球向非線性滲流模型的相似構(gòu)造法的研究[D].成都:西華大學(xué),2013.

[37]Bao Xi-tao, Li Shun-chu, Gui Dong-dong. Similar Constructive Method for Solving the Nonlinear Spherical Percolation Model in Dual-porosity Media [J]. Materials Engineering for Advanced Technologies (ICMEAT 2012), Advanced Materials Research, 2013, 631/632: 265-271.

[38]王芙蓉.球狀基雙孔介質(zhì)非穩(wěn)態(tài)滲流模型的解的相似構(gòu)造法的研究[D].成都:西華大學(xué),2014.

[39]Li Wanpeng , Wang Furong , Li Shunchu，et al. The Similar Structure of Solution in the Spherical Shaped Matrix of Dual-Porosity Reservoir Seepage Model [J]. Applied Mechanics and Materials, 2013, 339: 737-741.

[40]Wang Yong, Wang Furong, Li Shunchu,et al. Similar Structure of Solution for Effective Wellbore Radius Model in the Spherical-Shaped Matrix of Dual-porosity Reservoir[J]. Advanced Materials Research, 2014, 868: 686-691.

[41]Wang Fu-Rong , Li Shun-Chu , Zheng Peng-She , et al. Similar Constructive Method for Solving the Solution of Unstable Seepage Flow Model in the Spherical Shaped Matrix of Dual-porosity Reservoir//[C]. ICFEEE 2013, Sung, Kao & Chen(eds). Environment, Energy and Sustainable Development. London:Taylor & Francis Group, 2014:725-729.

[42]李順初,鄭鵬社,張宇飛.合采油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2009,24(2):234-238.

[43]Li Wei, Huang Rongjun , Li Shunchu ,et al.Similar Constructive Method for Solving the Model of the Seepage in Multilayered Reservoir [J]. Advanced Material Research, 2013, 739: 298-302.

[44]李科,李順初,董亞南.基于相似結(jié)構(gòu)的合采油藏試井分析模型的求解[J].油氣井測(cè)試,2013,22(2):7-9.

[45]Huang Rong-Jun , Li Shun-Chu , Pu Jun , et al. A New Method for Solving the Model of the Seepage in Multilayered Reservoir//[C]. ICFEEE 2013, Sung, Kao & Chen(eds). Environment, Energy and Sustainable Development. London:Taylor & Francis Group, 2014:305-308.

[46]黃榮軍.多層油藏滲流模型解的相似構(gòu)造法研究[D].成都:西華大學(xué),2014.

[47]朱維兵,李順初,徐昌學(xué). 分形合采油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 鉆采工藝,2008,31(3):67-69，72.

[48]李偉,李曉平,李順初, 等. 分形合采油藏非線性滲流模型解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 大慶石油地質(zhì)與開(kāi)發(fā),2012,31(6):79-83.

[49]LI Wei, LI Xiao-ping, LI Shun-chu, et al. The Similar Structure of Solutions in Fractal Multilayer Reservoir Including a Quadratic Gradient Term [J]. Journal of Hydrodynamics, 2012, 24(3): 332-338.

[50]李順初. 復(fù)合型微分方程的邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造解法[J].西華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2013,32(4): 27-31.

[51]石俊華.復(fù)合型二階微分方程邊值問(wèn)題解的構(gòu)造法及應(yīng)用[D].成都:西華大學(xué),2014.

[52]Shi Jun-hua , Li Shun-chu , Wang Xiao-lin ,et al. A New Method for Solving Boundary Value Problem of Composite Hermit Equations [J]. Advanced Materials Research, 2013, 753/755: 2851-2854.

[53]Dong Xiaoxu, Li Shunchu, Gui Dongdong, et al. Similar Constructing Method for Solving the Boundary Value Problem of the Composite First Weber System[J]. American Journal of Applied Mathematics and Statistics, 2013, 1(4): 76-82.

[54]鄭鵬社, 李順初, 徐文昭. 基于解的相似結(jié)構(gòu)的復(fù)合油藏試井分析方法[J]. 鉆采工藝, 2007,30(3):49-50，62.

[55]李順初,鄭鵬社,張宇飛.復(fù)合油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2008,38(3):23-28.

[56]李全勇,李順初,李偉,等. 基于解相似結(jié)構(gòu)的復(fù)合油藏滲流模型研究[J]. 斷塊油氣田,2011,18(5): 623-625，633.

[57]王俊超,李順初,許麗.基于解的相似結(jié)構(gòu)的復(fù)合油藏球向滲流模型[J].桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012,32(4):624-627.

[58]李順初,王俊超,許麗. 復(fù)合油藏球向滲流問(wèn)題的解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2014,44(3):122-127.

[59]Zheng Pengshe, Li Shunchu, Leng Lihui ,et al. Effective Wellhole Radius Model for Composite Reservoir with Spherical Flow and the Similar Structure of Its Solution //[C]. Zhen J L, Shang W C. INTERNATIONAL ACADEMIC CONFERENCE ON THE ENVIRONMENT, ENERGY AND POWER ENGINEERING(EEPE 2014). London :DEStech Publications, Inc, 2014: 484-490.

[60]徐昌學(xué),李順初,朱維兵. 分形復(fù)合油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)[J]. 鉆采工藝,2006,29(5):39-42.

[61]王俊超.解的相似結(jié)構(gòu)理論在分形復(fù)合油藏滲流問(wèn)題中的應(yīng)用[D].成都:西華大學(xué),2012.

[62]肖緒霞.求解非線性球向滲流復(fù)合油藏模型的相似構(gòu)造法[D].成都:西華大學(xué),2013.

[63]Zheng Peng She, Li Shun Chu, Leng Li Hui,et al. Similar Structure of Solution for the Model of Nonlinear Spherical Seepage in Composite Reservoir[J]. Applied Mechanics and Materials, 2014,457/458: 389-394.

[64]遲颕,李順初, 李全勇. 基于相似結(jié)構(gòu)的分形復(fù)合油藏非線性滲流模型解[J]. 鉆采工藝,2011,34(2):46-48,108.

[65]李全勇,李順初,李偉,等. 基于解的相似結(jié)構(gòu)的雙滲油藏問(wèn)題[J]. 西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2011,30(2): 64-66.

[66]范聰銀.雙滲油藏滲流模型解的相似構(gòu)造法[D].成都:西華大學(xué),2014.

[67]FAN Cong-yin , LI Shun-chu , GUI Dong-dong , et al. Similar Constructing Method for Solving the Model of the Plane Radial Flow of Dual permeability Reservoir [J]. Applied Mechanics and Materials, 2013, 419:43-50.

[68]李全勇,李順初, 李科,等. 基于相似結(jié)構(gòu)的雙孔復(fù)合油藏的滲流模型研究[J]. 鉆采工藝,2012,35(2): 54-56.

[69]鄭鵬社,李順初,朱維兵. 復(fù)合雙孔介質(zhì)油藏中壓力分布的相似結(jié)構(gòu)[J]. 鉆采工藝,2008,31(4):80-81，72.

[70]李全勇,李順初,李偉,等.基于相似結(jié)構(gòu)的雙孔合采油藏模型和求解[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2013,29(1): 56-60.

(編校：葉超)

DevelopmentofSolutionApproachestoDifferentialEquationsFromtheSimilarStructureofSolutionstotheSimilarityConstructionMethod

LI Shun-chu

(InstituteofAppliedMathematicsofXihuaUniversity,Chengdu610039China)

This paper describes process of cognition and formation from similar structure of solutions to boundary - initial value problem to similarity construction method for differential equation. The research status is reviewed. And context of the research is analyzed. Summarizes the short comings of the present study, poiuts out the future research direction.

differential equation; boundary-values problems; similar structure; similarity construction method

2014-07-21

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(12ZA164)

李順初(1963—)，男，教授，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠碳捌鋺?yīng)用。

O29；O357.3

：A

：1673-159X(2015)02-0022-8

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.02.005