陳思寶陳道然 羅 斌

(安徽大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 合肥 230601)

(安徽省工業(yè)圖像處理與分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 合肥 230039)

基于L1-范數(shù)的二維線性判別分析

陳思寶*陳道然 羅 斌

(安徽大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 合肥 230601)

(安徽省工業(yè)圖像處理與分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 合肥 230039)

為了避免圖像數(shù)據(jù)向量化后的維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題，以及增強(qiáng)對(duì)野值(outliers)及噪聲的魯棒性，該文提出一種基于L1-范數(shù)的2維線性判別分析(L1-norm-based Two-Dimensional Linear Discriminant Analysis, 2DLDA-L1)降維方法。它充分利用L1-范數(shù)對(duì)野值及噪聲的強(qiáng)魯棒性，并且直接在圖像矩陣上進(jìn)行投影降維。該文還提出一種快速迭代優(yōu)化算法，并給出了其單調(diào)收斂到局部最優(yōu)的證明。在多個(gè)圖像數(shù)據(jù)庫(kù)上的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的魯棒性與高效性。

圖像處理；L1-范數(shù)；2維線性判別分析；線性投影；降維

1 引言

在模式識(shí)別和圖像處理領(lǐng)域，由于所處理的圖像維數(shù)特別高，而訓(xùn)練樣本數(shù)量又非常有限，經(jīng)常導(dǎo)致“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題[1]。此外，在高維空間中存在著測(cè)度的“集中現(xiàn)象”，為了克服這些問(wèn)題并且使得后續(xù)的數(shù)據(jù)表示或分類更加穩(wěn)健，對(duì)高維數(shù)據(jù)進(jìn)行降維就成了一個(gè)非常重要的步驟。

眾所周知，最為經(jīng)典的線性投影降維方法通常將高維訓(xùn)練數(shù)據(jù)用向量形式進(jìn)行表示，再進(jìn)行線性投影降維和特征提取，其中基于向量的1維線性投影降維方法主要有主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)[2,3]，線性判別分析(Fisher Linear Discriminant Analysis, FisherLDA)[1,2], PCA+LDA[4]等。然而，1維方法通常將圖像數(shù)據(jù)拉直成向量形式，其維數(shù)通常非常高，但訓(xùn)練數(shù)據(jù)又非常有限，這通常導(dǎo)致矩陣計(jì)算的不穩(wěn)定，出現(xiàn)矩陣奇異問(wèn)題。針對(duì)1維方法所遇到的問(wèn)題，許多學(xué)者又提出了直接基于圖像矩陣的線性投影降維方法，即2維線性投影降維方法。經(jīng)典的2維方法有2維主成分分析(Two-Dimensional PCA, 2DPCA)[5,6]和2維線性判別分析(Two-Dimensional LDA, 2DLDA)[7?9]。然而，這些1維的和2維的線性投影降維方法都基于L2-范數(shù)來(lái)計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中存在野值或噪聲時(shí)，計(jì)算所得到的投影方向會(huì)嚴(yán)重受到這些野值或噪聲的影響。

最近，一些文獻(xiàn)中出現(xiàn)了基于L1-范數(shù)[10?16]的線性投影降維方法，諸如：基于L1-范數(shù)的PCA (L1-norm based PCA, PCA-L1)[12]、基于旋轉(zhuǎn)不變L1-范數(shù)的LDA(Rotational invariant L1-norm based LDA, LDA-R1)[13]、基于L1-范數(shù)的LDA(L1-norm based LDA, LDA-L1)[14,15]及基于L1-范數(shù)的2DPCA(L1-norm based 2DPCA, 2DPCAL1)[16]。這些基于L1-范數(shù)的線性投影降維方法均對(duì)野值及噪聲表現(xiàn)出了很強(qiáng)的魯棒性。但是，PCA-L1, LDA-R1和LDA-L1都把圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行了向量化預(yù)處理，并沒(méi)有充分利用圖像數(shù)據(jù)固有的矩陣形式，破壞了圖像數(shù)據(jù)原有的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系。2DPCA-L1著重利用圖像數(shù)據(jù)矩陣來(lái)提取低維特征，但它沒(méi)有充分利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的類別信息以提高投影方向的判別性能。

本文提出的2DLDA-L1線性投影降維方法不僅充分利用L1-范數(shù)對(duì)野值及噪聲的強(qiáng)魯棒性，而且直接對(duì)圖像數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行線性投影，減少了圖像數(shù)據(jù)空間的信息丟失，并且避免了圖像向量化后的高維矩陣的龐雜計(jì)算及解的不穩(wěn)定性。相比于以前的方法對(duì)野值及噪聲具有更強(qiáng)的魯棒性，并且在分類識(shí)別的性能上取得了顯著提升。

本文其余部分的結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)先提出2DLDA-L1最優(yōu)投影方向的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，然后給出一種優(yōu)化迭代方法，最后給出多重投影方向的完整2DLDA-L1算法并分析算法的復(fù)雜度；第3節(jié)在多個(gè)圖像數(shù)據(jù)庫(kù)上實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提出的2DLDA-L1算法的判別性能及魯棒性能，并給出相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析；第4節(jié)為結(jié)束語(yǔ)。

2 基于L1-范數(shù)的2維線性判別分析(2DLDA-L1)

2.1 2DLDA-L1最優(yōu)投影方向

采用w(t+1)=w(t)+γg(w(t ))來(lái)更新2DLDAL1最優(yōu)投影向量w(t)，其中

γ＞0為學(xué)習(xí)步長(zhǎng)，g(w(t))的獲得見(jiàn)文獻(xiàn)[14]。循環(huán)交替計(jì)算式(2)的符號(hào)函數(shù)及式(3)的梯度公式來(lái)求解2DLDA-L1最優(yōu)投影向量w。在迭代過(guò)程中，若目標(biāo)函數(shù)J(w(t+1))停止增長(zhǎng)，則終止循環(huán)。否則，更新式(2)并繼續(xù)循環(huán)，直到找到滿足條件的投影向量w。

可以證明：在每次循環(huán)計(jì)算式(2)與式(3)后，式(1)中的目標(biāo)函數(shù)J(w(t+1))都保持非降。另外，J函數(shù)存在上界(當(dāng)目標(biāo)函數(shù)J 在分母約束恒為 1 時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[17，18]中的定理，可知其上界為圖像類間離散度矩陣的最大特征值)，因此，循環(huán)計(jì)算式(2)與式(3)的迭代過(guò)程逐漸收斂。然而，通過(guò)迭代算法所求的投影向量w可使目標(biāo)函數(shù)J達(dá)到局部最優(yōu)，但并不能保證J達(dá)到全局最優(yōu)。由于篇幅有限，此處略去詳細(xì)證明，具體證明方法可以參考文獻(xiàn)[14]。

2.2 2DLDA-L1多個(gè)投影方向擴(kuò)展

前面所述的迭代優(yōu)化求解方法僅計(jì)算2DLDAL1的一個(gè)最優(yōu)投影方向，這不利于實(shí)際應(yīng)用，故需要擴(kuò)展到求取多個(gè)投影方向。設(shè)已得到第1個(gè)最優(yōu)投影軸為w1，我們?cè)趙1的正交補(bǔ)空間中尋求第2個(gè)最優(yōu)投影軸w2，即在w1的正交補(bǔ)空間中最大化式(1)。w1的正交補(bǔ)空間為Is?w1，其中Is表示一個(gè)s維的單位矩陣。故存在一個(gè)向量b1∈Rs，使w2=(Is?w1)b1。代入w2到式(1)中，得

同樣，由2.1節(jié)的迭代算法可解出b1。再根據(jù)公式w2=(Is?w1)b1，便可得到第2個(gè)投影軸w2，并歸一化

設(shè)已獲得l個(gè)最優(yōu)投影軸w1w2…wl，則第l+1個(gè)最優(yōu)投影軸wl+1可在正交向量w1w2…wl的正交補(bǔ)空間中尋求，其中w1w2…wl的正交補(bǔ)空間為

Is?Wl，投影矩陣Wl=[w1w2…wl]。同樣存在一個(gè)向量bl∈Rs，使wl+1=(Is?Wl)bl，則bl可迭代優(yōu)化由新數(shù)據(jù)矩陣A=(Is?Wl)計(jì)算的式(1)來(lái)求出。注意到

2.3 2DLDA-L1計(jì)算復(fù)雜度分析

對(duì)于含有c個(gè)類別共n個(gè)(m×s)大小的圖片訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，所提出的2DLDA-L1最耗時(shí)的是兩重循環(huán)內(nèi)部的步驟2(3)計(jì)算符號(hào)函數(shù)與(4)計(jì)算梯度方向，它們的計(jì)算復(fù)雜度分別為O((cm+nm)s)和O(2(cm+nm)s)。因此，若欲每次內(nèi)循環(huán)迭代t次，共提取q個(gè)投影方向軸，則整個(gè)2DLDA-L1的計(jì)算復(fù)雜度為O((cm+nm)stq)。在相同的數(shù)據(jù)集上，與之相對(duì)應(yīng)的2DLDA的計(jì)算復(fù)雜度為O((n+c)ms2+s3)。LDA-L1的計(jì)算復(fù)雜度為O((c+n)mstq)，最耗時(shí)的是兩重循環(huán)內(nèi)部的計(jì)算符號(hào)函數(shù)與計(jì)算梯度方向。LDA-R1的計(jì)算復(fù)雜度為O((n+c)m2s2tq2)，最耗時(shí)的是其中的特征值分解。LDA的計(jì)算復(fù)雜度為O((n+c)m2s2+m3s3)，最耗時(shí)的是求解廣義特征向量。

表1 基于L1-范數(shù)的2維線性判別分析(2DLDA-L1)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文所提出的2DLDA-L1方法的魯棒性及最終識(shí)別性能，本文選擇在3個(gè)常用的人臉圖像數(shù)據(jù)庫(kù)(PIE[19], AR[20]及ORL[21])上進(jìn)行先降維后分類識(shí)別的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)中，我們選擇4種對(duì)比方法，分別是LDA, LDA-R1, LDA-L1和2DLDA。為了保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的公平與合理性，同類實(shí)驗(yàn)中的參數(shù)設(shè)置均一致。為簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)，我們僅采用最近鄰分類器進(jìn)行分類識(shí)別。

3.1 PIE人臉數(shù)據(jù)庫(kù)

圖1 J(w(t))隨著迭代次數(shù)t的變化趨勢(shì)

PIE人臉數(shù)據(jù)庫(kù)提供了不同姿態(tài)、光照、表情條件下68位志愿者的40000多幅不同的圖像，每一幅圖像都是在嚴(yán)格控制的條件下采集的。本文在其中一個(gè)子集共17000幅圖像上進(jìn)行測(cè)試，即隨機(jī)提取出68人每人24幅圖像作為PIE子庫(kù)。所有的人臉圖像都被縮放到32×32大小，量化到256級(jí)灰度。

3.1.1 目標(biāo)函數(shù)的迭代收斂性 2.1節(jié)中提到了目標(biāo)函數(shù)J(w(t))是非降的并逐漸收斂到局部最優(yōu)。在這一部分，我們驗(yàn)證2DLDA-L1的目標(biāo)函數(shù)J(w(t))的局部最優(yōu)化，并與迭代次數(shù)t之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

圖1表明，在提取投影向量的過(guò)程中，隨著迭代次數(shù)的逐漸增加，目標(biāo)函數(shù)J(w(t))逐漸遞增并達(dá)到局部最大。

3.1.2 步長(zhǎng)參數(shù)γ的影響

為了驗(yàn)證梯度法w(t+1)=w(t)+γg(w(t ))中更新步長(zhǎng)參數(shù)γ的影響，我們從集合{0.01,0.05,0.1,0.5, 1,5,10,50,100,500,1000}中選擇不同的γ值測(cè)試其對(duì)收斂性及識(shí)別率的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 步長(zhǎng)參數(shù)γ的影響

圖2(a)和2(b)充分說(shuō)明γ不僅影響算法的收斂速度而且還影響算法的識(shí)別性能。由于2DLDA-L1中的目標(biāo)函數(shù)并不是全局嚴(yán)格凸的，一個(gè)固定的γ值易使迭代算法中的目標(biāo)函數(shù)局部最優(yōu)化，因此在運(yùn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們隨機(jī)選擇不同的γ值來(lái)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，并選取使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大的參數(shù)。

3.2 AR人臉數(shù)據(jù)庫(kù)

AR人臉數(shù)據(jù)庫(kù)由西班牙巴塞羅那計(jì)算機(jī)視覺(jué)中心建立，包括3120幅圖像，共120個(gè)人，每人26幅圖像，采集環(huán)境中的攝像機(jī)參數(shù)、光照環(huán)境、攝像機(jī)距離等都受到嚴(yán)格控制。所有人臉圖像都被縮放到32×32大小，量化到256級(jí)灰度。

3.2.1 投影軸數(shù)q對(duì)識(shí)別率的影響 線性投影降維是處理高維數(shù)據(jù)的一個(gè)重要步驟。為了驗(yàn)證不同的投影軸數(shù)對(duì)識(shí)別率的影響，本節(jié)依次選擇1,2,…,20個(gè)投影軸數(shù)進(jìn)行測(cè)試。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3表明，隨著投影軸數(shù)的逐漸增加，各種方法的識(shí)別率都會(huì)達(dá)到一個(gè)飽和值。但是，當(dāng)投影軸數(shù)相同時(shí)，2DLDA-L1方法的識(shí)別率比其它方法的識(shí)別率高。

圖3 識(shí)別率隨著不同投影軸數(shù)q的變化趨勢(shì)

3.2.2 噪聲的影響 為了驗(yàn)證2DLDA-L1對(duì)噪聲的魯棒性，本節(jié)在加有高斯噪聲或椒鹽噪聲的人臉圖像上進(jìn)行對(duì)比分類識(shí)別實(shí)驗(yàn)。圖4(a)和圖4(b)分別為加入高斯噪聲和椒鹽噪聲后的圖像示例，圖像加入高斯噪聲的方差或椒鹽噪聲的密度從小到大依次為0.0001, 0.0005, 0.001,0.005, 0.01, 0.05, 0.1。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖4 加入噪聲示例

圖5表明，隨著噪聲方差或密度的逐漸增加，各種方法的識(shí)別率逐漸降低。但是2DLDA-L1的識(shí)別率一直最高，這說(shuō)明2DLDA-L1具有更好的魯棒性。

3.3 ORL人臉數(shù)據(jù)庫(kù)

ORL數(shù)據(jù)庫(kù)是一個(gè)最為常用的人臉數(shù)據(jù)庫(kù)，它由40個(gè)人，每個(gè)人10幅92×112的灰度人臉正面圖像組成，每張人臉圖像都有姿態(tài)、表情和面部飾物的變化。所有的人臉圖像都被縮放到32×32大小，量化到256級(jí)灰度。

3.3.1 不同訓(xùn)練集大小對(duì)識(shí)別率的影響 為了驗(yàn)證不同的訓(xùn)練集大小對(duì)識(shí)別率的影響，每類中前k(k=2, 3,…,7)幅圖像作為訓(xùn)練集，余下的作為測(cè)試集。實(shí)驗(yàn)效果如圖6所示。

圖6表明，同等條件下，隨著訓(xùn)練樣本數(shù)目的增多，各種方法的識(shí)別率逐漸增高，而2DLDA-L1的識(shí)別率一直最高，這充分說(shuō)明2DLDA-L1方法的高效性。

3.3.2 部分缺失遮擋的影響 本節(jié)對(duì)人臉圖像設(shè)置不同比例的缺失或遮擋，以驗(yàn)證所提出的2DLDA-L1的魯棒性。設(shè)置圖像缺失或遮擋的百分比分別為5%, 10%,15%,20%,25%,30%,35%,40%,45%,50%。圖7(a)為不同比例塊隨機(jī)缺失示例，圖7(b)為不同比例塊隨機(jī)遮擋示例。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。

圖8表明，隨著圖像隨機(jī)缺失或遮擋的百分比逐漸增加，2DLDA算法的識(shí)別率有很大的波動(dòng)而其它算法的識(shí)別率整體趨勢(shì)都在逐漸下降。然而，當(dāng)有相同比例的缺失或遮擋時(shí)，2DLDA-L1方法的識(shí)別率比其它算法的識(shí)別率高，這說(shuō)明2DLDA-L1具有更強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)束語(yǔ)

圖5 噪聲對(duì)識(shí)別率的影響

圖6 識(shí)別率隨著不同訓(xùn)練集大小的變化趨勢(shì)

圖7 圖像隨機(jī)子塊缺失遮擋示例

圖8 不同比例缺失遮擋對(duì)識(shí)別率的影響

本文在LDA, LDA-L1和2DLDA方法的基礎(chǔ)上，提出基于L1-范數(shù)的2維線性判別分析(2DLDAL1)。該方法充分利用L1-范數(shù)對(duì)野值及噪聲的強(qiáng)魯棒性，并且直接在圖像數(shù)據(jù)矩陣上進(jìn)行線性投影降維，減少了圖像數(shù)據(jù)空間的信息丟失以及避免了向量化圖像數(shù)據(jù)出現(xiàn)的維數(shù)災(zāi)難。提出了一個(gè)單調(diào)優(yōu)化迭代算法來(lái)求解其最優(yōu)投影矩陣，并給出了其單調(diào)收斂到局部最優(yōu)的證明。在多個(gè)圖像數(shù)據(jù)庫(kù)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的2DLDA-L1對(duì)野值及噪聲具有強(qiáng)魯棒性，并且比其它方法具有更好的判別性能。注意到，本文方法僅僅是收斂到局部最優(yōu)。在后續(xù)的工作中，我們將繼續(xù)深入研究如何找到全局最優(yōu)。

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陳思寶： 男，1979年生，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閳D像處理與模式識(shí)別.

陳道然： 女，1989年生，碩士生，研究方向?yàn)閳D像處理與模式識(shí)別.

羅 斌： 男，1963年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)視覺(jué)與模式識(shí)別.

L1-norm Based Two-dimensional Linear Discriminant Analysis

Chen Si-bao Chen Dao-ran Luo Bin
(School of Computer Science and Technology, Anhui University, Hefei 230601, China)
(Key Laboratory for Industrial Image Processing and Analysis of Anhui Province, Hefei 230039, China)

To overcome the curse of dimensionality caused by vectorization of image matrices, and to increase robustness to outliers, L1-norm based Two-Dimensional Linear Discriminant Analysis (2DLDA-L1) is proposed for dimensionality reduction. It makes full use of strong robustness of L1-norm to outliers and noises. Furthermore, it performs dimensionality reduction directly on image matrices. A rapid iterative optimization algorithm, with its proof of monotonic convergence to local optimum, is given. Experiments on several public image databases verify the robustness and the effectiveness of the proposed method.

Image processing; L1-norm; Two-Dimensional Linear Discriminant Analysis (2DLDA); Linear projection; Dimensionality reduction

TP391.4

： A

：1009-5896(2015)06-1372-06

10.11999/JEIT141093

2014-08-18收到，2015-02-04改回

國(guó)家自然科學(xué)基金(61202228)和安徽省高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2012A004)資助課題

*通信作者：陳思寶 sbchen@ahu.edu.cn