晉玉強(qiáng)，李澤雪，雷軍委

（海軍航空工程學(xué)院，山東煙臺， 264001）

0 引言

二階系統(tǒng)具有豐富的動態(tài)特性，許多復(fù)雜的工程對象如導(dǎo)彈、飛機(jī)、火箭等航天飛行器在設(shè)計(jì)初期，均可以簡化為二階線性模型來設(shè)計(jì)。因此針對二階線性系統(tǒng)的研究是非常有意義的。尤其是針對一組隨機(jī)的二階系統(tǒng)，或者針對隨機(jī)的二階系統(tǒng)全體的控制魯棒性研究，是非常具有理論與應(yīng)用價值的［1-5］。

在許多的工程實(shí)踐中，由于外部環(huán)境變化、器件老化磨損等原因造成被控系統(tǒng)參數(shù)的變化，導(dǎo)致設(shè)計(jì)與實(shí)際存在一定誤差，當(dāng)對象的數(shù)學(xué)模型參數(shù)在小范圍內(nèi)變化時，可用一般的反饋控制、最優(yōu)控制或補(bǔ)償控制等方法來消除或減小參數(shù)變化對控制品質(zhì)的有害影響。當(dāng)控制對象的參數(shù)在大范圍變化時，上面這些方法就不能圓滿解決問題了［6-8］。

反演設(shè)計(jì)方法是一種反饋控制方法，它從系統(tǒng)的第一個狀態(tài)子系統(tǒng)開始設(shè)計(jì)，基于Lyarpunov穩(wěn)定性理論“一步一步”地反推控制律，直到完成整個控制律的設(shè)計(jì)。反演控制方法因其獨(dú)特的構(gòu)造性設(shè)計(jì)過程，可以有效解決模型參數(shù)未知這一問題，并且使被控系統(tǒng)獲得較好的魯棒性［9-11］。

本文針對簡單的二階系統(tǒng)，采用反演控制方法進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，通過與傳統(tǒng)PID控制方法對比，從而檢驗(yàn)反演控制是否具有良好的控制效果。最后，通過設(shè)置模型參數(shù)與給定區(qū)間完全隨機(jī)選取，進(jìn)行詳細(xì)的隨機(jī)仿真分析，通過全區(qū)間的隨機(jī)遍歷性的多次仿真結(jié)果，表明反演控制方法具有良好的普適穩(wěn)定性和魯棒性。

1 問題描述

具有單控制方向的二階系統(tǒng)是所有二階系統(tǒng)中比較簡單的一種特殊情況。所謂控制方向是指模型的輸入量u的系數(shù)，也稱控制系數(shù)。其模型如下所示

模型的參數(shù)完全未知，且A為隨機(jī)定常矩陣。反演自適應(yīng)控制的目標(biāo)為設(shè)計(jì)反演自適應(yīng)控制器，使得系統(tǒng)狀態(tài)x1跟蹤期望值xd1。

2 PID控制律設(shè)計(jì)

圖1所示為PID控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，該系統(tǒng)由PID控制器和被控對象兩部分組成，PID控制器產(chǎn)生的控制信號對被控對象進(jìn)行控制。其中PID控制器由比例 （P）、積分 （I）和微分 （D）三個環(huán)節(jié)組成。r（t）表示輸入量，y（t）表示輸出量，e（t）表示r（t）與y（t）的偏差。

圖1 PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of PID control system

PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定期望值xd1與實(shí)際輸出值x1構(gòu)成控制偏差

PID的控制規(guī)律如式 （3）所示。

寫成傳遞函數(shù)的形式

式中:kp為比例系數(shù);TI為積分時間常數(shù);TD為微分時間常數(shù)。

3 反演自適應(yīng)控制律設(shè)計(jì)

針對被控系統(tǒng)的第一階子系統(tǒng)

4 仿真分析

由于二階線性被控系統(tǒng)模型參數(shù)未知，參數(shù)矩陣A的取值不能確定。參數(shù)矩陣A的不同取值也代表著不同的二階線性被控系統(tǒng)，為了簡化說明，并且不失一般性，本文選用期望xd1=1并對參數(shù)矩陣A在 （－10～10）的范圍內(nèi)隨機(jī)賦值的方式進(jìn)行仿真分析，觀察控制效果。

4.1 PID控制仿真結(jié)果

對參數(shù)矩陣A在 （－10～10）范圍內(nèi)隨機(jī)賦值，參數(shù)矩陣A的賦值情況如下:

a11=8.7;a12=－3.6;a21=－9.3;a22=7

針對上述賦值結(jié)果設(shè)計(jì)PID控制參數(shù)，選取PID控制參數(shù)kp=－10，ki=－5，kd=－1，得到仿真結(jié)果如圖2。

圖2 PID控制仿真結(jié)果圖Fig.2 Simulation result of PID control

繼續(xù)采用上述PID控制參數(shù)，將參數(shù)矩陣A重新隨機(jī)賦值6次得到如圖3～圖8所示的仿真結(jié)果。

仿真結(jié)果表明，在被控系統(tǒng)參數(shù)取不同值時，PID控制不能有效地保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

4.2 反演控制仿真結(jié)果

由于k1，k3取值要足夠大才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，選取反演控制參數(shù)。

k1=30，k2=1，k3=30，k4=1，k5=40，k6=40。依然采用PID仿真時參數(shù)矩陣A的賦值方法，得到如圖9～圖14所示的仿真結(jié)果。

圖3 PID第一次仿真結(jié)果圖Fig.3 The first simulation result of PID

圖6 PID第四次仿真結(jié)果圖Fig.6 The fourth simulation result of PID

圖4 PID第二次仿真結(jié)果圖Fig.4 The second simulation result of PID

圖7 PID第五次仿真結(jié)果圖Fig.7 The fifth simulation result of PID

圖5 PID第三次仿真結(jié)果圖Fig.5 The third simulation result of PID

圖8 PID第六次仿真結(jié)果圖Fig.8 The sixth simulation result of PID

圖9 反演控制第一次仿真結(jié)果圖Fig.9 The simulation result of backstepping control（the 1st）

圖10 反演控制第二次仿真結(jié)果圖Fig.10 The simulation result of backstepping control（the 2nd）

圖11 反演控制第三次仿真結(jié)果圖Fig.11 The simulation result of backstepping control（the 3rd）

圖12 反演控制第四次仿真結(jié)果圖Fig.12 The simulation result of backstepping control（the 4th）

圖13 反演控制第五次仿真結(jié)果圖Fig.13 The simulation result of backstepping control（the 5th）

圖14 反演控制第六次仿真結(jié)果圖Fig.14 The simulation result of backstepping control（the 6th）

仿真結(jié)果表明，反演控制可以在不同被控參數(shù)取值的情況下，都能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，具有不錯的控制效果。

4.3 對比與分析

通過上述仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，由于PID控制參數(shù)是針對某一參數(shù)矩陣A設(shè)計(jì)的，當(dāng)參數(shù)矩陣A發(fā)生變化時，原來設(shè)計(jì)的PID控制參數(shù)就有可能不能適應(yīng)新的參數(shù)矩陣A，從而不能控制系統(tǒng)達(dá)到設(shè)定的期望值。反演控制參數(shù)設(shè)計(jì)時，針對于整個系統(tǒng)，并沒有針對于某一特定的參數(shù)矩陣A設(shè)計(jì)，所以當(dāng)參數(shù)矩陣A發(fā)生變化時，依然可以適應(yīng)新的參數(shù)矩陣A，控制系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的控制效果。

5 結(jié)束語

在被控對象為已知單控制方向二階線性系統(tǒng)時，采用傳統(tǒng)的PID控制方法需要知道被控系統(tǒng)的標(biāo)稱數(shù)學(xué)模型，這樣設(shè)計(jì)的PID控制系統(tǒng)可以較好地實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。但是在二階模型參數(shù)未知的情況下，尤其是參數(shù)完全隨機(jī)非均勻分布情況下，標(biāo)稱數(shù)學(xué)模型無法較好地定義，采用PID控制效果并不能保證所有情況均有理想的控制性能。然而采用反演法控制時，可以在并不精確地知道二階系統(tǒng)模型參數(shù)的情況下，依然獲得不錯的控制效果，使系統(tǒng)具有較好的魯棒性。在工程實(shí)踐中，由于種種原因可能不能得到準(zhǔn)確的被控模型參數(shù)，被控模型參數(shù)由于外部因素也可能發(fā)生變化，由此采用反演法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)在模型參數(shù)完全隨機(jī)分布的情況下，會有較好的應(yīng)用前景。

值得補(bǔ)充說明的是，本文的模型參數(shù)完全隨機(jī)分布，是指在某一給定區(qū)間內(nèi)，符合某種概率函數(shù)分布規(guī)律來設(shè)置、選取模型參數(shù)。顯然在無窮大的區(qū)間設(shè)置模型參數(shù)，討論普遍適用的控制器設(shè)計(jì)與參數(shù)選取方法是沒有意義的。

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