陳國偉

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“數(shù)學(xué)真正的組成部分應(yīng)該是問題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟.”習(xí)題講評則正是基于完善學(xué)生對數(shù)學(xué)解題認(rèn)識的教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要內(nèi)容.然而在這個過程中，僅就題論題者有之，講題面面俱到者有之，對錯題簡單訂正者有之，卻缺乏引導(dǎo)學(xué)生對錯題的成因分析，缺乏對通性、通法的強(qiáng)調(diào)，缺乏師生互動的探究及對解題的反思感悟.眾所周知，認(rèn)識是一個過程，而不是一種產(chǎn)品，知識并不是通過教師傳授得到，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境，即社會文化背景下，借助其他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過有意義建構(gòu)的方式而獲取的.因此習(xí)題講評課中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的錯誤成因，發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題錯誤的關(guān)鍵所在，講評應(yīng)講在關(guān)鍵處，適當(dāng)?shù)年P(guān)鍵處的點(diǎn)撥勝過教師千萬次的重復(fù)強(qiáng)調(diào).本文結(jié)合具體實(shí)例探究如何在關(guān)鍵處點(diǎn)撥，以期拋磚引玉.

一、講在思維缺陷處

鑒于學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)生在認(rèn)識問題的過程中具有一定的局限性，這種局限性往往體現(xiàn)為其自身認(rèn)知的缺陷.因而習(xí)題講評課應(yīng)是針對學(xué)生思維缺陷處的講評，是學(xué)生對未能掌握的知識、方法的再認(rèn)識的重要環(huán)節(jié)，教師不能只注重對錯題“量”的完成和正確結(jié)論的給出，而是要注重對學(xué)生錯題的成因分析，深入了解學(xué)生的思維缺陷，積極有效地引導(dǎo)學(xué)生對錯題“質(zhì)”的解析，完善其思維缺陷.

例1 ?已知m∈R且m≠0，直線l：mx-（m2-1）y=4m，圓C：x2+y2-8x+4y+16=0，則直線l與圓C相交所得弦長的取值范圍是 ? ? ? ? ? ?.

由于解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會馬上發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點(diǎn)（4，0）且該點(diǎn)在圓C上，便直接得出弦長的取值范圍是[0，4].顯然學(xué)生在解答過程中忽略了直線l的斜率范圍，因?yàn)閗=，m∈R且m≠0，所以k=，又由m+≥2或m+≤-2，得k∈[-，0）∪（0，]，如圖1可得弦長的取值范圍是（0，].這種錯誤正是由于學(xué)生的解題往往過多地依賴于模仿記憶，而缺乏對問題的本質(zhì)分析，事實(shí)上教材《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)A版必修2》在“直線的傾斜角與斜率”這一節(jié)起始課中明確指出：“確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可.”可見，習(xí)題講評課中應(yīng)及時關(guān)注學(xué)生的思維缺陷，通過引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，再次經(jīng)歷概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程，彌補(bǔ)缺陷.

二、講在思維起點(diǎn)處

解題能力表現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的敏銳性、洞察力與整體把握.其重要成分是三種基本的數(shù)學(xué)能力（運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力），核心是能否掌握正確的思維方法[1].思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，然而學(xué)生往往滿足于一得之見，不去思考“為什么可以這樣做”的道理，影響思維能力的提高[2].由此，習(xí)題講評應(yīng)及時啟發(fā)學(xué)生的思考，在學(xué)生的思維起點(diǎn)處設(shè)問，逐步將學(xué)生的思維引入到更高的層次.

例2 ?已知函數(shù)f（x）=xx-a-b，a，b∈R.當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）<0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍（結(jié)果用a表示）.

帶有絕對值的二次函數(shù)是一類特殊而又重要的函數(shù)，它的特殊性在于絕對值的“取正”功能，可以將任意的二次函數(shù)進(jìn)行分段，從而形成了紛繁復(fù)雜的函數(shù)問題，充分考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合以及分類討論的能力，是高考命題的“寵兒”.由于函數(shù)f（x）=xx-a-b=x2-ax-b，x≥a，

-x2+ax-b，x

引例1 ?請作出下列函數(shù)的圖象：（1）f（x）=xx;（2）f（x）=xx-2;（3）f（x）=xx+2并指出其單調(diào)性.

引例2 ?請作出函數(shù)f（x）=xx-a（a>0）的圖象，并討論若f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

引例3 ?請作出函數(shù)f（x）=xx-a（a∈R）的圖象，并討論若f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

將函數(shù)f（x）=xx-a-b的分類討論還原到學(xué)生思維的起點(diǎn)，通過引例1中3個不同的函數(shù)讓學(xué)生體會函數(shù)的圖象和絕對值內(nèi)的不同實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，然后借助函數(shù)的一般式f（x）=xx-a，從a>0逐步推進(jìn)，并引導(dǎo)學(xué)生最終解決該問題.如此，學(xué)生不僅能順利解決該題，還能再次體會從特殊到一般的認(rèn)識問題的一般規(guī)律，一舉多得.

三、講在思維提升處

實(shí)踐是掌握知識的最佳途徑，對于上述例2，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了問題從特殊到一般的演繹經(jīng)歷，其心理認(rèn)知已形成一定的系統(tǒng)收獲，但這并不意味著學(xué)生已經(jīng)徹底掌握了對此類題型的分類討論.教師要順勢利導(dǎo)，通過變式訓(xùn)練及時引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度探究解決此類問題的一般方法，及時對習(xí)題加以凝練提升，力爭讓學(xué)生“懂”一題，“會”一類，力促學(xué)生開闊視野，深化認(rèn)知.

例3 ?已知a∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=xx-a-x.

（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng)a≤1時，對于任意的x∈[0，t]，不等式-1≤f（x）≤6恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值及此時a的值.

通過相似而不雷同的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生再次領(lǐng)會解絕對值問題的分類討論原則，無疑會讓學(xué)生的思維進(jìn)行再次的突破，鞏固其前階段的思維成果，有效克服了被動聽課時知其然而不知其所以然的現(xiàn)象，是防止學(xué)生淺嘗輒止、似是而非的有效訓(xùn)練[2].

四、講在思維鏈接處endprint

很多學(xué)生解題的錯誤源于對問題的轉(zhuǎn)化不熟悉，然而經(jīng)過老師簡單的提醒或點(diǎn)評，學(xué)生馬上就能明確解題的關(guān)鍵并能順利地完成解答，但是當(dāng)學(xué)生下次碰到此類問題時，學(xué)生卻又不會解決了.這種現(xiàn)象我們在教學(xué)中屢見不鮮，但無論教師怎么講解，結(jié)果還是會“被遺忘”.究其原因，還在于我們忽略了“學(xué)習(xí)的最好途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”的事實(shí)，習(xí)題講評課應(yīng)致力于幫助學(xué)生自主完成不同問題間的思維鏈接，積極引導(dǎo)學(xué)生自主探尋問題與問題之間本質(zhì)的聯(lián)系，讓學(xué)生能夠理解并掌握分析、解決問題的過程，并促使其將這種思維方式內(nèi)化為自己的思維特質(zhì).

例4 ?若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy-34≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ? ? ? ? ? ? .

本題涉及基本不等式的應(yīng)用、恒成立問題的求解，考查學(xué)生換元、等價轉(zhuǎn)化等思維能力，但由于題中涉及到x，y，a三個變量，大部分學(xué)生根本是無從下手，然而我們?nèi)绻麑⒃擃}進(jìn)行分解，則可變?yōu)槿缦聝蓚€問題：（1）若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y+4xy，求xy的取值范圍;（2）若不等式（2t-2）a2+a+t-17≥0在t∈[2，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.結(jié)果大部分同學(xué)都能將這兩個問題順利地求解出來.但教學(xué)不能僅限于此，因?yàn)檫@僅僅是教師的解題思維，如果就此打住，學(xué)生仍只是解題的看客而已.為此，筆者設(shè)計了如下問題進(jìn)行引導(dǎo)，以期讓學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)并解決問題，鍛煉學(xué)生的思維鏈接能力.

問題1 ?已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則xy的最大值為 ? ? ? ? ? .x+y的取值范圍是 ? ? ? ? ? .

問題2 ?已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則x+y+xy的最大值為 ? ? ? ? ? .

問題3 ?若不等式（x+y）+2xy-a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ? ? ? ? ? ?.

教是為了不教，想要掌握一件事物的結(jié)構(gòu)，首先就要將許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來，然后用“再發(fā)現(xiàn)”的方式去理解它，簡單地說就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的.顯然上述教學(xué)過程并沒有直接對例4進(jìn)行解答，但是學(xué)生通過對上述問題的思考，環(huán)環(huán)相扣，水到渠成，這為學(xué)生掌握此類題型提供了直觀的效果，讓學(xué)生對此類問題有了更新的理解，換元思想呼之欲出，最終學(xué)生均能獨(dú)立地解決例4這一題.

五、講在思維創(chuàng)新處

例5 ?如圖2，已知平面α垂直平面β，A，B是平面α與平面β交線上的兩個定點(diǎn)，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若在平面α內(nèi)有一個動點(diǎn)P，使得∠APD=∠BPC，則△PAB面積的最大值為（ ? ?）

（A） 6 ? ?（B） 12 ? ?（C） 24 ? ?（D） 36

學(xué)生基本解題策略如下：由題意PB=2PA，設(shè)PA=x，則2

探究1 ?動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A，B的距離關(guān)系PB=λPA的幾何意義是什么？

探究2 ?若PB=λPA（λ≠1），則點(diǎn)P的軌跡方程是什么？

探究3 ?若PB=λPA（λ≠1），則點(diǎn)P的軌跡是圓，這個圓有一個特殊的名字叫“阿波羅尼斯圓”，大家能快速求出上題中圓的方程嗎？

探究4 ?請大家快速判斷上題中的△PAB面積的最大值.

顯然，筆者通過不斷設(shè)問，將學(xué)生的思維從三角形問題帶入到軌跡問題的求解，形成了解題的“創(chuàng)新”，這對培養(yǎng)和鞏固學(xué)生的創(chuàng)新思維有極大的裨益.

六、講在思維提煉處

布魯納指出：“學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是一個人把同類事物聯(lián)系起來，并把它們組織成賦予它們意義的結(jié)構(gòu).”他還強(qiáng)調(diào)：“獲得的知識，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會被遺忘的知識.”因此，習(xí)題講評課中教師對學(xué)生解題思維修正后，還要關(guān)注學(xué)生的后續(xù)解題能力的發(fā)展.知識在不斷地擴(kuò)充，問題也在不斷地更新，例5中“阿波羅尼斯圓”的解法對學(xué)生來說完全是“新瓶裝新酒”，如果就題論題，課堂會成為學(xué)生欣賞老師解題過程的舞臺，過后就忘也就會成為事實(shí).因此筆者在上述問題解決后并沒有就此打住，而是引導(dǎo)學(xué)生對圓、橢圓、雙曲線的軌跡問題進(jìn)行了同一層次的探究.

探究5 ?一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離關(guān)系可分為幾種？

探究6 ?請根據(jù)下列條件建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求出動點(diǎn)P的軌跡方程.

（1）△PAB中，若AB=6且PB+PA=10，則點(diǎn)P的軌跡方程為 ? ? ? ? ? ?.

（2）△PAB中，若AB=10且PB-PA=6，則點(diǎn)P的軌跡方程為 ? ? ? ? ? ?.

（3）△PAB中，若AB=6且PA=3PB，則點(diǎn)P的軌跡方程為 ? ? ? ? ? ?.endprint

探究7 ?請大家完成如下兩題：

（4）△PAB中，若AB=6且PB+PA=10，則△PAB面積的最大值為 ? ? ? ? ? ?.

（5）△PAB中，若AB=6且PA=3PB，則面積的最大值為 ? ? ? ? ? ?.

（6）△PAB中，D是AB的中點(diǎn)，若AB=10且PB-PA=6，則tan∠PDA的最大值為 ? ? ? ? ? ?.

探究8 ?從上述解題我們可以發(fā)現(xiàn)動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A，B的距離關(guān)系的三種不同結(jié)論.

若動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A，B的距離滿足PB=λPA（λ≠1），點(diǎn)P的軌跡是圓心在直線AB上的圓（阿波羅尼斯圓）;若動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A，B的距離滿足PB+PA=2a>AB，點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓;若動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A，B的距離滿足PA-PB=2a

我們還能得出關(guān)于“動點(diǎn)P與兩個定點(diǎn)A，B的關(guān)系”中相類似的結(jié)論嗎？

探究9 ?你能得出圓、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么區(qū)別嗎？

探究10 ?你能得出圓、橢圓、雙曲線上的點(diǎn)P與兩個定點(diǎn)A，B（也在曲線上并關(guān)于對稱中心對稱）的斜率關(guān)系的定值嗎？

探究11 ?你能得出圓、橢圓、雙曲線上的任意兩點(diǎn)A，B連線的中點(diǎn)和對稱中心的連線的斜率關(guān)系的定值嗎？

如此，我們不僅加深了學(xué)生對“阿波羅尼斯圓”的理解，還幫助學(xué)生將解題思維進(jìn)行提煉，將圓錐曲線的定義、表達(dá)式等進(jìn)行了統(tǒng)一，同時又把這種思維還原成了學(xué)生的基本解題策略，便于學(xué)生理解記憶.

牛頓說：“每一個目標(biāo)，我都要它停留在我的眼前，從第一道曙光初現(xiàn)開始，一直保留，慢慢展開，直到整個大地光明為止.”習(xí)題講評課應(yīng)努力抓住學(xué)生問題的關(guān)鍵，只有講在問題的關(guān)鍵處才能講出真風(fēng)采，只有講在問題的關(guān)鍵處才能真正促進(jìn)學(xué)生理解能力的提高與思維品質(zhì)的提升.

參考文獻(xiàn)：

[1] 羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2] 朱萬喜.通過案例訓(xùn)練學(xué)生思維的體會[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（12）：12-13.endprint