李橋興， 劉思峰

(1.貴州大學 管理學院，貴州 貴陽 550025； 2.蘭州理工大學 經(jīng)濟管理學院，甘肅 蘭州 730050； 3.南京航空航天大學 經(jīng)濟與管理學院,江蘇 南京 210016)

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灰色實物型投入產(chǎn)出分析的覆蓋解研究

李橋興1～3， 劉思峰3

(1.貴州大學 管理學院，貴州 貴陽 550025； 2.蘭州理工大學 經(jīng)濟管理學院，甘肅 蘭州 730050； 3.南京航空航天大學 經(jīng)濟與管理學院,江蘇 南京 210016)

由于國民經(jīng)濟系統(tǒng)的復雜性，人們在使用實物型投入產(chǎn)出分析工具時不可能獲得各部門產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出的確定值。采用灰色系統(tǒng)理論基本原理提出灰色實物型投入產(chǎn)出分析并給出模型及各種灰色分析系數(shù)的覆蓋解公式?；疑珜嵨镄屯度氘a(chǎn)出分析能處理統(tǒng)計數(shù)據(jù)為區(qū)間的情形，可以使決策者在不確定性情況下對復雜經(jīng)濟系統(tǒng)進行分析、預測和控制，提高人們的抗風險能力。模擬案例驗證了模型計算的可行性。

數(shù)量經(jīng)濟學；灰色實物型投入產(chǎn)出分析；灰色覆蓋運算；復雜經(jīng)濟系統(tǒng)；灰色系數(shù)

0 引言

實物型投入產(chǎn)出分析是以實物為計量單位、反映一個國家的國民經(jīng)濟在某個時期內投入與產(chǎn)出間數(shù)量關系的經(jīng)濟模型，包括投入產(chǎn)出表、投入產(chǎn)出模型及應用，已經(jīng)在許多領域得到成功應用[1～5]?；疑到y(tǒng)理論以具有貧信息特征的客觀事物內涵的認知過程為研究對象，通過加工已知信息達到管理和控制系統(tǒng)發(fā)展的目的[6～9]?；疑珨?shù)學包括灰數(shù)運算、覆蓋運算、唯一潛真運算和白化運算等形式，是一種新型不確定數(shù)學運算[10～12]。灰數(shù)是一種來源于信息缺失的不確定數(shù)。由于信息的缺失，人們無法得到它的真實值。但是在正確的調查統(tǒng)計手段下，人們可以得到一個數(shù)值范圍，并使不確定數(shù)的真實值落在范圍之內。這個數(shù)值范圍稱為灰數(shù)的覆蓋集，其內任意一個實數(shù)稱為灰數(shù)的白化數(shù)。不知道確切取值的數(shù)值稱為灰數(shù)的唯一潛真值[10,11]?；覕?shù)的覆蓋集可能是連續(xù)也可能是離散的，連續(xù)的覆蓋集用區(qū)間表達。當所有的信息都出現(xiàn)時，覆蓋集會演變成只包含一個數(shù)的集合，灰數(shù)變成一個確定的實數(shù)[10,11]。區(qū)間數(shù)與區(qū)間覆蓋集除了有相似的計算形式外，它們之間有很大的區(qū)別。區(qū)間覆蓋集是灰色朦朧集。有關灰數(shù)的詳細討論及區(qū)間數(shù)和區(qū)間覆蓋集的差異，讀者可參考文獻[10～13]等。

在現(xiàn)實中用投入產(chǎn)出分析去預測和管理國民經(jīng)濟時，我們往往要求統(tǒng)計數(shù)據(jù)是精確的。然而，復雜經(jīng)濟系統(tǒng)受很多因素如技術條件、管理水平、原材料可得性、國家政策等的影響，使我們很難收集足夠的信息去得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)的準確值，因此決策時會丟失很多有用的信息。但是通過采用正確的調查統(tǒng)計方法，我們可以得到一個包含準確值的覆蓋集。不失一般性，這個覆蓋集可以用區(qū)間表示。文獻[14～18]分別提出灰色價值型投入產(chǎn)出分析、灰色動態(tài)投入產(chǎn)出分析、灰色非線性投入產(chǎn)出分析、灰色投入占用產(chǎn)出分析、灰色部門投入產(chǎn)出分析、灰色企業(yè)投入產(chǎn)出分析和灰色地區(qū)投入產(chǎn)出分析。本文在前文基礎上，提出灰色實物型投入產(chǎn)出分析并給出覆蓋解公式，同時用一個模擬案例說明結論的可行性。

1 灰色實物型投入產(chǎn)出分析

本文假定讀者已經(jīng)具備實物型投入產(chǎn)出分析的基本知識，也可以參閱文獻[1]等。

國民經(jīng)濟系統(tǒng)是一個巨大而復雜的系統(tǒng)。由于信息不充分導致無法獲取各部門的投入和產(chǎn)出的精確數(shù)據(jù)，因而實物型投入產(chǎn)出分析中的數(shù)據(jù)表現(xiàn)為灰數(shù)。在正確的調查統(tǒng)計方法下，我們可以得到每個灰數(shù)的區(qū)間覆蓋集。于是得到灰色實物型投入產(chǎn)出如表1。

表1 灰色實物型投入產(chǎn)出表

表1中變量的含義如下：

qij(?)：第j個部門投入到第i部門的灰色中間投入實物量或第i個部門供給第j個部門的灰色中間產(chǎn)出實物量(i=1,…,n;j=1,…,n,n+1,…,n+l)。請注意在I欄中的 qij(?)(j=1,2,…,n)是列名產(chǎn)品之間的中間產(chǎn)出/中間投入，在II欄中的是qij(?)(j=n+1,…,n+l )未列名產(chǎn)品和列名產(chǎn)品之間的中間產(chǎn)出/中間投入。未列名產(chǎn)品是指這樣的一些生產(chǎn)部門如交通運輸業(yè)、建筑業(yè)、商業(yè)和餐飲業(yè)等，這些部門只參與產(chǎn)品的生產(chǎn)過程但是不生產(chǎn)具體的產(chǎn)品。未列名產(chǎn)品對實物型投入產(chǎn)出分析很重要。如果不考慮他們，模型將失去平衡。

yi(?)：由第i(i=1,…,n)個部門生產(chǎn)的最終使用價值灰色實物量。最終使用是本時期內沒有進入生產(chǎn)過程的那部分產(chǎn)品。根據(jù)應用領域不同，最終使用可以分為幾部分，如固定資產(chǎn)更新改造、基礎設施、居民消費、集體消費、非物質部門生產(chǎn)包括運輸業(yè)、商業(yè)、餐飲業(yè)及存貨和出口商品等。

wi(?)：從國外進口的產(chǎn)品i(i=1,…,n)的灰色實物量。

Qi(?)：由第i(i=1,…,n)個部門生產(chǎn)的總產(chǎn)出灰色實物量。

(1)

在正確的調查方法下，我們得到灰數(shù)qij(?),yj(?),wi(?)的區(qū)間覆蓋集分別為

(2)

根據(jù)文獻[1,8]，我們得到以下實物型投入產(chǎn)出分析方法的各種灰色系數(shù)及其覆蓋集。

1.1 灰色直接消耗系數(shù)aij(?)及其覆蓋集[aij]

(3)

A(?)=(aij(?))n×n稱為灰色直接消耗系數(shù)矩陣，[A]=([aij])n×n為A(?)矩陣覆蓋集。

灰色直接消耗系數(shù)反映了在不確定情況下的經(jīng)濟活動期間各列名產(chǎn)品之間的數(shù)量依存關系，它的覆蓋集反映了這種數(shù)量關系的大概范圍。在貧信息狀態(tài)下，灰色直接消耗系數(shù)對分析、預測和控制復雜經(jīng)濟系統(tǒng)具有重要作用，可以大大減少調查成本。

1.2 灰色完全消耗系數(shù)

設bij(?)(i,j=1,…,n)為灰色完全消耗系數(shù)，B(?)=(bij(?))n×n為灰色完全消耗系數(shù)矩陣，則由文獻[1]等，有B(?)=A(?)+B(?)A(?)。顯然。如果I-A(?)是非奇異矩陣，則它的唯一潛真矩陣I-A°可逆(見文獻[6,8]等)，其中A°=(aij°)n×n是A(?)的唯一潛真矩陣，因此，灰色矩陣B(?)=(I-A(?))-1及其矩陣覆蓋集[B]分別為：

B(?)=(I-A(?))-1-I, [B]=([bij])n×n=(I-[A])-1-I

(4)

其中[bij]是bij(?)(i,j=1,2,…,n)的區(qū)間覆蓋集，(I-A(?))-1稱為灰色列昂惕夫逆矩陣或灰色完全需求系數(shù)矩陣。顯然，(I-A(?))-1的矩陣覆蓋集(I-[A])-1是問題求解的關鍵。

1.3 灰色分配系數(shù)

由文獻[1]等，定義中間產(chǎn)品的灰色分配系數(shù)hij(?)和最終產(chǎn)品的灰色分配系數(shù)hiy(?)：

(5)

其中hij(?),hiy(?)滿足以下等式：

(6)

由文獻[8]可知，[hij]1和[hij]2都是hij(?)的區(qū)間覆蓋集；[hij]1和[hij]2都是hiy(?)的區(qū)間覆蓋集。只不過前者是相對劣覆蓋集，而后者是相對優(yōu)覆蓋集[7,8]。

當我們面臨貧信息時，以上灰色系數(shù)及其覆蓋集可以用來表示各部門間技術經(jīng)濟關系的大概范圍。

根據(jù)實物型投入產(chǎn)出模型及以上的灰色系數(shù)，我們有灰色實物型投入產(chǎn)出模型。

假設灰色向量Q(?)=(Q1(?),…,Qn(?))T和Y(?)=(Y1(?),…,Yn(?))T，以及灰色矩陣I-A(?)可逆，則有灰色模型：

Q(?)=(I-A(?))-1Y(?)

(7)

又設[Q]=([Q1],[Q2],…,[Qn])T、[q]=([q1],[q2],…,[qn])T、[y]=([y1],[y2],…,[yn])T、[w]=([w1],[w2],…,[wn])T和[Y]=[q]+[y]-[w]分別是Q(?),q(?),y(?),Y(?)的向量覆蓋集，則有以下灰色實物型投入產(chǎn)出模型的覆蓋模型：

[Q]=(I-[A])-1[Y]

(8)

(9)

以下所有定理的證明分別類似于文獻[12,15]等。

(10)

成立，其中p=col或row，‖‖col為矩陣或向量的列范數(shù)，‖‖row表示矩陣或向量的行范數(shù)，則對任意ε>0，必存在整數(shù)K0滿足

(11)

其中int(x)為不比x大的最大整數(shù)，有灰矩陣(I-A(?))-1的矩陣覆蓋集[R]-1如下：

(12)

(13)

定理2 設公式(10)成立，并且

(14)

(15)

由于假設唯一潛真矩陣I-A0可逆，公式(10)對逆矩陣覆蓋集的計算非常重要。否則，在I-[A]=[R]中將有一些白化矩陣是奇異矩陣，使我們無法計算矩陣覆蓋集(I-[A])-1。

計算(I-[A])-1之后，利用公式(8)可以計算灰色總產(chǎn)出量Q(?)的覆蓋集[Q]，則我們可以采用統(tǒng)計數(shù)據(jù)的范圍實現(xiàn)對經(jīng)濟系統(tǒng)的分析、預測與控制。

根據(jù)文獻[1]，灰色實物型投入產(chǎn)出分析還有另一種灰色模型

Q(?)=(I-H(?))-1Y(?)

(16)

(17)

定理3 灰色矩陣I-H(?)是非奇異矩陣且逆矩陣為：

(18)

設[H]為H(?)的矩陣覆蓋集，即

則有公式(16)的覆蓋模型：

[Q]=(I-[H])-1[Y]

(19)

由公式(19)可知，求解Q(?)覆蓋集[Q]的關鍵是計算矩陣覆蓋集(I-[H])-1。

(20)

(21)

也成立，則有如下定理。

定理5 假設公式(21)成立，則(I-H(?))-1的矩陣覆蓋集為：

(22)

定理5表明，在貧信息條件下，我們可以實現(xiàn)對復雜經(jīng)濟系統(tǒng)的分析、預測與控制。

下面分別是矩陣覆蓋集(I-[A])-1和(I-[H])-1的計算步驟。

算法1：

步驟1 獲取數(shù)據(jù)的覆蓋集[qij],[yi],[wi](i=1,…,n;j=1,…,n+l)，給出精度ε>0；

算法2：

步驟1 獲取灰色統(tǒng)計數(shù)據(jù)的覆蓋集[qij],[yi],[wi](i=1,…,n;j=1,…,n+l)；

步驟3 若公式(21)不成立，則返回步驟1并使所有灰數(shù)據(jù)的擾動變小；

步驟4 根據(jù)公式(22)計算(I-[H])-1。

2 案例研究

下面通過一個簡單案例驗證本文提出的方法。

國民經(jīng)濟是一個復雜系統(tǒng)并由許多部門組成。為簡便起見，假設有6個部門，即糧食(部門1)、棉花(部門2)、石油(部門3)、電力(部門4)、鋼鐵(部門5)和未列名產(chǎn)品(部門6)等。在貧信息條件下，獲得灰色統(tǒng)計數(shù)據(jù)的覆蓋集分別為[qij]、[Yi]和[Qi] (i,j=1,2,…,n)(見表3)。除部門4的單位是千瓦時外，其余部門的單位為萬噸。要求在現(xiàn)有技術條件下分析國民經(jīng)濟下一年度的總產(chǎn)出。

表3 灰色數(shù)據(jù)的覆蓋集表

表3 續(xù)

步驟1 各灰色統(tǒng)計數(shù)據(jù)的覆蓋集見表3。

步驟2 由式(2)和(6)計算[Qi](見表3)和[hij](i,j=1,2,…,n)及矩陣覆蓋集[H]；

矩陣覆蓋集[H]反映了列名產(chǎn)品間分布系數(shù)的大概范圍，如[h23]=[0.0567,0.112]意味著每一百萬噸部門2的實物產(chǎn)品要被分給部門3的數(shù)量在0.0567和0.1121之間。

矩陣覆蓋集[A]表明，即使我們不知道列名產(chǎn)品間直接消費系數(shù)的真實值，但是可以知道大概范圍，如a23∈[0.0214,0.0310]意味著部門3和5之間的直接消費系數(shù)的真值一定在[0.0214,0.0310]中。

(I-[H])-1=diag([1.0015,1.0018],[1.2470,1.5706],[2.8745,3.4281],[1.9291,1.9954],[2.8217,2.9416])

步驟5 設[Y′]=([1589,1603],[157,168],[331,336],[2200,2220],[803,809])T，則由公式(19)計算[Q′]：

[Q′]=([1591.4,1605.9],[159.8,263.9],[951.5,1151.8],[4244.1,4429.9],[2265.8,2379.8])T

向量覆蓋集[Q′]表明了在技術水平不變條件下，為了滿足下一年度的最終消費[Y′]，各列名產(chǎn)品的下一年度的總產(chǎn)出。否則，國民經(jīng)濟系統(tǒng)將失去平衡。這個案例表明即使不能獲取精確的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，但是可以利用灰色實物型投入產(chǎn)出分析方法對復雜國民經(jīng)濟系統(tǒng)進行分析和控制?；疑珜嵨镄屯度氘a(chǎn)出分析方法可以很大程度上減少統(tǒng)計數(shù)據(jù)的成本，給決策者更多的信息。

3 結束語

基于現(xiàn)實國民經(jīng)濟系統(tǒng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的貧信息特征，本文采用灰色系統(tǒng)理論的基本原理提出灰色實物型投入產(chǎn)出分析方法，包括灰色實物型投入產(chǎn)出表、灰色實物型投入產(chǎn)出模型及其應用，同時給出各種灰色系數(shù)和灰色模型的計算公式，以及采用模擬案例驗證了灰色模型計算的合理性。該方法對貧信息條件下管理國民經(jīng)濟系統(tǒng)有非常重要的作用，為不確定環(huán)境下研究經(jīng)濟系統(tǒng)提供了有效的分析工具。

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Grey Physical Input-output Analysis

LI Qiao-xing1,2, LIU Si-feng2

(1.School of Management, Guizhou University, Guiyang 550025, China; 2.School of Eeconomics and Management, Lanzhou University of Technology,Lanzhou 730050, China; 3.College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016, China)

Because national economy is complex, we can not obtain the exact values of input and output of every product as we utilize the physical input-output analysis. By using grey system theory, we propose grey physical input-output analysis and get the covered solution formulas of grey model and grey coefficients. The grey physical input-output analysis can dispose the situation that the statistic datum are intervals, and the decision-makers can analyze, forecast and control the economic system under the uncertain situation, and the ability to resist risk can be improved. The modified case illustrates our method.

quantitative economics; grey physical input-output analysis; grey covered operation; complex economic system; grey coefficient

2012-12-25

中國博士后科學基金特別資助項目(200902321)

李橋興(1973-)，男，廣西平樂人，副教授，博士后，系統(tǒng)科學與管理復雜性研究，數(shù)量經(jīng)濟理論與方法等。

F223

A

1007-3221(2015)03- 0165- 07