丁婷婷，方 舟，劉 波，張君安

（西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021）

0 引言

畸變不可避免的存在于通過圖像采集設(shè)備獲取的圖像中，如果不對其進(jìn)行矯正，將會直接影響后續(xù)處理的準(zhǔn)確性和效率。為了進(jìn)行矯正，先進(jìn)行攝像機(jī)標(biāo)定。攝像機(jī)標(biāo)定是確定攝像機(jī)參數(shù)的一個過程[1]，其在三維重建、視覺監(jiān)控、視覺伺服等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用前景，因此具有重要的理論、實際研究價值。

攝像機(jī)標(biāo)定有傳統(tǒng)標(biāo)定和自標(biāo)定。就目前的研究來看，比較常用的還是傳統(tǒng)標(biāo)定。在工業(yè)視覺中，用徑向畸變已經(jīng)足夠描述非線性畸變，若引入過多的高階畸變參數(shù)，不僅不能提高標(biāo)定精度，反而會引起解的不穩(wěn)定[2]。本文是在Tsai兩步標(biāo)定法的基礎(chǔ)上建立的，采用考慮徑向畸變的攝像機(jī)模型，標(biāo)定過程中避免了繁瑣的非線性優(yōu)化，并進(jìn)行逆向求解，得標(biāo)定塊上相對應(yīng)的空間點的坐標(biāo)，從而更準(zhǔn)確地計算標(biāo)定誤差。

1 畸變矯正的數(shù)學(xué)模型

工業(yè)視覺中，實際成像與理想的針孔成像之間存在光學(xué)畸變誤差。因此需要在理想的攝像機(jī)模型中引入畸變模型。在滿足精度要求的前提下，一般情況下只考慮徑向畸變模型，引入過多的畸變模型反而會影響計算精度。為了準(zhǔn)確快速的完成標(biāo)定，本文采用了將能精確反映成像過程的帶有透鏡徑向一階畸變模型引入小孔攝像機(jī)模型中[3]，如圖1所示。

圖1 考慮鏡頭徑向畸變的攝像機(jī)模型

在模型中涉及4個坐標(biāo)系，并取目標(biāo)點為P。則其在各個坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示如下：（xw,yw,zw）是世界坐標(biāo)系(owxwywzw）下物體點P的三維坐標(biāo)。(xc,yc,zc)是點P在攝像機(jī)坐標(biāo)系(ocxcyczc)中的三維坐標(biāo)。(xu,yu)是理想攝像機(jī)模型下P點在攝像機(jī)成像平面坐標(biāo)系(OXY)中的表示，(xd,yd)為P點的實際圖像坐標(biāo)。(u,v)為P點在計算機(jī)圖像坐標(biāo)系(OUV)，以像素為單位。(u0,v0)計算機(jī)圖像(幀存)中心坐標(biāo)。dx、dy分別表示每一個像素在x軸y軸的物理尺寸，f為有效焦距。則點P在計算機(jī)圖像坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系中存在如下關(guān)系式：

上式中的內(nèi)外參數(shù)可通過攝像機(jī)標(biāo)定方法獲得，因此如果已知某空間點的世界坐標(biāo)，就可以求出該點的計算機(jī)圖像坐標(biāo)；已知目標(biāo)點的計算機(jī)圖像坐標(biāo)和某些約束條件，就可以求出其對應(yīng)的空間坐標(biāo)。

2 攝像機(jī)標(biāo)定的參數(shù)求解

本文是根據(jù)上述畸變模型（如圖1所示）進(jìn)行標(biāo)定算法設(shè)計的，需要求解旋轉(zhuǎn)矩陣R、平移矩陣t、有效焦距f和畸變系數(shù)k。具體求解流程如下：

1）求解旋轉(zhuǎn)矩陣 R，平移向量 t中的Tx,Ty分量[4]：

根據(jù)攝像機(jī)坐標(biāo)系（xc,yc,zc）到世界坐標(biāo)系（xw,yw,zw）的轉(zhuǎn)換關(guān)系，再結(jié)合RAC(徑向平行約束）和ZW=0，從而計算Ty的值，然后據(jù)R的正交性，求得R中各參數(shù)及Tx的值。

2）不考慮畸變時，求解有效焦距f、t的分量Tz估計值。

代入n組特征點，從而求出f、Tz的估計值。

3）考慮畸變時，求f、Tz的優(yōu)化值和畸變系數(shù)k（zw=0）。

畸變模型為：

設(shè)：

將式（3）、式（4）帶入式（2），并代入n組特征點坐標(biāo)值，用最小二乘法求解超定線性方程即可求得f、kf、Tz，進(jìn)而求得f、k、Tz。

3 特征點成像誤差計算模型

空間中某點P在世界坐標(biāo)系下與攝像機(jī)坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)存在如式（5）所示的關(guān)系。

將已知的計算機(jī)圖像坐標(biāo)點代入式（6）進(jìn)行計算，可求得xwi,ywi。在上述逆向求解過程中，由于以上推導(dǎo)是基于透視變換法中的線性針孔成像模型，未考慮畸變。為了計算精確，在式（6）u、v中引入畸變模型（3）得到u`、v`，其中zw=0,利用特征點坐標(biāo)及其標(biāo)定求得的參數(shù)可求得x`wi、y`wi，從而計算誤差。

4 畸變矯正實驗與數(shù)據(jù)分析

為了驗證算法的有效性和可行性，本文用HALCON圖像處理軟件平臺進(jìn)行模擬實驗。本實驗選用的是平面標(biāo)定塊（如圖2所示），拍攝得到的圖像如圖3所示。相機(jī)分辨率為dx=0.01538mm/Pixel，dy=0.01538mm/Pixel，采用的標(biāo)定模板為6×6個半徑為0.4mm的圓。其中u0=184.5（Pixel）、v0=175（Pixel）。

圖2 平面標(biāo)定塊

圖3 拍攝的標(biāo)定塊圖像

1）求標(biāo)定參數(shù)

根據(jù)本實驗所選的標(biāo)定塊，可以得到標(biāo)定塊上特征點（圓心）的世界坐標(biāo)（xwi、ywi）單位為mm和相應(yīng)的圖像坐標(biāo)（ui、vi）單位為像素Pixel，如表1所示（本文取圖2中前四列右邊的16個圓的圓心坐標(biāo)作為測試點）。

表2 參數(shù)標(biāo)定結(jié)果 (mm)

表3 新特征點與原特征點對比表 (mm)

表1 平面標(biāo)定塊的特征點的世界坐標(biāo)和圖像坐標(biāo)（Zw=0)

據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，運用本文的標(biāo)定算法得參數(shù)結(jié)果如表2所示。

2）求特征點成像誤差

據(jù)表2所求得參數(shù)及本文的逆向求解算法得到相應(yīng)的新世界坐標(biāo)，其中zw=0，特征點的新世界坐標(biāo)（x`wi、y`wi）和原世界坐標(biāo)（xwi、ywi）如表3所示。

誤差的計算可采用空間世界坐標(biāo)的絕對誤差和相對誤差來表示。經(jīng)計算得絕對誤差Ew=0.01449mm，相對誤差為ew=4.26‰。

5 結(jié)論

在該算法中誤差的來源主要有[5]：1)標(biāo)定板的不平度引入的誤差。2)CCD相機(jī)與光學(xué)成像產(chǎn)生的誤差。CCD相機(jī)光敏面上的中心距限制了測量的分辨率。

本文采用帶有徑向畸變的攝像機(jī)模型，逆向求特征點，再與原特征點進(jìn)行數(shù)據(jù)比較，精確地計算出標(biāo)定誤差。實驗驗證該算法相對誤差達(dá)4.26‰，可以快速、準(zhǔn)確的完成標(biāo)定，并且準(zhǔn)確計算誤差，提高了算法的精度。同時該算法還可以應(yīng)用在其他有圖像畸變的場合進(jìn)行鏡頭誤差評定，即判斷畸變矯正的必要性，如果通過本文算法得到畸變誤差足夠小，則可略去矯正環(huán)節(jié)，進(jìn)而提高了整個計算的效率和準(zhǔn)確度，在機(jī)器視覺領(lǐng)域具有較強(qiáng)的實用性。

[1]徐杰.機(jī)器視覺中攝像機(jī)標(biāo)定Tsai兩步法的分析與改進(jìn)[J].北京科技大學(xué)學(xué)報,2010,32(4):45-48.

[2]趙宣銘.一種基于Tsai法的攝像機(jī)改進(jìn)標(biāo)定法[J].西安工程大學(xué)學(xué)報,2011,25(4):560-564.

[3]李君蘭,張大衛(wèi),王以忠,等.面向封裝的顯微視覺定位系統(tǒng)[J].光學(xué)精密工程,2010,18(4):965-967.

[4]王建華,馮帆,梁偉,等.基于matlab的攝像機(jī)標(biāo)定系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)[J].計算機(jī)與數(shù)字工程.2012,269(3),97-99.

[5]張海,付偉,高榮杰.機(jī)器視覺測量中相機(jī)兩步標(biāo)定法的改進(jìn)[J].華東交通大學(xué)學(xué)報.2012,46(3):77-80.