趙 輝，張 寧，蔡萬通，王紅君，岳有軍

（1.天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西青 300384；2.天津理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西青 300384；3.華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206）

0 引言

為了降低水泥企業(yè)的生產(chǎn)成本并提高經(jīng)濟(jì)效益，節(jié)能降耗至關(guān)重要。如今，在基礎(chǔ)自動(dòng)化設(shè)備齊全、工藝改造已基本成型的條件下，水泥企業(yè)進(jìn)一步節(jié)能降耗的突破口便在于生產(chǎn)過程中的先進(jìn)能源管理方面[1]。其中，對電耗量的預(yù)測是制定水泥企業(yè)能源規(guī)劃的重要組成部分：通過電耗預(yù)測可以使工作人員根據(jù)原料供應(yīng)和生產(chǎn)計(jì)劃，按照預(yù)測限電購電、合理制定與電廠協(xié)議的最大需量，從而避免供電不足或過剩的情況。因此，建立一個(gè)完善的水泥電耗預(yù)測模型成為目前亟待解決的問題。

水泥生產(chǎn)是由眾多工序有機(jī)結(jié)合的一個(gè)整體，其能耗預(yù)測模型的特點(diǎn)是變量多、關(guān)系復(fù)雜。針對水泥企業(yè)各種工序和大量實(shí)際應(yīng)用的結(jié)果，國內(nèi)外專家學(xué)者提出了多種能耗預(yù)測方法：文獻(xiàn)[2]用線性回歸模型預(yù)測電力消耗，然而模型的精度有待提高；M.Ali Azadeh等在文獻(xiàn)[3]中闡述了一種基于多目標(biāo)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，并將其應(yīng)用于伊朗高耗能工業(yè)部門的年消費(fèi)電量的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測，但是該模型的計(jì)算量大，收斂速度慢，且很容易陷入局部極值，使訓(xùn)練失敗；文獻(xiàn)[4]通過結(jié)合小波變換和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，預(yù)測鋼鐵企業(yè)電力負(fù)荷趨勢，然而該算法較為復(fù)雜，且不確定何種小波基較為合適，需要大量實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證。

總的來說，國外的能耗分析預(yù)測研究已較為成熟，但目前建立的模型普遍具有運(yùn)算量大、收斂時(shí)間長、模型復(fù)雜等缺點(diǎn)，并不適用于我國水泥企業(yè)的能耗預(yù)測管理情況；而國內(nèi)的相關(guān)研究主要針對于鋼鐵行業(yè)，水泥行業(yè)由于其生產(chǎn)工藝的特殊性，建立的鋼鐵生產(chǎn)電耗模型又不能直接用于水泥生產(chǎn)上。因此，應(yīng)綜合考慮預(yù)測精度、計(jì)算復(fù)雜度、模型簡潔度，以及結(jié)合水泥生產(chǎn)的自身參數(shù)特點(diǎn)，建立一套適用于我國水泥企業(yè)的電耗預(yù)測模型。本文在提出水泥生產(chǎn)電耗影響因素的基礎(chǔ)上，運(yùn)用主成分分析法得到了主要影響因素，并運(yùn)用改進(jìn)的多元非線性數(shù)學(xué)模型得到了水泥電耗預(yù)測模型，在降低模型復(fù)雜度的同時(shí)也提高了預(yù)測精度。

1 水泥生產(chǎn)電耗的影響因素

為了對水泥生產(chǎn)電耗進(jìn)行有效預(yù)測，應(yīng)深入分析影響各環(huán)節(jié)電耗的影響因素，并以此作為變量構(gòu)建水泥電耗的預(yù)測模型。

據(jù)統(tǒng)計(jì)，在典型水泥廠中的電能消耗情況大致為：采石、破碎為5%；生料粉磨為24%；給料均化為6%；熟料燒成與冷卻為22%；水泥粉磨為38%；包裝、裝載出廠為5%[5]。因此，根據(jù)水泥生產(chǎn)電耗的分布可以確定，水泥生產(chǎn)過程中主要的電耗影響因素(x1,x2,…,x11)分別為：生料粉磨細(xì)度，生料水分，石灰石硬度，均化效果，燃料篩余量（煤粉細(xì)度），回轉(zhuǎn)窯升溫速率，熟料冷卻速度，煅燒溫度，磨機(jī)轉(zhuǎn)速，水泥細(xì)度和助磨劑摻加量。可見，水泥生產(chǎn)電耗的影響因素眾多，且存在明顯的相關(guān)性[6]。因此，如果可以從以上11個(gè)影響因素中提取出主要的影響因素，并用于水泥生產(chǎn)電耗預(yù)測模型中，就能減少計(jì)算量，提高計(jì)算速度和精度。

2 主成分分析法及多元非線性擬合的原理分析

2.1 主成分分析法

主成分分析法（PCA）是利用降維的思想將多個(gè)變量轉(zhuǎn)變?yōu)樯贁?shù)幾個(gè)綜合變量（主成分），其中每個(gè)主成分都是由原始變量線性組成的且互不相關(guān)。這些主成分所含的信息能反應(yīng)出原始變量的大部分信息，且互不重復(fù)。在數(shù)學(xué)變換時(shí)保證變量總方差不變，同時(shí)新綜合變量則按照方差由大到小的順序排列，即第一主成分、第二主成分[7]……以上思想也可以用數(shù)學(xué)模型表示為：假設(shè)分析n個(gè)樣本涉及p個(gè)變量x1，x2,…,xp的問題，可得n×p階的原始數(shù)據(jù)矩陣：

鑒于實(shí)際問題中涉及到各個(gè)指標(biāo)變量的不同量綱和數(shù)量級的差異，為了避免這種不良影響，人們通常會先將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到無量綱矩陣再由主成分分析法得出新綜合向量：

其中zp是與均不相關(guān)的的所有線性組合中方差最大的。

由大量算例驗(yàn)證[8]可知，經(jīng)PCA分析后大多數(shù)樣品的電耗預(yù)測絕對誤差相比主成分回歸前更小，預(yù)測精度有了明顯的提高。即這種算法可以在保證模型有效的前提下，使復(fù)雜問題簡化，減少運(yùn)算量。此外，經(jīng)PCA預(yù)處理過的新綜合變量之間互不相關(guān)，相當(dāng)于將原始變量進(jìn)行解耦處理，方便下一步分析每個(gè)自變量對因變量的影響關(guān)系，分別進(jìn)行非線性擬合建模。

2.2 現(xiàn)有的多元非線性建模原理及不足

在工業(yè)能耗預(yù)測中，常用多元回歸模型反映預(yù)測量與各因素之間的依賴關(guān)系，其中線性回歸分析有著廣泛應(yīng)用。但客觀數(shù)據(jù)之間并不一定呈線性關(guān)系，有時(shí)非線性回歸模型更為合適。根據(jù)自變量的個(gè)數(shù)，非線性回歸又分為一元非線性回歸和多元非線性回歸。其中一元非線性回歸（曲線回歸）模型主要有倒冪函數(shù)雙曲線函數(shù)冪函數(shù)倒指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)S型函數(shù)等。

現(xiàn)有的多元非線性回歸預(yù)測建模原理[9]為：首先分別建立y與各變量的最佳一元非線性回歸模型，可以由多組數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，由圖像判斷擬選取的模型；也可采用探索性的方法，在SPSS統(tǒng)計(jì)軟件中選中所有曲線模型，綜合比較多個(gè)參數(shù)（如比較相關(guān)系數(shù)R，判定系數(shù)R2，標(biāo)準(zhǔn)誤差SE等）從中選擇最合適的一元回歸模型最后將y對進(jìn)行多元線性回歸，即建立了y對所有變量的多元非線性回歸模型，最后計(jì)算其擬合程度，只要誤差通過檢驗(yàn)即可用于預(yù)測。

然而，上述預(yù)測方法存在一定的不足：求解每個(gè)自變量對因變量的影響關(guān)系時(shí)、建立的一元非線性回歸模型均是基于某種單一非線性初等模型建立的，而實(shí)際上，其函數(shù)復(fù)雜關(guān)系可能是多種非線性初等模型的組合。這與實(shí)際情況可能有一定差距，即此模型精度仍需進(jìn)一步提高。

2.3 改進(jìn)的多元非線性建模原理及優(yōu)勢

2.3.1 思路概述

如上節(jié)所述，分析每個(gè)主成分變量與水泥綜合電耗的影響關(guān)系時(shí)、其函數(shù)復(fù)雜關(guān)系可能是多種非線性初等模型的組合。即每個(gè)主成分變量Xp的總表達(dá)式應(yīng)為：

上述模型在編程求解時(shí)，雖然理論上可以達(dá)到高精度要求，但關(guān)于初值和步長很難確定，且計(jì)算量大、過程繁瑣，得到的模型過于復(fù)雜。

由泰勒公式、麥克勞林級數(shù)等函數(shù)逼近理論[10]可知，初等函數(shù)可以通過冪級數(shù)展開，轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式加和的形式，且誤差也足夠小，即函數(shù)的冪級數(shù)展開問題在數(shù)學(xué)上是可行的。因此，上文中建立的由多個(gè)初等函數(shù)線性組合而成的復(fù)雜模型即可簡化為的形式，再由最小二乘法多項(xiàng)式曲線擬合原理求解未知系數(shù)。

2.3.2 原理及步驟

最小二乘法多項(xiàng)式曲線擬合[11]并不要求這條曲線精確地經(jīng)過所有點(diǎn)，而是曲線的近似曲線給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，求近似曲線,并且使得近似曲線與的偏差最小。近似曲線在點(diǎn)iP處的偏差而以為原則選取擬合曲線的方法，即為最小二乘法。具體步驟如下：

1）設(shè)擬合多項(xiàng)式為：

2）各點(diǎn)到這條曲線的距離之和，即偏差平方和為：

3）為了求得符合條件的系數(shù)，即求極小值需要使ak的偏導(dǎo)數(shù)=0，因而化簡整理得矩陣形式的方程組：

2.3.3 模型優(yōu)勢

本文提出的基于改進(jìn)多元非線性算法的電耗預(yù)測模型在對每個(gè)主成分進(jìn)行一元非線性回歸時(shí)，通過對各種初等函數(shù)冪級數(shù)展開，既考慮了初等函數(shù)的復(fù)雜組合，又使最后的結(jié)果形式統(tǒng)一。在保證高精度要求的同時(shí)，又能使復(fù)雜模型形式簡潔，求解方便。

3 算例分析

本文以平邑中聯(lián)水泥廠為例，分析實(shí)際生產(chǎn)運(yùn)行數(shù)據(jù)，并在主成分分析的基礎(chǔ)上，搭建基于改進(jìn)的多元非線性算法的水泥電耗預(yù)測模型。

3.1 基于PCA的數(shù)據(jù)處理

根據(jù)前文分析的與水泥電耗相關(guān)的十余種影響因素，于平邑中聯(lián)水泥廠的DCS系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫中選定擬采用的典型原始數(shù)據(jù)。值得注意的是，要選取采集時(shí)間最近的數(shù)據(jù)，且排除各種生產(chǎn)故障工況。經(jīng)PCA處理得到四個(gè)正交不相關(guān)的新綜合變量X1、X2、X3、X4的函數(shù)表達(dá)式為：

3.2 現(xiàn)有的多元非線性水泥電耗預(yù)測建模

經(jīng)PCA處理后得到4個(gè)新綜合變量，通過一元曲線回歸分別估算出水泥電耗與各因素的回歸公式，根據(jù)各統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量列出最優(yōu)曲線回歸模型。以X1為例，輸出結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表1所示。

表1 第一主成分的各回歸模型統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

比較幾個(gè)曲線回歸模型的判定系數(shù)R2：其中對數(shù)曲線方程中R2=0.986最大，因此變量X1的最佳一元曲線模型為：

f1同理可得變量X2、X3、X4的一元曲線回歸模型：

于是可建立回歸模型：

用已建立的三個(gè)一元非線性函數(shù)作為輸入變量，線性回歸確定各自系數(shù)，可得結(jié)果：

3.3 改進(jìn)的多元非線性水泥電耗預(yù)測建模

以第一主成分X1與水泥電耗關(guān)系的求解為例，利用MATLAB進(jìn)行非線性回歸擬合。由擬合曲線及所得系數(shù)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：k從0逐漸增大時(shí)，一定范圍內(nèi)，k的增大可以減小模型誤差、提高精確度；但k值也不能過高，當(dāng)k>5，大部分系數(shù)幾乎為0，即便是與自變量的冪數(shù)相乘也很小，而當(dāng)k>10時(shí)擬合的曲線出現(xiàn)畸變。經(jīng)多次嘗試得到k取3時(shí)擬合的曲線最貼近實(shí)際生產(chǎn)運(yùn)行曲線?？傻脭M合曲線表達(dá)式：

同理可得第二、第三主成分分別與y的關(guān)系式為：

剩余步驟同理：建立回歸模型：

確定系數(shù)，得到改進(jìn)后的數(shù)據(jù)擬合計(jì)算公式：

最后分別比較y改進(jìn)、y現(xiàn)有與實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合效果，如圖1、圖2所示。

圖1 預(yù)測電耗與實(shí)際電耗的擬合效果對比圖

圖2 預(yù)測模型的相對誤差對比圖

由圖1、圖2可以明顯看出，改進(jìn)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)的相對誤差更小，即改進(jìn)的多元非線性預(yù)測模型的擬合效果更好。

4 結(jié)論

本文在確定水泥生產(chǎn)電耗影響因素的基礎(chǔ)上，運(yùn)用PCA對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，得到了四個(gè)影響水泥生產(chǎn)電耗的關(guān)鍵因素，并在此基礎(chǔ)上提出了基于改進(jìn)多元非線性算法的電耗預(yù)測模型，有效預(yù)測了水泥生產(chǎn)中的電耗量。以平邑中聯(lián)水泥廠為例驗(yàn)證了此模型的正確性，并得到結(jié)論：經(jīng)PCA處理后確定的水泥生產(chǎn)電耗影響關(guān)鍵因素，能有效表征和替代原始的十一個(gè)影響因素，降低了基于原始數(shù)據(jù)建立的回歸預(yù)測模型的復(fù)雜度；同時(shí)，改進(jìn)的多元非線性擬合模型能有效提高預(yù)測精度，使電耗預(yù)測值與實(shí)際值有較高的吻合度，對于水泥廠的電耗預(yù)測管理具有重要的參考意義。

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