相容半Scott拓?fù)?/h1>
2015-07-04 06:21:56李海龍姜廣浩占詩源張鵬垚
李海龍，姜廣浩，占詩源，張鵬垚
（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）
1 前言
由于Scott，Lawson，Plotkin等人的工作，連續(xù)格理論引起人們的廣泛興趣［1-3］.Scott拓?fù)涫莇omain上最重要的內(nèi)涵拓?fù)渲?，且在連續(xù)domain上又有一些較好性質(zhì).1997年，趙東升［4］基于半素理想，將連續(xù)格推廣到半連續(xù)格.2008年，畢含宇等［5］在完備格上引入了半Scott拓?fù)?，并討論在半連續(xù)格上的一些性質(zhì).受到以上作者的啟發(fā)，本文在相容完備格上引入相容半Scott拓?fù)洌懻撍谙嗳莅脒B續(xù)格上的若干性質(zhì).
定義1.1［6］設(shè)L是格，I?L是理想，若對(duì)任意x,y,z∈L，當(dāng)x∧y∈I，x∧z∈I時(shí)有x∧ (y∨z)∈I，則稱I為L的半素理想.Rd(L)表示L中所有半素理想構(gòu)成的集合.
2 相容半Scott拓?fù)?/h2>
定義2.1設(shè)L是格，?x,y∈L，如果對(duì) ?S∈Rd(L)，若 supS存在，且y≤ supS，有x∈S.則稱x弱 ?關(guān)系y，記為x?wy.
定義2.2設(shè)L是格，S∈Rd(L)稱為L的相容半素理想，如果存在x∈L使得S是L的相容半素理想｝.
例1格L如圖1所示：
圖1 S={a,b,c}是L的相容半素理想
圖2 R={a,b,c,d,e}是半素理想，但不是相容半素理想
例2格L如圖2所示：
定義2.3若格L中任意相容半素理想都有并和交，則稱L是相容完備格.
定義2.4設(shè)L是相容完備格，?x,y∈L，x稱為相容?關(guān)系y，記為x?cy，如果對(duì)?S∈Ic(L)，若y≤supS有x∈S.記為 ?cy=｛x∈L：x?cy｝.
定義2.5設(shè)L是相容完備格，若對(duì) ?x∈L有x≤sup ?cx，則稱L為相容半連續(xù)格.
定義2.6設(shè)L是相容完備格，U?L，若滿足（1）U=↑U，（2）若 ?S∈Ic(L),supS∈U?U?S≠ ?，稱U為相容半Scott 開集.L中相容半Scott 開集構(gòu)成的拓?fù)浞Q為相容半Scott 拓?fù)?，記為σc(L).相容半Scott開集的補(bǔ)集稱為相容半Scott閉集.
相容完備格L的子集X稱為具有性質(zhì)（M），若X滿足：?S∈Ic(L)，若 supS∈X，則 ?y∈S,使 ?x∈S,x≥y?x∈X.
定理 2.1設(shè)L為相容完備格，A?L，若A為相容半Scott 閉集?A為下集且對(duì)相容半素理想并封閉.
證明設(shè)A為相容半Scott閉集?LA為相容半Scott開的?LA是上集且?S∈Ic(L), 若 supS∈LA,有LA?S≠ ? ?A為下集且 ?S∈Ic(L), 若LA?S=? 有 supS?LA.?A為下集且 ?S∈Ic(L)，若S?A有supS∈A.?A為下集且對(duì)相容半素理想并封閉.
定理2.2設(shè)L為相容完備格，A?L，若A為相容半Scott開集?A為上集且有性質(zhì)（M）.
證明“必要性”A為相容半Scott 開集，則A是上集且?S∈Ic()L，若 supS∈A，有A?S≠ ? .從而?y∈A?S，對(duì) ?x∈S,x≥y，由A是上集知x∈A，故A具有性質(zhì)（M）.
“充分性”由A具有性質(zhì)（M），則 ?S∈Ic()L，若 supS∈A，則 ?y∈S,使?x∈S,x≥y有x∈A.從而A?S≠ ?，故A為相容半Scott開集.
定理 2.3設(shè)L為相容完備格，則L的任一下集都具有性質(zhì)（M）.
證明設(shè)A為L的任一下集，?S∈Ic()L，若 supS∈A，由A為下集，故 ?x∈S有x∈A.故A有性質(zhì)（M）.
定理2.4設(shè)L為相容完備格，若存在相容半Scott開集U使y∈U?↑x，則x?cy.
證明設(shè)存在相容半 Scott 開集U，使y∈U?↑x，?S∈Ic()L，若y≤supS，由U為上集，有supS∈U，又由U為相容半Scott開的，有U?S≠ ? .即 ?z∈U?S，由U?↑x，有x≤z∈S.又S為下集，于是有x∈S，由?c的定義知x?cy.
定理2.5設(shè)L是相容完備格，?x∈L，?cx為L的相容半素理想.
證明首先證 ?cx為理想，對(duì) ?a∈?cx，?b∈L，若b≤a，由定理2.1 知b∈?cx，故 ?cx為下集，對(duì)?y,z∈ ?cx，由 ?c的定義知 ?S∈Ic(L)，x≤supS有y,z∈S.由S為理想，故y∨z∈S，從而y∨z∈?cx，所以 ?cx為理想.再證 ?cx為半素理想.設(shè)a∧b∈?cx,a∧c∈?cx，由 ?c的定義知，對(duì) ?S∈Ic(L)，若x≤ supS有a∧b∈S,a∧c∈S.由S為半素理想，有a∧ (b∨c)∈S.再由 ?c的定義知a∧ (b∨c)∈ ?cx，故?cx為半素理想.
下證 ?cx為相容半素理想.?a∈?cx，由 ?c的定義知，?S∈IU(L)，若x≤supS，有a∈S.從而?cx?S，又S為相容半素理想，從而?b∈L使得S??cb，即 ?cx??cb，故 ?cx為相容半素理想.
定理2.6設(shè)L為相容半連續(xù)格，則對(duì)?U?σc(L)有U??{?cx:x∈U}.
證明，由L為相容半連續(xù)格，則x≤sup ?cx，由U為上集知 sup ?cx∈U，由定理2.5知 ?cx∈Ic(L)，又由U為相容半Scott開的，所以有 ?cx?U≠? .設(shè)y∈?cx?U，即y∈?cx且y∈U，從而x∈ ?cy，y∈U，故U? ?{?cx:x∈U}.
定理2.7設(shè)L為相容半連續(xù)格，則對(duì) ?x∈L，有L↓x∈σc(L).
證明顯然L↓x為上集，設(shè) ?S∈Ic(L)，若 supS∈L↓x，假設(shè)S?(L↓x)=? .則有S?↓x，從而 supS≤ sup ↓x=x矛盾.所以S? (L↓x)≠?，從而L↓x為相容半Scott開集.
定義2.7設(shè)L是相容半連續(xù)格，f:L→Q是保序映射，若對(duì) ?S∈Ic(L)有f(s upS)=supf(S)，且↓f(S)∈Ic(Q)，則稱f為強(qiáng)相容半連續(xù)的.
定義 2.8設(shè)L,L′為相容半連續(xù)格，映射f:L→L′關(guān)于相容半Scott拓?fù)溥B續(xù)，則稱f是相容半Scott連續(xù)映射.
定理2.8設(shè)L,L′為相容半連續(xù)格，若f:L→L′是強(qiáng)相容半連續(xù)的保序映射，則f為相容半Scott 拓?fù)溥B續(xù).
證明對(duì) ?U?σc(L′)，由f保序知，f-1(U)為L的上集.設(shè) ?S∈Ic(L)，若 supS∈f-1(U)，由f為強(qiáng)相 容 半 連 續(xù) 的，有f(s upS)=supf(S)=sup ↓f(S)∈U，且 ↓f(S)∈Ic(L)，由U?σc(L′)，有↓f(S)?U≠?，從而 ?x∈↓f(S)?U，于是 ?s∈S，使x≤f(s)，即f(s)∈↑x?U，從而s∈f-1(U)，故S?f-1(U)≠?，由相容半Scott 開集定義知，f-1(U)為L的相容半Scott 的開集，從而f為相容半Scott 拓?fù)溥B續(xù).
［1］BARANGA A.Z-continuous posets［J］.Discrete Math，1996，152：33-45.
［2］ABRAMSKY S，JUNG A.Domain theory.Handbook of logic in comuter sci（vol.3）［M］.Oxford：Clarendon Press，1994.
［3］GIERZ G.A compendium of continuous lattices［M］.Cambridge：Cambridge University press，2003.
［4］ZHAO D.Semicotinuous lattice［J］.Algebraic Universalis，1997，37（4）：458-476.
［5］畢含宇，徐曉泉.半連續(xù)格上的半Scott拓?fù)渑c半Lawson拓?fù)洌跩］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，22（2）：75-81.
［6］李高林，徐羅山，陳昱.半連續(xù)格上的半基和局部半基［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010，24（1）：51-55.
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例1格L如圖1所示：
圖1 S={a,b,c}是L的相容半素理想
圖2 R={a,b,c,d,e}是半素理想，但不是相容半素理想
例2格L如圖2所示：
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定義2.4設(shè)L是相容完備格，?x,y∈L，x稱為相容?關(guān)系y，記為x?cy，如果對(duì)?S∈Ic(L)，若y≤supS有x∈S.記為 ?cy=｛x∈L：x?cy｝.
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證明“必要性”A為相容半Scott 開集，則A是上集且?S∈Ic()L，若 supS∈A，有A?S≠ ? .從而?y∈A?S，對(duì) ?x∈S,x≥y，由A是上集知x∈A，故A具有性質(zhì)（M）.
“充分性”由A具有性質(zhì)（M），則 ?S∈Ic()L，若 supS∈A，則 ?y∈S,使?x∈S,x≥y有x∈A.從而A?S≠ ?，故A為相容半Scott開集.
定理 2.3設(shè)L為相容完備格，則L的任一下集都具有性質(zhì)（M）.
證明設(shè)A為L的任一下集，?S∈Ic()L，若 supS∈A，由A為下集，故 ?x∈S有x∈A.故A有性質(zhì)（M）.
定理2.4設(shè)L為相容完備格，若存在相容半Scott開集U使y∈U?↑x，則x?cy.
證明設(shè)存在相容半 Scott 開集U，使y∈U?↑x，?S∈Ic()L，若y≤supS，由U為上集，有supS∈U，又由U為相容半Scott開的，有U?S≠ ? .即 ?z∈U?S，由U?↑x，有x≤z∈S.又S為下集，于是有x∈S，由?c的定義知x?cy.
定理2.5設(shè)L是相容完備格，?x∈L，?cx為L的相容半素理想.
證明首先證 ?cx為理想，對(duì) ?a∈?cx，?b∈L，若b≤a，由定理2.1 知b∈?cx，故 ?cx為下集，對(duì)?y,z∈ ?cx，由 ?c的定義知 ?S∈Ic(L)，x≤supS有y,z∈S.由S為理想，故y∨z∈S，從而y∨z∈?cx，所以 ?cx為理想.再證 ?cx為半素理想.設(shè)a∧b∈?cx,a∧c∈?cx，由 ?c的定義知，對(duì) ?S∈Ic(L)，若x≤ supS有a∧b∈S,a∧c∈S.由S為半素理想，有a∧ (b∨c)∈S.再由 ?c的定義知a∧ (b∨c)∈ ?cx，故?cx為半素理想.
下證 ?cx為相容半素理想.?a∈?cx，由 ?c的定義知，?S∈IU(L)，若x≤supS，有a∈S.從而?cx?S，又S為相容半素理想，從而?b∈L使得S??cb，即 ?cx??cb，故 ?cx為相容半素理想.
定理2.6設(shè)L為相容半連續(xù)格，則對(duì)?U?σc(L)有U??{?cx:x∈U}.
證明，由L為相容半連續(xù)格，則x≤sup ?cx，由U為上集知 sup ?cx∈U，由定理2.5知 ?cx∈Ic(L)，又由U為相容半Scott開的，所以有 ?cx?U≠? .設(shè)y∈?cx?U，即y∈?cx且y∈U，從而x∈ ?cy，y∈U，故U? ?{?cx:x∈U}.
定理2.7設(shè)L為相容半連續(xù)格，則對(duì) ?x∈L，有L↓x∈σc(L).
證明顯然L↓x為上集，設(shè) ?S∈Ic(L)，若 supS∈L↓x，假設(shè)S?(L↓x)=? .則有S?↓x，從而 supS≤ sup ↓x=x矛盾.所以S? (L↓x)≠?，從而L↓x為相容半Scott開集.
定義2.7設(shè)L是相容半連續(xù)格，f:L→Q是保序映射，若對(duì) ?S∈Ic(L)有f(s upS)=supf(S)，且↓f(S)∈Ic(Q)，則稱f為強(qiáng)相容半連續(xù)的.
定義 2.8設(shè)L,L′為相容半連續(xù)格，映射f:L→L′關(guān)于相容半Scott拓?fù)溥B續(xù)，則稱f是相容半Scott連續(xù)映射.
定理2.8設(shè)L,L′為相容半連續(xù)格，若f:L→L′是強(qiáng)相容半連續(xù)的保序映射，則f為相容半Scott 拓?fù)溥B續(xù).
證明對(duì) ?U?σc(L′)，由f保序知，f-1(U)為L的上集.設(shè) ?S∈Ic(L)，若 supS∈f-1(U)，由f為強(qiáng)相 容 半 連 續(xù) 的，有f(s upS)=supf(S)=sup ↓f(S)∈U，且 ↓f(S)∈Ic(L)，由U?σc(L′)，有↓f(S)?U≠?，從而 ?x∈↓f(S)?U，于是 ?s∈S，使x≤f(s)，即f(s)∈↑x?U，從而s∈f-1(U)，故S?f-1(U)≠?，由相容半Scott 開集定義知，f-1(U)為L的相容半Scott 的開集，從而f為相容半Scott 拓?fù)溥B續(xù).
［1］BARANGA A.Z-continuous posets［J］.Discrete Math，1996，152：33-45.
［2］ABRAMSKY S，JUNG A.Domain theory.Handbook of logic in comuter sci（vol.3）［M］.Oxford：Clarendon Press，1994.
［3］GIERZ G.A compendium of continuous lattices［M］.Cambridge：Cambridge University press，2003.
［4］ZHAO D.Semicotinuous lattice［J］.Algebraic Universalis，1997，37（4）：458-476.
［5］畢含宇，徐曉泉.半連續(xù)格上的半Scott拓?fù)渑c半Lawson拓?fù)洌跩］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，22（2）：75-81.
［6］李高林，徐羅山，陳昱.半連續(xù)格上的半基和局部半基［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2010，24（1）：51-55.
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