李風玲,文 輝

(惠州學院建筑與土木工程系,廣東惠州 516007)

標準馬蹄形斷面正常水深的直接近似計算公式

李風玲,文 輝

(惠州學院建筑與土木工程系,廣東惠州 516007)

針對目前標準馬蹄形斷面正常水深計算過程煩瑣、公式復(fù)雜的缺陷,對標準馬蹄形斷面均勻流基本方程進行數(shù)學變換,根據(jù)水工隧洞設(shè)計規(guī)范的要求和工程實際應(yīng)用情況確定公式的適用范圍,應(yīng)用擬合優(yōu)化原理得到標準馬蹄形斷面正常水深的簡捷、實用的計算公式。計算結(jié)果表明:在工程常用范圍內(nèi)計算的正常水深最大相對誤差為0.585%,整個區(qū)間內(nèi)95%以上的計算點相對誤差小于0.20%,精度較高,能夠滿足工程實踐的需要。

標準馬蹄形斷面;正常水深;直接計算公式;無量綱水深;水力計算

目前國內(nèi)外學者對輸水隧洞工程的圓形、蛋形、城門洞形等斷面形式的水力計算問題進行了較為深入的分析和研究,也得到了許多簡捷計算公式,解決了不少常規(guī)算法存在的工程實際問題[1-11]。馬蹄形斷面隧洞力學條件好、水力學條件優(yōu)越,特別適合于圍巖壓力大的地質(zhì)情況,是水利水電工程最常用的斷面形式之一。為了滿足工程建設(shè)的需要,自20世紀80年代就開始了標準馬蹄形斷面的水力計算研究,較好地解決了相關(guān)工程問題[12-18],但也存在著以下缺陷:①公式應(yīng)用范圍被無限地擴大,最大無量綱水深竟達1.85,遠超出規(guī)范的上限要求,無法滿足無壓明流的條件;最小無量綱水深太小,也嚴重脫離工程實際需要。②公式大多為對應(yīng)3種水深工況下的分段函數(shù),使用時首先需要進行判別,然后選擇對應(yīng)的公式,最后才能得到結(jié)果,計算過程煩瑣。③過分追求計算精度也導(dǎo)致公式形式較復(fù)雜。鄭博等[19]較好地解決了標準馬蹄形斷面的臨界水深計算,但關(guān)于正常水深的直接計算未見報道。本文從馬蹄形斷面均勻流基本方程出發(fā),依據(jù)給水排水工程規(guī)范及水利工程規(guī)范等要求,考慮工程實際情況,合理地確定公式的應(yīng)用范圍,對無量綱水深和無量綱參數(shù)之間的關(guān)系進行研究分析,應(yīng)用優(yōu)化擬合方法,得到馬蹄形斷面正常水深的直接近似計算公式,為標準馬蹄形斷面的工程設(shè)計和運用提供參考。

1 標準馬蹄形斷面的構(gòu)成及其水力要素

1.1 斷面構(gòu)成

馬蹄形斷面是由1個底弧、2個圓弧側(cè)拱和1個圓弧頂拱構(gòu)成,如圖1所示。圖1中h為過水斷面對應(yīng)的水深,m;r為頂拱半徑,m;R為兩側(cè)拱半徑和底拱半徑(標準Ⅰ型馬蹄形斷面R=3r、標準Ⅱ型馬蹄形斷面R=2r),m;θ為底拱的弦對應(yīng)的圓心半角或兩側(cè)拱對應(yīng)的圓心角,rad;β為過水斷面底拱對應(yīng)的圓心半角,rad;γ為過水斷面?zhèn)裙皩?yīng)的圓心角,rad;φ為過水斷面頂拱對應(yīng)的圓心角,rad; e為標準馬蹄形斷面的底拱高度,m。

圖1 標準馬蹄形過水斷面

1.2 水力要素

過水斷面面積A、濕周χ及水深h分別為

1.3 無量綱水深表達式

設(shè)無量綱水深X為水深與斷面頂拱半徑之比:

3種不同水深條件下的未知圓心角就可用無量綱水深來表示:

式中Xe為標準馬蹄形斷面的無量綱底拱高度。

1.4 計算公式適用范圍

從理論上講,無量綱正常水深的取值范圍應(yīng)是[0,2]。根據(jù)DL/T 5195—2004《水工隧洞設(shè)計規(guī)范》[20],為了保證無壓隧洞能在水位變化或波浪起伏的情況下仍能保持無壓流狀態(tài),要求通過最大流量時洞內(nèi)水面以上的空間面積不小于隧洞橫斷面面積的15%,凈空高度大于0.40m,即

將φ=0代入式(1),得馬蹄形全斷面面積A0:

計算通過最大流量時洞內(nèi)過水斷面面積A*,有

式中φ*為通過最大流量時洞內(nèi)過水斷面頂拱對應(yīng)的圓心角,rad。

將式(7)和式(8)代入式(6),可得三角超越方程:

方程(9)無法直接求解,經(jīng)過試算:當標準Ⅰ型馬蹄形斷面t=3時,φ*=1.9468,代入式(2)得無量綱水深的上限值X*=1.563;當標準Ⅱ型馬蹄形斷面t=2時,φ*=1.9310,代入式(2)得無量綱水深的上限值X*=1.569。

考慮到適當外延,馬蹄形斷面無量綱水深的上限值統(tǒng)一取1.60;根據(jù)絕大多數(shù)工程實際應(yīng)用情況,過小水深是沒有工程實際意義的,無量綱水深的下限值統(tǒng)一取0.20,故確定的無量綱水深計算公式的工程適用范圍為[0.20,1.60]。

2 標準馬蹄形斷面的簡化計算公式

2.1 正常水深的基本方程

根據(jù)DL/T5195—2004《水工隧洞設(shè)計規(guī)范》和工程實際要求,馬蹄形過水斷面隧洞必須是無壓流動,應(yīng)按恒定均勻流計算,采用以曼寧公式表示的明渠均勻流方程計算其正常水深。

式中:Q為流量,m3/s;i為隧洞底坡比降;n為糙率系數(shù)。

2.2 正常水深的隱函數(shù)表達式

將式(5)代入式(1)～(3),再代入式(10)并整理,可得標準馬蹄形斷面無量綱正常水深的隱函數(shù)表達式:

2.3 正常水深的簡化計算公式

為了方便研究,將式(11)左側(cè)的已知量設(shè)為無量綱參數(shù),即

本文以冪函數(shù)構(gòu)造計算公式形式,通過進行大量試算,并采用編程逐步優(yōu)化擬合的方法,得出標準無量綱正常水深的近似計算公式,定義Ⅰ型、Ⅱ型馬蹄形斷面無量綱正常水深分別為XnⅠ、XnⅡ。

標準Ⅰ型馬蹄形斷面無量綱正常水深的簡化計算公式為

標準Ⅱ型馬蹄形斷面無量綱正常水深的簡化計算公式為

3 公式評價

給出范圍為[0.20,1.60]的無量綱正常水深X,由式(11)和式(12)求得無量綱參數(shù)M,由式(13)或

公式(13)和式(14)均為簡單的冪函數(shù)形式,不是分段函數(shù)表示,不需通過判別適用范圍來選擇公式,因此簡捷實用。通過對工程常用范圍(0.2≤h/r≤1.6)的10000個計算點進行觀察得出:求解正常水深的最大相對誤差為0.585%,其中95%以上的計算點相對誤差小于0.20%,精度較高,完全滿足工程實踐的需要。

4 實例應(yīng)用

某輸水隧洞擬采用標準Ⅰ型馬蹄形斷面,Q= 32m3/s,r=1.5m,i=0.006,n=0.014。由式(12)求得參數(shù)M=1.961 669;由式(13)求得無量綱正常水深XnⅠ=1.513 644;由式(4)求得正常水深hnⅠ= 2.270m(試算的精確值為2.271m),相對誤差為-0.04%。

圖2 計算誤差分布

5 結(jié) 語

目前對于標準馬蹄形斷面的正常水深計算仍是十分復(fù)雜而煩瑣的問題。本文對正常水深均勻流基本方程進行變換,用冪函數(shù)構(gòu)造直接計算公式形式,運用擬合原理,提出了標準馬蹄形斷面正常水深的直接計算公式,所得公式不是分段函數(shù),不需通過條件判別來選取計算公式,直接計算即可得到結(jié)果,簡捷、方便、實用。在工程適用范圍(0.20≤X≤1.60)內(nèi),求解正常水深的最大相對誤差為0.585%,其中超過95%的計算點其相對誤差絕對值小于0.20%,精度較高,完全滿足工程實際需要。

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The exp licit formula for normal water depth in the standard horseshoe cross-section

LI Fengling,WEN Hui (Department of Architecture and Civil Engineering,Huizhou University,Huizhou 516007,China)

The calculation formula of normalwater depth in the standard type horseshoe cross-section presents shortcomings such as complicated formula and cumbersome process.To overcome this,herewemathematically transform the fundamental equations of uniform flow in the standard type horseshoe cross-section tunnels.By determining the range of the formula according to the hydraulic tunnel design specification and engineering application,we obtained a simple and feasible calculation formula for normal water depth in the standard type horseshoe cross-section tunnels based on the principle of optimization.Results showed that themaximum relative error of normal water depth was 0.585%in the utility range,and the relative error over 95%of the whole range was less than 0.20%.The proposed formula satisfies the needs of engineering practice due to its high accuracy and simple form.

standard horseshoe cross-section,normal water depth,direct calculation formula,dimensionless depth; hydraulic calculation

TV131.4

A

1006-7647(2015)02-0043-04

10.3880/j.issn.1006 7647.2015.02.009

2013-12-02 編輯:周紅梅)

惠州學院引進教授、博士科研啟動基金(C510.0211);惠州學院重點培育學科項目(ZDPYXK1404)

李風玲(1964—),女,重慶梁平人,副教授,主要從事水力學研究。E-mail:mmlflmm@163.com