陳越，李明林

(福州大學 機械工程及自動化學院, 福建 福州 350108)

碳納米管質(zhì)量傳感器振動特性研究

陳越，李明林

(福州大學 機械工程及自動化學院, 福建 福州 350108)

基于歐拉-伯努利梁理論對單壁碳納米管質(zhì)量傳感器的振動特性進行研究。分別考慮懸臂梁式和兩端固定式碳納米管質(zhì)量傳感器，研究吸附質(zhì)量對其諧振頻率漂移的影響。推導(dǎo)出任意位置的吸附質(zhì)量下，碳納米管質(zhì)量傳感器的等效剛度、等效質(zhì)量和諧振頻率的解析表達式，推導(dǎo)出傳感器的非線性應(yīng)用方程及其簡化形式。在特定位置下吸附質(zhì)量對不同長度碳納米管諧振頻率的影響進行了研究。數(shù)值仿真結(jié)果表明，對于不同的邊界約束和特定的吸附位置條件下，吸附質(zhì)量越大、碳納米管的長度越短，導(dǎo)致的碳納米管頻率漂移越大。對于8 nm長的碳納米管，在懸臂式約束下，吸附質(zhì)量越遠離固定端，引起的頻率漂移越大。而在兩端固定約束下，則是吸附質(zhì)量越靠近固定端，頻率漂移越大。揭示了傳感器的諧振特性，有助于促進碳納米管在納機諧振器領(lǐng)域的推廣應(yīng)用。

單壁碳納米管；質(zhì)量傳感器；歐拉-伯努利梁理論；諧振頻率

0 引言

近20年來，微納米懸臂梁作為一類新型的傳感器已在物理、化學和生物等領(lǐng)域獲得廣泛的關(guān)注和研究。其發(fā)展目標之一是不斷提高和突破對待測物理量的檢測極限。例如，1994年Barnes[1]就首次用微米復(fù)合懸臂梁將傳統(tǒng)熱量計的檢測極限由約10-8W提高到10-10W量級。2000年，F(xiàn)ritz[2]首次展示利用硅微米懸臂梁陣列檢測單個堿基錯配的試驗范例，其檢測濃度極限可達10-8Mol。2001年，Ilic[3]根據(jù)質(zhì)量吸附引起硅微米懸臂梁諧振頻率的漂移測出單個E.coli細菌的質(zhì)量(665×10-12g)。隨著懸臂梁尺寸的縮小，特別是碳納米管的引入，使得單個原子質(zhì)量分辨率的檢測能力得以提高[4-6]。然而，關(guān)鍵的問題是如何定量描述待測物理量與系統(tǒng)頻率響應(yīng)之間的關(guān)系。

考慮到碳納米管的尺度效應(yīng)，Hwang[7]研究團隊針對多種質(zhì)量吸附方式，利用分子動力學模擬研究了碳納米管諧振運動的漂移效應(yīng)。作者團隊[8]也曾利用分子結(jié)構(gòu)力學方法和分子動力學模擬方法研究過苯環(huán)分子吸附在碳納米管外壁時引起的諧振頻率漂移特性。考慮到工程應(yīng)用的實用性，基于歐拉-伯努利梁理論的碳納米管諧振運動方程具有簡潔的解析表達式，Chowdhury[9]等人推導(dǎo)出特定吸附位置下，碳納米管諧振特性與吸附質(zhì)量間的實用性工程應(yīng)用關(guān)系。然而，吸附位置的變化對諧振頻率漂移影響則尚未得以深入研究。

文中以碳納米管作為傳感器檢測吸附質(zhì)量大小，質(zhì)量檢測的原理是諧振頻率對諧振器質(zhì)量(諧振器質(zhì)量包括諧振器自身質(zhì)量和附加物質(zhì)量)變化的敏感性，諧振器上附加微小質(zhì)量的改變引起其頻率漂移。對于吸附物引起碳納米管固有諧振頻率變化的研究，連續(xù)體力學模型常將附著物的質(zhì)量等效為作用于梁上的外加載荷[8]，現(xiàn)將以懸臂式和兩端固定式單壁碳納米管分別進行研究，運用連續(xù)介質(zhì)力學理論推導(dǎo)出任意位置的吸附質(zhì)量下，碳納米管質(zhì)量傳感器的等效剛度、等效質(zhì)量和諧振頻率的解析表達式，并推導(dǎo)出傳感器的非線性應(yīng)用方程及其簡單線性近似和立方近似。此外，對碳納米管長度在1nm～1μm范圍內(nèi)，特定位置的吸附質(zhì)量對諧振頻率的影響進行研究。此理論研究工作將為納機械質(zhì)量傳感器的器件設(shè)計和性能優(yōu)化提供必要的理論指導(dǎo)。

1 單壁碳納米管附加質(zhì)量的諧振頻率

連續(xù)體介質(zhì)理論在研究單壁碳納米管中得到廣泛的運用,連續(xù)介質(zhì)力學模型常將附著物的質(zhì)量等效為作用于梁上的附加載荷，適用于本研究模型。為了得到附加質(zhì)量的簡單解析表達式，應(yīng)用歐拉-伯努利理論把單壁碳納米管簡化為梁模型，自由振動的運動方程為：

(1)

式中：E為楊氏模量，I是截面二次矩，ρ和S分別為材料的密度和截面積。

根據(jù)單壁碳納米管的邊界條件和附加質(zhì)量位置，可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的諧振頻率。在此只考慮基頻，可以描述為：

(2)

其中：keq和meq分別為一階振動形式單壁碳納米管上吸附質(zhì)量的等效剛度和等效質(zhì)量。有吸附質(zhì)量與無吸附質(zhì)量時，系統(tǒng)產(chǎn)生的頻率漂移情況將被研究。

1.1 吸附質(zhì)量位置在距固定端長度為a的懸臂梁式單壁碳納米管

假設(shè)吸附質(zhì)量為M，碳納米管長度為L，吸附質(zhì)量位置距固定端長度為a，如圖1，給定在附加質(zhì)量位置的一個虛擬力，使碳納米管產(chǎn)生一個單位位移。這種假設(shè)可見于文獻[10]。

圖1 吸附質(zhì)量位置在距固定端長度為 a的懸臂梁式單壁碳納米管

梁模型撓曲線方程為：

令吸附質(zhì)量作用下產(chǎn)生的撓度為單位長度1，此時等效剛度為：

(3)

在y軸方向的位移方程為：

將梁的位移曲線方程Y(x)作為近似振型，假設(shè)簡諧運動y(x,t)=Y(x)exp(iω0t),ω0為系統(tǒng)的固有角頻率,則得出系統(tǒng)的動能為：

可得出等效質(zhì)量為：

(4)

代入方程(2),

(5)

可得出諧振頻率為：

(6)

當沒有吸附質(zhì)量，也就是式(6)中ΔM=0時，

fom=α

(7)

結(jié)合式(6)式(7)，諧振頻率可以寫為：

(8)

1.2 吸附質(zhì)量位置在距左端長度為a的兩端固定梁式單壁碳納米管

假設(shè)吸附質(zhì)量為M，碳納米管長度為L，吸附質(zhì)量位置距左端長度為a，如圖2，給定在附加質(zhì)量位置的一個虛擬力，使碳納米管產(chǎn)生一個單位位移。這種假設(shè)可見于文獻[10]。

圖2 吸附質(zhì)量位置在距左端長度為 a的兩端固定梁式單壁碳納米管

梁總長度L=a+b，此結(jié)構(gòu)為二次超靜定結(jié)構(gòu)，把固定端A看成由一個支反力RA和一個彎矩MA合成，A端處撓度和轉(zhuǎn)角都為零。

在距A端x3處的界面撓度方程為：

在距A端x4處的界面梁模型撓度方程為：

令載荷作用下產(chǎn)生的撓度為單位長度1，此時等效剛度為：

(9)

在y軸方向的位移方程為：

Y2(x)=-

代入b=L-a,得出動能為:

等效載荷為:

(10)

代入式(2)可得出諧振頻率為：

(11)

(12)

其中：

當沒有吸附質(zhì)量，也就是方程(12)中ΔM=0時，f0m通過以上方程可以得到由于頻率改變而測出附加的質(zhì)量大小。

2 傳感器方程的一般表達式推導(dǎo)

本節(jié)推導(dǎo)了通過單壁碳納米管頻率變化檢測吸附質(zhì)量大小的一般表達式，一般表達式的推導(dǎo)有助于促進碳納米管在納米機械諧振器領(lǐng)域的進一步推廣應(yīng)用。結(jié)合式(7)式(8)，頻率變化可以描述為：

(13)

由此可以得出：

(14)

此方程反映了頻率變化與吸附質(zhì)量之間的關(guān)系。把式(14)泰勒展開可得：

(15)

因此，保留第一項和保留前3項就變成線性近似和立方近似：

(16)

(17)

單壁碳納米管吸附質(zhì)量與頻率變化之間的關(guān)系如圖3。式(15)中的精確解將與式(16)線性近似和式(17)立方近似對比分析。

圖3 單壁碳納米管吸附質(zhì)量與頻率變化關(guān)系歸一化圖

由圖3可知, 任意位置的吸附質(zhì)量的質(zhì)量與頻率變化關(guān)系圖3(a)與吸附質(zhì)量位置在端點和中點的質(zhì)量與頻率變化關(guān)系圖3(b)圖形基本一致。

綜上可知，無量綱常數(shù)α與邊界條件有關(guān)，懸臂式與兩端固定式單臂碳納米管有著相似的質(zhì)量與諧振頻率變化規(guī)律，并且不同位置的吸附質(zhì)量有著相同的質(zhì)量與諧振頻率變化規(guī)律。

3 推導(dǎo)的公式與三維圖分析

3.1 懸臂梁式單壁碳納米管模型

3.1.1 吸附質(zhì)量在距固定端長度為a的位置

選取的單壁碳納米管主要參數(shù)如下:

E=1.0Tpa

L=8nm

ρ=2.24g/cc

D=1.1nm

d=0.5nm

諧振頻率方程為:

把選取參數(shù)代入后,以a為x軸,范圍是1～8nm(因為0～1nm范圍內(nèi)梁模型誤差較大，并且在微觀環(huán)境下極其靠近固定端時附加載荷位置難以控制。以下模型的長度范圍選擇依據(jù)同上),步長為0.08nm;以M為y軸,范圍是0～8×10-22kg,步長為8×10-25kg,得出的位置a、質(zhì)量M與頻率變化Δf之間的關(guān)系如圖4:

圖4 吸附質(zhì)量在距固定端長度為a的位置的懸臂梁式 單壁碳納米管位置a、質(zhì)量M與頻率變化Δf之間的關(guān)系圖

從圖4中可以看出，當碳納米管長度為8nm時，位置a、質(zhì)量M的改變對頻率Δf影響明顯，且隨著a、M的增大Δf的值增大，在自由端處達到最大值,即吸附質(zhì)量加載在自由端,頻率變化量最大,最佳測量位置即靈敏度最高的位置為自由端。這與式中M和a與Δf的變化規(guī)律相一致。

3.1.2 吸附質(zhì)量在端點(a=L時)

對長度L在1μm到1nm的范圍內(nèi)與質(zhì)量和諧振頻率的關(guān)系進行研究,其余參數(shù)不變,納米諧振頻率方程變?yōu)?

(18)

把選取參數(shù)代入后,以L為x軸,范圍是1μm～1nm,步長為1nm;以M為y軸,范圍是0～10～22kg,步長為10-25kg,得出的長度L、質(zhì)量M與頻率變化Δf之間的關(guān)系如圖5。

圖5 吸附質(zhì)量在懸臂梁式單壁碳納米管端點(a=L時) 位置a、質(zhì)量M與頻率變化Δf之間的關(guān)系圖

從圖5中可以看出，碳納米管的長度L、質(zhì)量M的改變對頻率Δf影響明顯，隨著L的減小Δf的值增大，長度L在接近1nm時有個陡增的過程；而隨M增大Δf的值增大，而M增量比較平緩。

3.2 兩端固定式單壁碳納米管模型

3.2.1 吸附質(zhì)量在距左端長度為a的位置

諧振頻率變化方程為:

(18)

把選取參數(shù)代入后,以a為x軸,范圍是1～7nm,步長為0.08nm;以M為y軸,范圍是0～8×10-22kg,步長為8×10-25kg,得出的位置a、質(zhì)量M與頻率變化Δf之間的關(guān)系如下圖6。

圖6 吸附質(zhì)量在距左端長度為a的位置的橋式 單壁碳納米管位置a、質(zhì)量M與頻率變化Δf之間的關(guān)系圖

從圖6中可以看出，當碳納米管長度為8nm時，圖形關(guān)于梁中間位置(圖中4nm處)對稱,當a取在中間位置時Δf最小,向兩側(cè)固定端逐漸增大，隨著M的增大Δf的值增大。

3.2.2 吸附質(zhì)量在中點(a=L/2時)

對長度L在1μm～1nm的范圍內(nèi)與質(zhì)量和諧振頻率的關(guān)系進行研究,其余參數(shù)不變,納米諧振頻率方程變?yōu)?

(19)

把選取參數(shù)代入后,以L為x軸,范圍是1μm～1nm,步長為1nm;以M為y軸,范圍是0～10～22kg,步長為10-25kg,得出的長度L、質(zhì)量M與頻率Δf之間的關(guān)系如圖7。

圖7 吸附質(zhì)量在兩端固定式單壁碳納米管中點 (a=L/2時) 位置a、質(zhì)量M與頻率變化Δf之間的關(guān)系圖

可見，碳納米管的長度L、質(zhì)量M的改變對頻率Δf影響明顯，隨著L的減小fn的值增大，長度L在接近1nm時有個陡增的過程,隨M增大Δf逐漸增加。圖5和圖7變化規(guī)律十分相似,說明懸臂梁式與兩端固定式單壁碳納米在邊界條件不同的情況下,隨長度的變化有相似的諧振頻率變化規(guī)律。

4 結(jié)語

介紹了基于連續(xù)介質(zhì)力學理論的單壁碳納米管作為質(zhì)量傳感器的一種研究方法。以懸臂式和兩端固定式單壁碳納米管分別進行研究，推導(dǎo)了單壁碳納米管上任意位置的附加載荷與其諧振頻率的聯(lián)系方程和非線性諧振方程的簡單線性近似和立方近似，以及位置、質(zhì)量、諧振頻率之間的圖像分析。對碳納米管長度在1nm～1μm范圍內(nèi)，特定位置的附加載荷對諧振頻率的影響進行研究。結(jié)果表明，對于不同的邊界約束和特定的吸附位置條件下，吸附質(zhì)量越大、碳納米管的長度越短，導(dǎo)致的碳納米管頻率漂移越大。對于8nm長的碳納米管，在懸臂式約束下，吸附質(zhì)量越遠離固定端，引起的頻率漂移越大。而在兩端固定約束下，則是吸附質(zhì)量越靠近固定端，頻率漂移越大。新型傳感器諧振方程運用在基于生物傳感器的碳納米管上具有更廣泛的實用性。

[1] Barnes,J. R.，Stephenson R. J.,Welland M.E., et. al. Nature. 1994, 372,79.

[2] Fritz J.，Baller M. K.，Lang H. P., et. al. Science, 2000, 288, 316.

[3] llic B.，Czaplewski D., Zalalutdinov M.，et. al. J. Vac. Sci. Technol. B, 2001, 19 (6)，2825.

[4] Jensen, K., Kim, K. & Zettl, A.，Nat. Nanotech.，2008, 3, 533-537.

[5] Lassagne, B. , Garcia-Sanchez, D.，Aguasca, A. et. al. Nano Lett.，2008,8(11)，3735-3738.

[6] Chiu, H. -Y., Hung, P., Postma, H. W. Ch. et. al. Nano lett.，2008, 8(12)，4342-4346.

[7] Wang, D.H., Wang, G.F., J. Nanomater. 2011, 2011, 12.

[8] 李明林,葉偉,楊曉翔.分子化學吸附對碳納米管諧振頻率的影響[A]. 第十二屆全國物理力學學術(shù)會議,CSTAM(2012)D01-0089.

[9] R. Chowdhury ,S.Adhikari , J.Mitchell, Vibrating carbon nanotube based bio-sensors[J]. Physica E 42 (2009) 104-109.

[10] J.E. Shigley, Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill, USA, 1988.

Investigation on the Vibration of Carbon Nanotube Based Mass Sensors

CHEN Yue,LI Minglin

(School of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350108, China)

Vibrational properties of single-walled carbon nanotubes (SWCNTs) as a mass sensor is examined using Euler-Bernoulli beam theory based approach. In order to figure out how the attached mass affects the resonant frequency of the carbon nanotube resonators, the resonators both in bridged and in cantilevered configurations are studied. Firstly, analytical formulas of equivalent stiffness, equivalent mass and resonant frequency are developed for CNT-based nanoresonators with attached mass at any location. In addition, a simplified form of the nonlinear sensor equation and image analysis of the relationship among load location, the attached mass and resonant frequency have been investigated. Then for different lengths of SWCNTs, the influence of the attached mass in a specific location on the resonant frequency has been derived. The simulation results indicate that in the condition of different boundary constraints and the specific adsorption location, the heavier attached mass and shorter carbon nanotube is,the greater frequency drift will be. As for the nanotube of 8nm, the attached mass which is farther away from the fixed boundary causes the greater frequency drift in cantilevered. While the attached mass closer to the fixed boundary causes the greater frequency drift in bridged. The results illustrate that the new vibrational properties can be used for CNT-based mass sensors for further promote application.

SWCNTs, Mass sensor, Euler-Bernoulli Beam Theory, Resonant frequency

國家自然科學青年科學基金課題(50903017)

陳越(1987-)，男，湖南長沙人，碩士研究生，研究方向為固體力學。

TP212

A

1671-5276(2015)05-0171-05

2014-03-04