趙 輝，范冬林，岳有軍， 王紅君

(天津理工大學天津市復雜控制理論與應用重點實驗室，天津300384)

一類非線性電力系統(tǒng)混沌振蕩產(chǎn)生機理的研究

趙 輝，范冬林，岳有軍， 王紅君

(天津理工大學天津市復雜控制理論與應用重點實驗室，天津300384)

針對電力系統(tǒng)混沌振蕩產(chǎn)生機理的問題，借助于一個非線性三參數(shù)二機電力系統(tǒng)模型，采用同宿軌道的Melnikov函數(shù)計算法，給出了電力系統(tǒng)出現(xiàn)混沌振蕩現(xiàn)象的臨界條件和參數(shù)區(qū)域，尤其論證了小擾動也可誘發(fā)混沌。闡明了系統(tǒng)在周期性負荷擾動情況下產(chǎn)生混沌振蕩的條件，即系統(tǒng)在受到較大周期性負荷擾動時，電力系統(tǒng)將出現(xiàn)混沌振蕩；當周期性負荷擾動較小，但是阻尼系數(shù)在一定的范圍內(nèi)，系統(tǒng)仍將出現(xiàn)混沌振蕩；當周期性性擾動較小，阻尼系數(shù)在一定范圍之外，系統(tǒng)不會出現(xiàn)混沌振蕩；當周期性負荷擾動為零時，系統(tǒng)不會出現(xiàn)混沌振蕩。通過仿真實驗證實了電力系統(tǒng)在受到周期性負荷擾動時出現(xiàn)混沌振蕩現(xiàn)象的條件。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)和電力系統(tǒng)非線性模型的幾何結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，同時也與電力系統(tǒng)的運行參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)有聯(lián)系。

電力系統(tǒng)；混沌；混沌振蕩；擾動；阻尼

電力系統(tǒng)在干擾的作用下不發(fā)生危及設備的振蕩并保持全系統(tǒng)發(fā)電機組同步運行的能力，稱為電力系統(tǒng)的動態(tài)安全可靠性。而電力系統(tǒng)混沌振蕩是關(guān)系電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行的重要因素，其表現(xiàn)為非周期的、貌似無規(guī)則的、突發(fā)性或陣發(fā)性的機電振蕩，在振蕩嚴重的情況下會導致互聯(lián)系統(tǒng)的解列。電力系統(tǒng)是一個典型的非線性系統(tǒng)，針對電力系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析和研究只適用小擾動、小偏差系統(tǒng)。而對于大偏差系統(tǒng)，傳統(tǒng)方法并不適應電力系統(tǒng)在大干擾情況下穩(wěn)定性的要求。

非線性科學的長足發(fā)展為研究動力系統(tǒng)的分枝與混沌提供了方法。為了有效地控制和消除電力系統(tǒng)的混沌振蕩，必須研究混沌振蕩產(chǎn)生的機理和參數(shù)控制范圍。本文應用Mlnikov方法對三參數(shù)二機電力系統(tǒng)混沌振蕩產(chǎn)生的機理進行研究。

1 二機電力系統(tǒng)模型

簡單互聯(lián)電力系統(tǒng)接線如圖1所示，圖中：1為系統(tǒng)S1的等值發(fā)電機；2為系統(tǒng)S2的等值發(fā)電機；3為系統(tǒng)S1的等值主變壓器；4為系統(tǒng)S2的等值主變壓器；5為負荷；6為斷路器；7為系統(tǒng)聯(lián)絡線。

圖1 簡單互聯(lián)系統(tǒng)

未加控制作用時,具有周期性負荷擾動的簡單電力系統(tǒng)數(shù)學模型[1]如下：

式中：δ(t)為發(fā)電機轉(zhuǎn)子運行角，rad；ω(t)為發(fā)電機相對轉(zhuǎn)速，rad/s；H為等值轉(zhuǎn)動慣量，kg/m2；D為等值阻尼系數(shù)，N·m·s/rad；Pm為發(fā)電機機械功率，W；Pe為擾動功率幅值，W；Ps為電磁功率，W；Β為擾動功率頻率，Hz。

對式(1)作時間尺度和變量變換，令：

則式(1)變?yōu)椋?/p>

其中簡記：

由于λ、μ、ρ和D、Pe、Pm一樣是小參數(shù)，我們不妨引入小參數(shù)0＜ε≤1，使λ=εa，μ=εb，ρ=εc，其中a、b、c≥0。用t替換τ則可重寫式(2)為：

設ε=0時的無攝動系統(tǒng)為Hamilton系統(tǒng)。在x-y相平面上有平衡點(kπ，0)，k=0，±1，±2，...。由于周期對稱，只需要考慮3個平衡點(－π，0)，(0，0)，(π，0)。通過計算特征值可知(0,0)為中心點，而(－π，0)和(π，0)為鞍點。

無攝動系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為：

其軌線是過鞍點(－π，0)，(π，0)的同宿軌道 Γ。令H(x，y)=h，由式(4)可得：

令h=2，則過鞍點的同宿軌道為：

2 Melnikov方法

Melnikov方法[2-3]的基本思想是將動力系統(tǒng)歸結(jié)為平面上的一個Poincare映射是否存在橫截同宿軌道或異宿軌道的數(shù)學條件，給出一類非線性動力系統(tǒng)Smale馬蹄變換意義下出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的判據(jù)。應用解析Melnikov方法的許多實際問題可以歸結(jié)為討論帶有弱周期擾動項的具有同宿軌道或異宿軌道的二階常微分方程，包括本文中的具有周期性負荷擾動的簡單電力系統(tǒng)的數(shù)學模型。對于這類系統(tǒng)，利用一定的數(shù)學技巧，就可以建立二維Poincare映射，如果此映射存在Smale馬蹄變換性質(zhì)，則此映射可能是一個具有混沌屬性的不變集。

定理1：若Melnikov函數(shù)M+(t0)不依賴于ε，且以t0為簡單零點，即M+(t0)=0，M+(t0)'≠0，則|ε|≠0且甚小時，有橫截同宿點，從而式(3)的解具有混沌性態(tài)。

這一定理表明，在x-y平面上，鞍點的鄰近存在一系列無窮多個點，在式(3)中是以其初值對應的軌道為周期，相當于以T的不同倍數(shù)為周期。若從Poincare截面上看，這正是馬蹄映射所反映的復雜性態(tài)。

本文只計算同宿軌道Γ+上Melnikov函數(shù)，并記：

則同宿軌道Γ+上的Melnikov函數(shù)可表示為：

圖2 積分路徑

3 二機電力系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的條件

通過第2節(jié)的計算，可獲得如下結(jié)論。

定理1：

如果參數(shù)a、b、c滿足條件：

則當ε＞0且充分小時，系統(tǒng)(3)是馬蹄型混沌的。

證明：

Melnikov函數(shù)具有簡單零點表明，系統(tǒng)的Poincare映射的同宿軌道具有橫截相交性。根據(jù)Smale-Birkhoff定理[4]，橫截同(異)宿相交蘊含馬蹄型混沌。

定理1證畢。

4 擾動幅值和阻尼系數(shù)對系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的影響

4.1 擾動幅值對系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的影響

由第2節(jié)的計算可知，當其他參數(shù)取值在一定范圍內(nèi)，只有擾動幅值變化時，混沌出現(xiàn)混沌振蕩的臨界條件如式(16)所示。其中Pe'為振蕩發(fā)生的臨界條件。

4.2 阻尼系數(shù)對系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的影響

從關(guān)系式(8)中推導出阻尼系數(shù)D的閥值為：

即：當Pe≠0且阻尼系數(shù)的取值滿足時，系統(tǒng)(1)會出現(xiàn)混沌振蕩。表明小擾動也可誘發(fā)混沌振蕩。

5 仿真分析

5.1 擾動幅值變化產(chǎn)生的混沌

應用Matlab軟件中的龍格-庫塔四階算法仿真計算。在式(1)表示的二機系統(tǒng)中，取H=100 kg·m2，Pm=20 W，D= 40 N·m·s/rad，Ps=100 W(為了單獨說明擾動幅值對系統(tǒng)發(fā)生混沌振蕩的影響，此時阻尼系數(shù)的取值在其閥值之外)。將所取數(shù)據(jù)代入式(16)，得到Pe'≈30 W，即發(fā)生混沌的臨界條件是周期性擾動的幅值為30 W。圖3～圖6中的曲線分別對應周期性擾動幅值Pe=0、2、4、10、30時的功角曲線和系統(tǒng)相圖。

圖3 Pe=0時功角曲線

圖4 Pe=2、4、10時功角曲線

圖5 Pe=30時功角曲線

圖3表明，當Pe=0，即系統(tǒng)僅有阻尼無周期性擾動時δ(t)和ω(t)經(jīng)過一段時間的振蕩最終趨于收斂狀態(tài)。圖4表明，當擾動功率幅值Pe較小時，即周期性負荷擾動較小時，不滿足式(16)條件，系統(tǒng)不會出現(xiàn)混沌，因此δ(t)經(jīng)過短時間振蕩后趨于平穩(wěn)，這時系統(tǒng)處于能量不斷耗散的過程。圖5表明，當Pe=30，即擾動功率幅值Pe達到臨界條件時，δ(t)出現(xiàn)了長時間不衰減的無規(guī)則振蕩，實際上就是混沌振蕩。圖6給出了系統(tǒng)相圖。

圖6 Pe=30時δ(t)－ω(t)相圖

5.2 小干擾情況下混沌振蕩發(fā)生的條件

在式(1)表示的二機系統(tǒng)中，取H=100 kg·m2，Ps=100 W，Pm=20 W，Pe=2 W，將所取數(shù)值代入式(17)和式(18)中，得到此時使系統(tǒng)發(fā)生混沌振蕩阻尼系數(shù)的閥值范圍為－15.7＜D＜15.7。圖7～圖10分別對應D=2、10、15、30時的功角曲線和系統(tǒng)相圖。

圖7 D=2時δ(t)－ω(t)相圖

圖8 D=10時δ(t)－ω(t)相圖

圖9 D=30時δ(t)－ω(t)相圖

圖10 D=30時功角與相對角速度曲線

在周期性負荷的小擾動下，當阻尼系數(shù)D的取值滿足時，系統(tǒng)將出現(xiàn)混沌振蕩。這一結(jié)果表明在小擾動的情形下，系統(tǒng)仍可能發(fā)生混沌振蕩。

6 結(jié)論

利用非線性動力系統(tǒng)的基本理論，分析了三參數(shù)二機電力系統(tǒng)出現(xiàn)混沌振蕩的產(chǎn)生機制，并通過數(shù)值仿真驗證，得到以下結(jié)論：(1)無擾動時，系統(tǒng)處于能量耗散狀態(tài)，不發(fā)生混沌振蕩；功角在短時間的振蕩后趨于平穩(wěn)。(2)當擾動幅值超過臨界范圍時，功角出現(xiàn)貌似無規(guī)則、長時間不衰減的振蕩現(xiàn)象，即混沌振蕩。(3)在周期性負荷擾動下，即使擾動幅值較小，但是當阻尼系數(shù)接近某個數(shù)值時，系統(tǒng)將出現(xiàn)混沌振蕩，即小擾動也可誘發(fā)混沌振蕩。

[1]董世勇，鮑海，魏哲.雙機電力系統(tǒng)中混沌振蕩閥值的計算與仿真[J].中國電機工程學報，2010，30(19)：58-63.

[2]CHATON R,PALMERO F,BALIBREA F.Taming chaos in a driven Josephson junction[J].Internatiaonal Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering,2001,11(7):1897-1909.

[3]WIGGINS S.Global Bifurcations and Chaos[M].New York:Springer_Verlag,1988.

[4]蓋拉德·泰休.常微分方程與動力系統(tǒng)[M].北京：機械工業(yè)出版社，2011：235-237.

Generation mechanism of chaotic oscillation of a class of nonlinear power system

ZHAO hui,FAN Dong-lin,YUE You-jun,WANG Hong-jun
(Tianjin Key Laboratory for Control Theory and Applications in Complicated System, Tianjin University of Technology,Tianjin 300384,China)

Aiming at the problems of generation mechanism of chaotic oscillation in power system,with the aid of a nonlinear three-parameter two-generator power system model,using the calculation method of Melnikov function of homoclinic orbit,the critical conditions and parameter regions where chaotic oscillation appeared in power system were given.In particular,it demonstrates the small perturbation can induce chaotic.The oscillation condition when the system disturbed in the periodic load conditions was expounded.Under large periodic load disturbance,the power system will occur chaotic oscillation.When periodic load disturbance is small, but the damping coefficient is in a certain range,the system will still appear chaotic oscillation.When the periodic disturbance is small and the damping coefficient is out of certain range,the system does not appear chaotic oscillation.When periodic load perturbation is zero,the system does not appear chaotic oscillation.The simulation results confirm the appearance conditions of chaotic oscillation when power system under periodic load perturbation.This kind of phenomenon is closely related to the geometric structure of nonlinear model,but also has links with the operation and structure parameters.

power system;chaos;chaotic oscillation;disturbance;damping

TM 71

A

1002-087 X(2015)08-1755-03

2015-01-06

天津市自然科學基金重點項目(08JCZDJC18600，09JCZDJC23900，10JCZDJC23100)

趙輝(1963—)，男，天津市人，博士，教授，主要研究方向為智能控制理論及應用、網(wǎng)絡控制理論與技術(shù)。