施繼忠，張繼業(yè)，徐曉惠

（1.浙江師范大學工學院，浙江金華321004；2.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031；3.西華大學汽車與交通工程學院，四川成都610039）

一類隨機車輛跟隨系統(tǒng)的控制策略

施繼忠1，張繼業(yè)2，徐曉惠3

（1.浙江師范大學工學院，浙江金華321004；2.西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川成都610031；3.西華大學汽車與交通工程學院，四川成都610039）

為了改善高速公路的通行能力和安全性，考慮隨機因素的影響，研究一類顧前顧后自動高速公路車輛跟隨系統(tǒng)的控制器設(shè)計?；谝撂匐S機微分方程建立了隨機車輛動力學模型，運用滑?？刂圃O(shè)計了隨機車輛縱向跟隨系統(tǒng)的控制規(guī)律。然后根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)分析了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得到系統(tǒng)控制參數(shù)的收斂區(qū)域為式（18）～（20）。數(shù)值仿真實驗表明：各跟隨車輛的速度、加速度等狀態(tài)在較短的時間內(nèi)能迫近領(lǐng)頭車輛，車間距誤差有較快的收斂速度，在15 s內(nèi)收斂于0。

隨機因素；車輛跟隨系統(tǒng)；矢量Lyapunov函數(shù)；指數(shù)群穩(wěn)定性；滑?？刂?/p>

當前隨著車輛不斷增加，高速公路上的交通事故頻發(fā)，交通堵塞問題日益嚴重。自動高速公路系統(tǒng)（automated highway systems，AHS）是解決以上問題的有效方法。AHS是指在高速公路上安裝導航設(shè)備，根據(jù)車路通信和車間通信，達到對車輛狀態(tài)的自動控制，從而實現(xiàn)無人駕駛。關(guān)于確定性自動高速公路系統(tǒng)的穩(wěn)定性與控制，文獻［1?10］等做了相關(guān)的研究。文獻［1］通過定義無限維確定性關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的穩(wěn)定性來研究車輛跟隨系統(tǒng)。Stankovic等運用傳遞函數(shù)法研究確定性車輛跟隨系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對系統(tǒng)進行了線性化處理［2］。Swaroop等運用數(shù)量Lyapunov函數(shù)法研究了自動高速公路系統(tǒng)的車輛跟隨控制［3］，但此方法很難解決具有強耦合項的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)。Zhang等運用矢量Lyapunov函數(shù)法，研究了確定性車輛跟隨系統(tǒng)的穩(wěn)定性［4］，對文獻［3］的結(jié)論進行了改進。文獻［5］研究了具有脈沖擾動和變時滯的顧前車輛縱向跟隨系統(tǒng)的穩(wěn)定性與控制器設(shè)計。以上關(guān)于確定性車輛跟隨系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制的研究都是基于顧前型車輛跟隨系統(tǒng)模型，即只考慮被控車輛之前車輛的狀態(tài)，而忽略之后車輛的狀態(tài)。事實上，對于編隊中的每一被控車輛，既和之前車輛的狀態(tài)信息有關(guān)聯(lián)，也和其后車輛的狀態(tài)信息相關(guān)聯(lián)，因此需要研究顧前顧后車輛跟隨系統(tǒng)。文獻［6?7］研究了確定性顧前顧后車輛跟隨控制。但以上文獻的研究均沒有涉及隨機因素。事實上，在自動化公路車輛跟隨系統(tǒng)中存在許多隨機因素。例如車輛系統(tǒng)的建模存在隨機誤差，系統(tǒng)外部的干擾也存在隨機因素，且這些隨機因素對車輛控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性有重大影響。因此考慮隨機因素研究車輛跟隨系統(tǒng)的控制是有必要的。文獻［8?9］研究了隨機車輛跟隨系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分性判據(jù)，但研究沒有涉及控制器設(shè)計。

本文考慮車輛系統(tǒng)建模時忽略的隨機因素建立顧前顧后型隨機車輛跟隨系統(tǒng)模型。運用滑模控制法設(shè)計了系統(tǒng)的控制器，并根據(jù)系統(tǒng)的充分性判據(jù)研究了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)模型及相關(guān)結(jié)論

在AHS中，引入隨機因素的顧前顧后隨機車輛跟隨系統(tǒng)模型為［8］：

式中：i∈N，t∈［t0，+∞），xi∈Rn是第i個子系統(tǒng)的狀態(tài)，?i≤j，xi-j≡0，f，q是向量非線性函數(shù)，f，q：Rn×Rn×Rn→Rn，使得f（0，0，0）＝q（0，0，0）＝0。ξi＝ξi（t）是定義概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的標準布朗運動，Ω是樣本空間，F(xiàn)是樣本空間子集的σ代數(shù)，P為概率測度。

對于孤立子系統(tǒng)

系統(tǒng)（1）是系統(tǒng)（2）的一個關(guān)聯(lián)系統(tǒng)。

定理1［9］如果隨機系統(tǒng)（1）滿足下面的假設(shè)1和假設(shè)2，則該系統(tǒng)的零解是指數(shù)均方群穩(wěn)定的。

假設(shè)2 存在正定函數(shù)Vi＝V（t，xi（t）），xi∈Rn，i∈N關(guān)于xij連續(xù)二次可微，且存在正常數(shù)αk，k＝1，2，3，4，5，使得式（5）～（8）成立。

式中：l、j＝1，2，…，n，i∈N，L（2）（·）表示關(guān)于方程（2）的伊藤微分算子，定義如下：

2 控制器設(shè)計

模型如圖1所示，其中v0、vi-1、vi、vi+1分別表示領(lǐng)頭車、第i-1輛車、第i輛車、第i+1輛車的速度。x0、xi-1、xi、xi+1表示表示領(lǐng)頭車、第i-1輛車、第i輛車、第i+1輛車的位移。對系統(tǒng)（1）的控制是指基于與被控車輛前后相鄰的車輛和領(lǐng)頭車的加速度、位移、速度等狀態(tài)信息，憑借不斷調(diào)節(jié)控制輸入，控制該車輛的狀態(tài)信息，不斷調(diào)整車輛的速度和位移，縮小車間距的誤差。

定義第i輛車和第i-1輛車的車間距誤差為

ei（t）＝xi-xi-1+Li，i＝1，2，…

此處Li是指第i輛車和第i-1輛車的固定間距，車輛跟隨控制的目的是使ei（t）能夠漸近地趨于0。

考慮滾動阻力Fi為主要隨機因素，第i個車輛的動力學行為可用隨機微分方程表示為

式中：ξ為定義在概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的一維標準布朗運動，yi表示第i輛車的速度，ui表示控制輸入，表示空氣阻力，為路面對車輛的確定性阻力，Mi為車輛慣性因素。

滑?？刂剖茄芯坎淮_定系統(tǒng)的有效控制方法［10?11］，運用滑?？刂品?，選取切換函數(shù)：

式中：q1、q2、q3、q4是待定控制參數(shù)。σi（t）滿足dσi（t）＝q1dyi-1-（q1+q3）g（yi）dξ，Si＝0，（i＝1，2，…）為滑動模態(tài)域。設(shè)

其中，λ＞0。根據(jù)式（12）～（14）得滑?？刂坡蔀?/p>

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 System model

3 穩(wěn)定性分析

3.1 滑動模態(tài)的可達性

選取Lyapunov函數(shù)Vi＝S2i／2，關(guān)于時間對其求導，把式（15）代入，得

由于當Si≠0時，V·i＜0。所以當t→∞時，有Si→0。故系統(tǒng)的滑動模態(tài)是漸近可達的。

3.2 滑模運動的穩(wěn)定性

系統(tǒng)在滑動模態(tài)滿足

式中：σi（t）滿足dσi（t）＝q3dy0-q3g（yi）dξ。這里的輔助變量σi（t）的作用與文獻［11］類似，使得S·i不依賴于ξ。根據(jù)式（13）有

即

同理有

由Si-Si-1＝0得d（Si-Si-1）＝0，于是

令zi＝e·

i＝y(tǒng)i-yi-1，定義e0＝0，e·0＝0，則上式可變?yōu)?/p>

不難看出，系統(tǒng)（16）是系統(tǒng)（1）的一個特例。下面基于系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性判據(jù)導出系統(tǒng)（16）的穩(wěn)定性條件。系統(tǒng)（16）對應(yīng)的孤立子系統(tǒng)為

若取Lyapunov函數(shù)Vi＝V（zi）＝z2i／2，i∈N，則系統(tǒng)（16）指數(shù)均方群穩(wěn)定的充分條件為：

g滿足Lipschitz條件：即存在常數(shù)k＞0，使得

不難驗證滿足定理1的條件：取Vi＝V（zi）＝z2i／2，則α1＝α2＝1／2，則式（5）滿足；易知α4＝α5＝1，因此式（7）也滿足；由式（18）知假設(shè)1滿足；由伊藤微分算子得

由式（18）得

由伊藤微分算子和式（19）得

即

則式（6）也滿足；令Wi＝eξtVi，則L（16）Wi＝eξt（ξVi+L（16）Vi），根據(jù)Holder不等式，并經(jīng)整理得

存在EWi-j，0＝1，j＝0，1，…，i-1，結(jié)合式（20）使得

則（8）也滿足，由定理1得，系統(tǒng)（16）的零解是指數(shù)均方群穩(wěn)定的。

4 仿真實驗

仿真實例中的車輛跟隨系統(tǒng)，由5輛車構(gòu)成，1輛領(lǐng)頭車和4輛跟隨車。假定車輛質(zhì)量都為1 000 kg，受到的摩擦力為200 N，空氣阻力系數(shù)為0.5 N·s2／m2?？刂埔?guī)律取式（15），控制參數(shù)q1＝2，q2＝-3，q3＝2，q4＝4，λ＝0.3。假設(shè)領(lǐng)頭車的加速度在30 s內(nèi)隨時間的變化為

對于系統(tǒng)（16），用類似于文獻［12?13］的方法進行仿真。仿真時間t∈［0，T］，T＝30 s，正態(tài)分布的方差為δt＝T／N，N＝300，長度Δt＝R·δt，R＝2，離散布朗軌道數(shù)M＝1。初始位移為x0＝100 m，x1＝76 m，x2＝70 m，x3＝63 m，x4＝55 m；車間距為L1＝25m，L2＝10 m，L3＝10 m，L4＝10 m；初始車間距誤差為e1＝ 5 m，e2＝4 m，e3＝3 m，e4＝2 m；初始速度v0＝25 m／s，v1＝25.5 m／s，v2＝26 m／s，v3＝26.5 m／s，v4＝27 m／s。

仿真結(jié)果見圖2～6。其中圖2表示各跟隨車輛的加速度在8 s后能迫近領(lǐng)頭車輛，20 s后各車加速度趨于穩(wěn)定；圖3表示各車輛的速度變化曲線，各跟隨車輛的速度在10 s后能迫近領(lǐng)頭車輛，21 s后各車速度趨于穩(wěn)定；圖4為各車輛的縱向位置隨著時間的變化曲線，各車輛能保持較為穩(wěn)定的車間距；圖5為滑模變化曲線；圖6表示各車輛的車間距誤差變化曲線，車間距誤差有較快的收斂速度，在15 s內(nèi)收斂于0。

圖2 各車輛加速度Fig.2 Vehicle acceleration

圖3 各車輛速度Fig.3 Vehicle speed

圖4 各車輛位置Fig.4 Vehicle position

圖5 滑模變化曲線Fig.5 Sliding curve

圖6 車間距誤差Fig.6 Vehicle spacing error

4 結(jié)束語

本文考慮隨機因素的影響，研究了自動高速公路系統(tǒng)中的一類顧前顧后型車輛跟隨系統(tǒng)的的控制策略。根據(jù)伊藤隨機微分方程，建立了系統(tǒng)模型?；陔S機箱體理論，運用向量Lyapunov函數(shù)法，研究了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得到基于隨機因素的顧前顧后型車輛跟隨系統(tǒng)指數(shù)群穩(wěn)定性的一個充分性判據(jù)。運用滑模控制法設(shè)計了基于隨機因素的顧前顧后型車輛跟隨系統(tǒng)的控制器，并進行了數(shù)值仿真實驗。

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Control strategy on a class of stochastic vehicle following systems

SHI Jizhong1，ZHANG Jiye2，XU Xiaohui3
（1.College of Engineering，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China；2.Traction Power State Key Laboratory，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；3.School of Automotive and Transportation Engineering，Xihua University，Chengdu 610039，China）

In order to improve traffic capacity and safety of highways，considering influence of random factors，the stability analysis and control for looking both ahead and behind of stochastic vehicle longitudinal following system in automated highway systems are studied.Based on the vehicle dynamics model which is established by the Ito sto?chastic differential equation，the control law for the stochastic vehicle longitudinal following system is designed by the sliding mode control method.According to stability criterion of the stochastic vehicle following system，the sta?bility of control system is analyzed and the sufficient conditions of the system for convergence are obtained by ine?qualities（18）～（20）.Numerical simulation results showed that velocity，acceleration and other state of each vehi?cle can approach the leading vehicle in a relatively short period of time.The error of distance between vehicles fast converges to 0 within 15 s.

random factor；vehicle following system；vector Lyapunov function；exponential string stability；sliding mode control

10.3969／j.issn.1006?7043.201309064

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006?7043.201309064.html

TP273

A

1006?7043（2015）02?0171?04

2013?09?20.網(wǎng)絡(luò)出版時間：2014?11?27.

國家自然科學基金資助項目（11172247，11402214）；浙江省自然科學基金資助項目（LY14E080006）；教育部“春暉計劃”資助項目（Z2014075）.

施繼忠（1977?），講師，博士.

施繼忠，E?mail：shijizhong＠zjnu.cn.