王竟博， 胡恒春

(上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093)

(2+1)維Lax-Kadomtsev-Patviashvili方程的Painlevé分析和精確解

王竟博， 胡恒春

(上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093)

由Weiss，Tabor和Carnevale(WTC)提出的Painlevé分析法是目前最有效且應(yīng)用廣泛的直接判別非線(xiàn)性偏微分方程的方法之一.借助符號(hào)計(jì)算軟件Maple，首先將判斷非線(xiàn)性系統(tǒng)可積性的WTC方法應(yīng)用于(2+1)維Lax-Kadomtsev-Patviashvili(Lax-KP)方程中，通過(guò)領(lǐng)頭項(xiàng)分析得到兩種情況.然后分別尋找共振點(diǎn)，并驗(yàn)證共振條件是否成立，判別了(2+1)維Lax-KP方程具有Painlevé不可積性.應(yīng)用Painlevé標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)和非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)兩種方法，構(gòu)造了Lax-KP方程不同形式的精確解，通過(guò)適當(dāng)選取常數(shù)值發(fā)現(xiàn)這些精確解都是扭結(jié)形狀的孤波解.

Lax-KP方程；Painlevé可積性；精確解；WTC方法

由于孤立子在物理學(xué)及其它許多學(xué)科得到了廣泛應(yīng)用，引起了許多物理學(xué)家對(duì)尋找具有孤立子解的完全可積模型研究的極大興趣.其中，最有影響的可積模型有Kd V方程、MKd V方程、Burgers方程、Sine-Gordon方程、非線(xiàn)性薛定諤方程等.關(guān)于非線(xiàn)性系統(tǒng)的可積性以及求解問(wèn)題，已經(jīng)建立和發(fā)展了許多有效的方法，如反散射變換方法、達(dá)布變換法、雙線(xiàn)性及多線(xiàn)性方法、經(jīng)典和非經(jīng)典李群法等.其中，1983年由Weiss，Tabor和Carnevale發(fā)展的Painlevé分析法已被公認(rèn)為是最成功、且應(yīng)用最廣泛的方法之一，通常被稱(chēng)為WTC方法[1].把WTC方法應(yīng)用于非線(xiàn)性偏微分方程中，不僅可以得到可積模型的Painlevé性質(zhì)、Lax對(duì)、Backlund變換、雙線(xiàn)性形式等性質(zhì)，還可以得到許多可積模型的精確解[2-5].1984年，Kruskal等對(duì)WTC方法進(jìn)行了簡(jiǎn)化，將奇異流形上的函數(shù)假設(shè)為其中一個(gè)變量的線(xiàn)性關(guān)系，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算的復(fù)雜性.但傳統(tǒng)的WTC方法也有局限性，對(duì)于沒(méi)有Painlevé性質(zhì)的方程，一般不能得到更為豐富的孤子解.后來(lái)，Conte[6]，Pickering[7]以及Lou[8]先后通過(guò)不同途徑推廣了WTC方法，得到了更多、更簡(jiǎn)潔的非線(xiàn)性偏微分方程的新精確解.

1 Lax-KP方程簡(jiǎn)介

Lax[9]通過(guò)推廣Kd V方程的雙線(xiàn)性形式，獲得了著名的五階Lax非線(xiàn)性方程.Kadomtsev和Petviashvili通過(guò)延長(zhǎng)Lax方程，得到新的完全可積的Lax-Kadomtsev-Petviashvili(Lax-KP)方程[10]

Wazwaz[11]利用tanh-coth方法求出了式(2)的單孤子解和三角函數(shù)解，用Hirota雙線(xiàn)性方法和Hereman的簡(jiǎn)化形式求出了該式的多孤立子解.于金倩等[12]用李群方法得到了式(2)的對(duì)稱(chēng)、群不變解以及若干相似約化方程.判別其它的高維或低維非線(xiàn)性系統(tǒng)的Painlevé可積性及其新精確解，很多作者已經(jīng)取得了一定的研究成果[13-14].還有一些學(xué)者借助于其它求解非線(xiàn)性系統(tǒng)的方法，如指數(shù)函數(shù)展開(kāi)法、達(dá)布變換法等，研究了耦合非線(xiàn)性系統(tǒng)的復(fù)子解和周期解[15-17].本文將借助判斷非線(xiàn)性系統(tǒng)可積性的WTC方法來(lái)研究(2+1)維Lax-KP方程是否具有Painlevé可積性，并進(jìn)一步利用標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)和非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)兩種方法構(gòu)造Lax-KP方程的新精確解.

2 Lax-KP方程Painlevé不可積性

首先，令任意的奇異流形φ(x，y，t)=0，勢(shì)函數(shù)u=u(x，y，t)的洛朗展開(kāi)式為

然后，令u～u0φα，則由領(lǐng)頭項(xiàng)分析可得到如下兩種情況:

要檢驗(yàn)式(2)是否具有Painlevé性質(zhì)，按照Painlevé可積性的步驟，需找出式(2)所有的共振項(xiàng)，并驗(yàn)證所有共振項(xiàng)是否滿(mǎn)足相容性條件.下面給出這兩種情況的具體分析過(guò)程.

步驟1采用找對(duì)稱(chēng)方程的方法求解共振項(xiàng)，令

把式(4)代入式(2)后，得到有關(guān)函數(shù)uj的遞推關(guān)系式

式中，gj是僅僅依賴(lài)于uk(k=0，1，2，…，j-1)和φ導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜函數(shù).由式(5)可以看出，所求的共振項(xiàng)為j=-3，-1，1，6，8，10.在j=-1的共振點(diǎn)對(duì)應(yīng)于展開(kāi)函數(shù)的任意性；j=-3不符合共振項(xiàng)的定義，故舍去.

步驟2檢驗(yàn)j=1，6，8，10時(shí)，是否滿(mǎn)足相容性條件.

為方便起見(jiàn)，采用Kruskal的簡(jiǎn)化方法，取

式中，φ=φ(y，t)是自變量為y和t的函數(shù).

由于共振項(xiàng)最大正整數(shù)是10，所以有限截?cái)嗾归_(kāi)式為

將式(6)和式(7)代入式(2)，依次比較φ的各冪次系數(shù)，可得到一系列等式可見(jiàn)，u10不是任意函數(shù)，所以此時(shí)Lax-KP方程不具有Painlevé可積性質(zhì).

b.當(dāng)α=-1，u0=2φx時(shí).

步驟1采用找對(duì)稱(chēng)方程的方法求解共振項(xiàng)，同樣令

把式(6)代入式(2)中，得到有關(guān)函數(shù)uj的遞推關(guān)系式

式中，fj是僅僅依賴(lài)于uk(k=0，1，2，…，j-1)和φ導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜函數(shù).由式(8)可以看出，共振項(xiàng)為j= -1，1，2，5，6，8.在j=-1的共振點(diǎn)對(duì)應(yīng)于展開(kāi)函數(shù)的任意性.

步驟2檢驗(yàn)j=1，2，5，6，8時(shí)，是否滿(mǎn)足相容性條件.

可見(jiàn)，u8不是任意函數(shù)，所以Lax-KP方程也不具有Painlevé可積性質(zhì).綜合上述兩種情況可知，Lax-KP方程并不具有Painlevé可積性質(zhì).

3 Lax-KP方程的精確解

盡管Lax-KP方程不具有Painlevé可積性質(zhì)，仍可以利用Painlevé截?cái)嗾归_(kāi)方法來(lái)構(gòu)造其精確解.下面利用Conte展開(kāi)法來(lái)構(gòu)造Lax-KP方程的精確解.Conte展開(kāi)法具有如下形式

式中，ξ是與x，y和t的任意函數(shù)，且滿(mǎn)足

顯然，當(dāng)N=2時(shí)，式(9)和式(10)為Pickering提出的不變形式展開(kāi).在此基礎(chǔ)上，不失一般性，取N= 2，令

式中，λ是任意常數(shù)；φ是任意奇異流形.當(dāng)λ=0時(shí)，式(9)中的函數(shù)被χ所替換后得到的新展開(kāi)式恰好是常說(shuō)的Conte展開(kāi)式.由式(11)可知S，C和K是M?bius變換下的不變量.經(jīng)計(jì)算可驗(yàn)證相容性條件gtx=gxt，gty=gyt，gxy=gyx成立.

當(dāng)式(9)中的函數(shù)被g所替換后，所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)式

把標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)式代入Lax-KP方程并消去所有各階g的系數(shù)，可以得到一系列復(fù)雜的由函數(shù)u0，u1，u2，S，C和K組成的表達(dá)式.此時(shí)，要想得到Lax-KP方程的精確解是很困難的.但為了得到相對(duì)簡(jiǎn)單的孤子解，就可以把它們選擇成常數(shù)(可用相對(duì)應(yīng)的小寫(xiě)字母表示)，將會(huì)得到一組非平凡解

式中，c1為積分常數(shù).

當(dāng)式(19)中的函數(shù)被g所替換后，所對(duì)應(yīng)的非標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)式

同樣，把非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)式代入Lax-KP方程并消去所有各階g的系數(shù)，也可以得到一系列復(fù)雜的由函數(shù)u0，u1，u2，S，C和K定義的表達(dá)式.與標(biāo)準(zhǔn)截?cái)喾椒?lèi)似，可求出另一組非平凡解

適當(dāng)?shù)剡x取不同常數(shù)值，可發(fā)現(xiàn)通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗪头菢?biāo)準(zhǔn)截?cái)噙@兩種方法得到的Lax-KP方程的精確解都是扭結(jié)形狀的孤立波解.

4 結(jié) 論

利用判別非線(xiàn)性系統(tǒng)可積性的WTC方法檢驗(yàn)了(2+1)維Lax-KP方程的Painlevé不可積性，并通過(guò)Painlevé標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)和非標(biāo)準(zhǔn)截?cái)嗾归_(kāi)兩種方法構(gòu)造了Lax-KP方程的新精確解.對(duì)于(2+ 1)維Lax-KP方程的其它可積性質(zhì)和新形式的精確解，如達(dá)布變換、CK直接法約化方法、分離變量解等，將是今后工作的研究重點(diǎn).

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(編輯:董 偉)

PainlevéAnalysis and Exact Solutions of the(2+1)-Dimensional Lax-Kadomtsev-Patviashvili Equation

WANG Jingbo， HU Hengchun
(College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China)

The Painlevéanalysis method developed by Weiss，Tabor and Carnevale is one of the most effective and extensively used methods to test the integrability of the nonlinear partial differential equation.With the help of symbolic computation system Maple，the(2+1)-dimensional Lax-Kadomtsev-Patviashvili(Lax-KP)equation was proved to be Painlevénon-integrable by using the Weiss，Tabor and Carnelvale(WTC)method.The leading order analysis helps one to find two cases and verify that the recursion relations are established directly.New exact solutions of the (2+1)-dimensional Lax-KP equation were obtained by the standard and nonstandard truncation expansions respectively，and all the solutions are both kink solitary solutions when selecting proper constants.

Lax-KP equation；Painlevéanalysis；exact solutions；WTC method

O 13

A

1007-6735(2015)02-0126-04

10.13255/j.cnki.ju sst.2015.02.005

2013-11-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071164，11201302)；上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10ZR1420800)；上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目(XTKX2012)

王竟博(1990-)，女，碩士研究生.研究方向:孤立子與可積系統(tǒng).E-mail:wangjingbo26@163.com

胡恒春(1976-)，女，副教授.研究方向:孤立子與可積系統(tǒng).E-mail:hhengchun@163.com

??編號(hào):1007-6735(2015)02-0130-06 DOI:10.13255/j.cnki.ju sst.2015.02.006