李潤琪

（德宏師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系，云南 芒市 678400）

不定方程x3－125＝2pqy2的整數(shù)解研究

李潤琪

（德宏師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，云南 芒市 678400）

設(shè)p，q為奇素數(shù)，p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）．運用Legendre符號的性質(zhì)、同余的性質(zhì)等得出了不定方程x3－125＝2pqy2無正整數(shù)解的一個充分條件．

不定方程；整數(shù)解；同余；Legendre符號；奇素數(shù)

方程：

是一類基本而重要的三次不定方程，但目前結(jié)果還不多見，當(dāng)D不能被6k＋1形素數(shù)整除時其結(jié)論主要見文獻［1－2］；當(dāng)D能被6k＋1形素數(shù)整除時其結(jié)論主要見文獻［3－8］．本文主要討論D含2，同時含2個6k＋1形素因子方程x3－125＝Dy2的整數(shù)解的情況．

引理1［9－10］設(shè)p，q，r為奇素數(shù)，p≡13（mod 24），q≡19（mod 24），，則Diophan? tine方程x3－1＝2pqry2僅有平凡解（x，y）＝（1，0）．

定理1 設(shè)p，q為奇素數(shù)，p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）為奇素數(shù)，Legendre符號值，則不定方程：

僅有平凡解（x，y）＝（5，0）．

證明 當(dāng)x≡0（mod 5）時，令x＝5x1，則方程（2）可化為：

故由引理1得：方程（4）僅有平凡解（x1，y1）＝（1，0），所以此時方程（2）僅有平凡解（x，y）＝（5，0），故當(dāng)x≡0（mod 5）時方程（2）在題設(shè)條件下僅有平凡解（x，y）＝（5，0）．

當(dāng)x?0（mod 5）時，此時5｜／（x－5），則方程（3）為gcd（x－5，x2＋5x＋25）＝1或3，又x2＋5x＋25≡0（mod 2），則方程（2）可分解為以下8種可能的情形：

情形Ⅰ：x－5＝2pqa2，x2＋5x＋25＝b2，y＝ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅱ：x－5＝2pa2，x2＋5x＋25＝qb2，y＝ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅲ：x－5＝2qa2，x2＋5x＋25＝pb2，y＝ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅳ：x－5＝2a2，x2＋5x＋25＝pqb2，y＝ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅴ：x－5＝6pqa2，x2＋5x＋25＝3b2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅵ：x－5＝6pa2，x2＋5x＋25＝3qb2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅶ：x－5＝6qa2，x2＋5x＋25＝3pb2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1；

情形Ⅷ：x－5＝6a2，x2＋5x＋25＝3pqb2，y＝3ab，gcd（a，b）＝1．

下面分別討論這8種情形下方程（2）的解的情況．

情形Ⅰ 由x2＋5x＋25＝b2解得：x＝－21，－8，－5，0，3，16代入x－5＝2pqa2，得：2pqa2＝x－5＝－26，－13－10，－5，－2，11，顯然無解，故該情形方程（2）無整數(shù)解．

情形Ⅲ 因為x2＋5x＋25＝x（x＋5）＋25，而x與x＋5奇偶性不同，故x（x＋5）為偶數(shù)，則x（x＋5）＋25為奇數(shù)，即x2＋5x＋25為奇數(shù)．又p≡13（mod 24）為奇素數(shù)，則由x2＋5x＋25＝pb2得：b2為奇數(shù)，即b2≡1（mod 8），則pb2≡5（mod 8）．

因為q≡19（mod 24），由a2≡0，1，4（mod 8）得：2qa2≡0，6（mod 8），則x＝2qa2＋5≡3，5（mod 8），故有x2＋5x＋25≡1，3（mod 8），則有1，3≡x2＋5x＋25＝pb2≡5（mod 8），矛盾，故該情形方程（2）無整數(shù)解．

情形Ⅳ 因為x2＋5x＋25為奇數(shù)，又p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）為奇素數(shù)，則由x2＋5x＋25＝pqb2得：b2為奇數(shù)，即b2≡1（mod 8），則pqb2≡7（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得：2a2≡0，2（mod 8），則x＝2a2＋5≡5，7（mod 8），故有x2＋5x＋25≡3，5（mod 8），則有3，5≡x2＋5x＋25＝pqb2≡7（mod 8），矛盾，故該情形方程（2）無整數(shù)解．

情形Ⅶ 因為x2＋5x＋25為奇數(shù)，又p≡13（mod 24）為奇素數(shù)，則由x2＋5x＋25＝3pb2得：b2必為奇數(shù)，即b2≡1（mod 8），則3pb2≡7（mod 8）．

因為q≡19（mod 24），由a2≡0，1，4（mod 8）得：6qa2≡0，2（mod 8），則x＝6qa2＋5≡5，7（mod 8），故有：x2＋5x＋25≡3，5（mod 8），則有：3，5≡x2＋5x＋25＝3pb2≡7（mod 8），矛盾，故該情形方程（2）無整數(shù)解．

情形Ⅷ 因為x2＋5x＋25為奇數(shù)，又p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）為奇素數(shù)，則由x2＋5x＋25＝3pqb2得：b2為奇數(shù)，即b2≡1（mod 8），則3pqb2≡5（mod 8）．

由a2≡0，1，4（mod 8）得：6a2≡0，6（mod 8），則x＝6a2＋5≡3，5（mod 8），故有x2＋5x＋25≡1，3（mod 8），則有：1，3≡x2＋5x＋25＝3pqb2≡5（mod 8），矛盾，故該情形方程（2）無整數(shù)解．

綜上有：當(dāng)x≡0（mod 5）時方程（2）在題設(shè)條件下無整數(shù)解．

綜上所述，不定方程（2）在題設(shè)條件下僅有平凡解（x，y）＝（5，0）．

［1］李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±125＝Dy2［J］.東北師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1996（3）：15－16.

［2］李復(fù)中.關(guān)于一類丟番圖方程x3±（5k）3＝Dy2［J］.東北師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1998（2）：16－19.

［3］普粉麗，杜先存.關(guān)于不定方程x3±53＝3Dy2［J］.海南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，31（4）：292－294.

［4］杜先存，劉玉鳳，管訓(xùn)貴.關(guān)于丟番圖方程x3±53＝3py2［J］.沈陽大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，26（1）：85－87.

［5］萬飛，杜先存.關(guān)于丟番圖方程x3±53＝3py2的整數(shù)解［J］.湛江師范學(xué)院學(xué)報，2014，35（3）：5－6.

［6］普粉麗，杜先存.關(guān)于Diophantine方程x3－53＝py2的解的研究［J］.延安大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，32（4）：10－11.

［7］廖軍，杜先存.關(guān)于Diophantine方程x3－53＝2Dy2的整數(shù)解［J］.長沙大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，28（2）：7－8.

［8］廖軍.關(guān)于不定方程x3＋53＝Dy2的整數(shù)解［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，31（3）：275－277.

［9］管訓(xùn)貴.關(guān)于Diophantine方程x3±1＝2pqry2的整數(shù)解［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2015，47（2）：49－52.

［10］錢立凱，杜先存.關(guān)于不定方程x3±27＝py2［J］.西南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，39（4）：580－581.

［11］魯偉陽，高麗，郝虹斐.關(guān)于不定方程x3－1＝3Dy2整數(shù)解的討論［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，22（4）：264－265.

責(zé)任編輯：時 凌

On the Indefinite Equation x3－125＝2pqy2

LI Runqi
（College of Mathematics，Dehong Normal College，Mangshi 678400，China）

Let p，q be odd primes，p≡13（mod 24），q≡19（mod 24）．By using the nature of Legendre symbol and congruent，one sufficient condition is obtained that the indefinite equation in title has no inte?ger solutions.

indefinite equation；integer solution；congruent；Legendre symbol；odd prime

O156.1

A

1008－8423（2015）03－0268－02

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.009

2015－06－28.

云南省教育廳科學(xué)研究項目（2014Y462）.

李潤琪（1965－），男，講師，主要從事初等數(shù)論及數(shù)學(xué)教育的研究.