王學(xué)玲，王華力，郭克鋒

（解放軍理工大學(xué) 通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210007）

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的確定性測量矩陣的研究

王學(xué)玲，王華力，郭克鋒

（解放軍理工大學(xué) 通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210007）

分析了實(shí)現(xiàn)寬帶壓縮采樣的一種典型結(jié)構(gòu)——調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器，根據(jù)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的原理，設(shè)計(jì)了將高速偽隨機(jī)序列用作調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的寬帶混頻調(diào)制波形的框圖，并通過FPGA的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了四通道高速偽隨機(jī)序列。結(jié)合模擬混頻器、低通濾波器、低速模數(shù)轉(zhuǎn)換器、數(shù)字處理平臺(tái)以及信號(hào)重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)對寬帶稀疏信號(hào)進(jìn)行采樣和重構(gòu)操作。這種產(chǎn)生高速偽隨機(jī)序列的方法，可以根據(jù)需要，選擇合適的混頻調(diào)制波形。

寬帶壓縮采樣；調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器；混頻調(diào)制波形；高速偽隨機(jī)序列；FPGA

0 引言

為實(shí)現(xiàn)稀疏多頻帶信號(hào)的壓縮采樣，研究人員相繼提出了隨機(jī)解調(diào)采樣、Multicoset采樣、多相隨機(jī)解調(diào)采樣和CMUX（Compressive MultipleXer）采樣，后來又提出了調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器（Modulated Wide-band Converter，MWC）采樣［1－3］。MWC系統(tǒng)是在壓縮感知理論的基礎(chǔ)上提出的一種針對寬頻帶稀疏信號(hào)實(shí)現(xiàn)欠奈奎斯特采樣的典型結(jié)構(gòu)［4，5］。

由壓縮感知理論可知，稀疏信號(hào)恢復(fù)的穩(wěn)定性主要取決于測量矩陣的性能。在MWC系統(tǒng)中，影響測量矩陣的因素主要是系統(tǒng)測量的通道數(shù)目和混頻調(diào)制波形的選擇。由于偽隨機(jī)序列具有實(shí)現(xiàn)比較容易、存儲(chǔ)方便和結(jié)構(gòu)簡單等特性，因此采用偽隨機(jī)序列構(gòu)造MWC系統(tǒng)的測量矩陣［6，7］。

偽隨機(jī)序列的基礎(chǔ)產(chǎn)生方法是采用線性反饋移位寄存器產(chǎn)生，其實(shí)現(xiàn)電路比較簡單，它是由移位寄存器和簡單的邏輯門電路構(gòu)成，因而占用的邏輯資源也較少。但在高速時(shí)，此電路并不適用。

本文依據(jù)高速偽隨機(jī)序列的產(chǎn)生經(jīng)驗(yàn)，通過FPGA，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了高速偽隨機(jī)序列的產(chǎn)生，能夠?qū)崿F(xiàn)寬帶壓縮采樣系統(tǒng)混頻調(diào)制處理操作，節(jié)約成本，提高了資源利用率。

1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器

MWC系統(tǒng)是由研究人員Mishali和Eldar針對稀疏多帶信號(hào)提出的欠奈奎斯特多通道均勻采樣系統(tǒng)［8，9］。MWC系統(tǒng)在通信、雷達(dá)和聲納等方面都有很大的應(yīng)用前景。MWC系統(tǒng)的工作原理如圖1所示。首先，用周期性二進(jìn)制波形對模擬輸入信號(hào)進(jìn)行調(diào)制，然后經(jīng)過低通濾波器進(jìn)行濾波，最后以低速率均勻采樣。在對MWC系統(tǒng)采樣得到的觀測信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)的過程中，測量矩陣的性能影響至關(guān)重要，測量矩陣構(gòu)造的合理性將直接影響到稀疏輸入信號(hào)的重構(gòu)的穩(wěn)定性。而混頻調(diào)制序列是影響測量矩陣性能的重要因素，所以混頻調(diào)制信號(hào)的選擇相當(dāng)重要。

圖1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器原理

不妨將混頻序列pi（t）定義為一個(gè)分段常值序列函數(shù)。其取值為｛＋1，－1｝，并具有M個(gè)等間隔的時(shí)間段。pi（t）的表達(dá)式為：

第i個(gè)采樣序列yi［n］的離散時(shí)間傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）可以表示為：

由上述分析可知，pi（t）波形的選擇影響系統(tǒng)的測量矩陣的性能。pi（t）序列的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)cil在符號(hào)變換模式下的表達(dá)式為：

其中積分式為：

式中，θ＝e－j2π／M。因此，

將式（4）、式（5）和式（6）代入式（3）后，式（3）可以表示為：

式（4）中αik的依賴性將在式（8）中展開：

根據(jù)壓縮感知理論，MWC系統(tǒng)中，式（7）中的矩陣C＝SFD可看作是測量矩陣，它能夠影響整個(gè)重構(gòu)過程的穩(wěn)定性。要保證精確恢復(fù)出原始輸入信號(hào)，必須保證壓縮采樣得到的數(shù)據(jù)包含原始信號(hào)的全部信息。式（8）中，矩陣S的每一行元素對應(yīng)每一通道的混頻序列的符號(hào)值，F(xiàn)是快速傅里葉變換矩陣，D是對角矩陣，它們都可以影響矩陣C的構(gòu)造性能。

2 確定性測量矩陣的設(shè)計(jì)

MWC系統(tǒng)中，信號(hào)恢復(fù)的關(guān)鍵是測量矩陣C的構(gòu)造，它主要是由混頻調(diào)制波形pi（t）決定。根據(jù)壓縮感知理論，測量矩陣C在滿足限制等容特性之后，才可以準(zhǔn)確或高概率地恢復(fù)出原始信號(hào)。限制等容特性是Candes等人提出的衡量測量矩陣能否準(zhǔn)確恢復(fù)信號(hào)的分析工具。如果矩陣C滿足限制等容特性，則存在等容常數(shù)δK，滿足條件0≤δK＜1，且它是滿足約束式（9）的最小的常數(shù)。

式（9）對所有的K－稀疏向量u均滿足。RIP特性能夠確保矩陣C更好地實(shí)現(xiàn)稀疏向量u的重構(gòu)。

在RIP的條件限制下，很難在給定的任意確定性矩陣中，通過多項(xiàng)式計(jì)算得到等容常數(shù)δK。因而，在測量矩陣的設(shè)計(jì)過程中，Donoho等給出了測量矩陣設(shè)計(jì)過程中必須要遵循的準(zhǔn)則：①測量矩陣的列向量要滿足一定的線性獨(dú)立特性；②測量矩陣的列向量滿足某種類似噪聲的獨(dú)立隨機(jī)性；③測量矩陣的稀疏度的解是滿足1－范數(shù)最小的向量。

從隨機(jī)性和確定性兩方面，研究人員把構(gòu)造的測量矩陣分為2類：隨機(jī)測量矩陣和確定性測量矩陣。常用的隨機(jī)測量矩陣中，以貝努利矩陣為代表的隨機(jī)測量矩陣在構(gòu)造過程中，矩陣元素獨(dú)立地服從某一分布，但因其不確定性高，很難在硬件中實(shí)現(xiàn)。以傅里葉矩陣為代表的隨機(jī)測量矩陣雖然計(jì)算速度快，但是也只和時(shí)域與頻域的信號(hào)不相干。隨機(jī)測量矩陣還包含稀疏矩陣和正交矩陣等。確定性測量矩陣主要包括托普利茲矩陣、循環(huán)矩陣、多項(xiàng)式矩陣、輪換矩陣和哈達(dá)瑪矩陣等。

隨機(jī)測量矩陣雖然能較好地重構(gòu)原始信號(hào)，但由于隨機(jī)測量矩陣帶來的不確定性，使得實(shí)際硬件實(shí)現(xiàn)過程中需要很大的存儲(chǔ)空間，成本也比較昂貴，這些限制了隨機(jī)測量矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用。相對于隨機(jī)測量矩陣，確定性測量矩陣擁有實(shí)現(xiàn)容量小、節(jié)省成本的優(yōu)點(diǎn)，從而確定性測量矩陣成為壓縮感知理論研究的熱點(diǎn)［10－12］。

對常用測量矩陣之間的性能進(jìn)行比較，哈達(dá)瑪測量矩陣的性能最優(yōu)，托普利茲測量矩陣次之，隨后是高斯隨機(jī)測量矩陣（或貝努利隨機(jī)測量矩陣或稀疏隨機(jī)測量矩陣），部分傅里葉測量矩陣的性能最差勁。其中高斯隨機(jī)測量矩陣、貝努利隨機(jī)測量矩陣和稀疏隨機(jī)測量矩陣性能相似。所以，綜合考慮構(gòu)造測量矩陣的影響因素，本文選擇循環(huán)矩陣作為測量矩陣，對MWC系統(tǒng)的采樣信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。

為了便于進(jìn)行對比，采用貝努利序列和m序列構(gòu)造循環(huán)測量矩陣，對采樣信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。四通道的MWC系統(tǒng)利用貝努利序列和m序列對采樣信號(hào)恢復(fù)率的仿真如圖2所示。仿真參數(shù)采用的是2 GHz的奈奎斯特采樣速率，調(diào)制信號(hào)是在頻譜上有127個(gè)帶寬，且每個(gè)子帶不大于3.78 MHz的信號(hào)。其中，MWC系統(tǒng)的通道數(shù)目為4。

圖2 信噪比對信號(hào)恢復(fù)成功率的影響

通過分析可知，在四通道的MWC系統(tǒng)中，分別將貝努利序列和m序列作為該系統(tǒng)的混頻調(diào)制序列，對輸入的稀疏多帶信號(hào)進(jìn)行采樣重構(gòu)，m序列優(yōu)于貝努利序列對原始輸入信號(hào)的重構(gòu)性能，在信噪比大于－5 dB時(shí)，兩者的重構(gòu)均可以達(dá)到90%以上。因而高速m序列的產(chǎn)生過程具有重要的研究價(jià)值。

3 多通道高速偽隨機(jī)序列的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

3.1 多通道高速偽隨機(jī)序列的FPGA設(shè)計(jì)

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采用高速偽隨機(jī)序列作為混頻調(diào)制波形。偽碼序列以等概率取｛＋1，－1｝。這樣就能保證感知矩陣的隨機(jī)性。采用偽隨機(jī)序列的主要原因是偽隨機(jī)序列容易生成、易于存儲(chǔ)、結(jié)構(gòu)簡單。

m序列是偽隨機(jī)序列的一種，因?yàn)槠浣Y(jié)構(gòu)簡單，容易實(shí)現(xiàn)，所以得到廣泛的應(yīng)用。m序列的常用產(chǎn)生方法是采用線性反饋移位寄存器電路生成。m序列是同樣級(jí)數(shù)的線性移位寄存器所能產(chǎn)生的最長序列，它的效率是最高的。m序列由特征多項(xiàng)式和初始狀態(tài)完全確定。

m序列的特征多項(xiàng)式的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

特征式（10）確定了線性移位寄存器的級(jí)數(shù)和反饋邏輯。其中，（c0，c1，c2…cn）是反饋系數(shù)，當(dāng)反饋系數(shù)ci＝1時(shí)，表示相應(yīng)的第i根連線存在，而當(dāng)ci＝0時(shí)，表示相應(yīng)的第i根連線不存在。

在高速的情況下，m序列的產(chǎn)生大都依賴于并行電路。在并行電路中，并串轉(zhuǎn)換器的作用非常重要，轉(zhuǎn)換器的功能是將低速的并行傳輸數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成高速的串行數(shù)據(jù)。

本文中，通過FPGA設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了四通道的高速偽隨機(jī)序列，單個(gè)通道的輸出速率可以達(dá)到480 MHz的速率。高速偽隨機(jī)序列的設(shè)計(jì)模塊圖如圖3所示。該設(shè)計(jì)模塊是由4個(gè)通道組成，每個(gè)通道都是由鎖相環(huán)（Phase Locked Loop，PLL），隨機(jī)存儲(chǔ)器ROM和并串轉(zhuǎn)換器構(gòu)成。且每個(gè)通道對輸入信號(hào)的處理過程都是相同的。鎖相環(huán)的輸入是硬件電路提供的50 MHz的時(shí)鐘，輸出頻率是80 MHz和480 MHz。其中，低頻率的時(shí)鐘控制存儲(chǔ)器的數(shù)據(jù)傳輸速率；而高頻率的時(shí)鐘控制并串轉(zhuǎn)換器的數(shù)據(jù)串行輸出速率。最后，將4路串行輸出的高速m序列進(jìn)行數(shù)模轉(zhuǎn)換，得到整個(gè)系統(tǒng)輸出的高速偽隨機(jī)序列。

圖3 高速偽隨機(jī)序列設(shè)計(jì)模塊

3.2 高速偽隨機(jī)序列的仿真及實(shí)現(xiàn)

本文將PLL的IP核，并串轉(zhuǎn)換器的IP核和存儲(chǔ)器ROM這3部分的端口分別進(jìn)行映射，然后綜合，進(jìn)行整個(gè)模塊的仿真，其系統(tǒng)模塊的仿真結(jié)果如圖4所示。在這3部分中，鎖相環(huán)和并串轉(zhuǎn)換器的IP核的參數(shù)設(shè)置極為關(guān)鍵重要。同時(shí)，存儲(chǔ)器ROM中也需要存儲(chǔ)正確的二進(jìn)制序列。

圖4 系統(tǒng)模塊輸出的高速偽隨機(jī)序列的仿真

由圖4可知，各個(gè)時(shí)鐘的頻率倍數(shù)對應(yīng)滿足要求，每個(gè)通道輸出的序列和存儲(chǔ)器ROM中存儲(chǔ)單元的數(shù)據(jù)是一致的。鎖相環(huán)IP核的2個(gè)輸出時(shí)鐘頻率是6倍的關(guān)系。并串轉(zhuǎn)換器的IP核的串行輸出序列是6個(gè)并行端口同一時(shí)刻輸入的并行碼元，它的輸出原則是“高位先輸出，低位后輸出”。這與并串轉(zhuǎn)換器IP核的測試性能是一致的，符合設(shè)計(jì)要求。

將ISE軟件仿真產(chǎn)生的bit流文件下載到Xilinx公司的XC6VLX130T芯片中，采用示波器對硬件電路上產(chǎn)生的信號(hào)進(jìn)行觀察和測量。從示波器的測量結(jié)果分析中得到，系統(tǒng)中4個(gè)通道輸出的高速偽隨機(jī)序列的輸出速率均達(dá)到480 MHz，滿足設(shè)計(jì)要求。用示波器觀測到的硬件電路上產(chǎn)生的高速偽隨機(jī)序列的信號(hào)如圖5所示，從觀測的波形圖中可以看出，產(chǎn)生的信號(hào)是周期性的偽隨機(jī)序列，它和存儲(chǔ)器ROM中存儲(chǔ)單元的代碼是一致的。從而證明了本文提出的方案的正確性和可行性。

圖5 硬件產(chǎn)生的高速偽隨機(jī)序列

綜上所述，文中的設(shè)計(jì)方案可以應(yīng)用到產(chǎn)生更高頻率的偽隨機(jī)序列的方案中。具體方法為通過改變鎖相環(huán)的時(shí)鐘控制頻率、并串轉(zhuǎn)換器IP核的并行端口數(shù)目、存儲(chǔ)器ROM中存儲(chǔ)單元的序列代碼等條件，再結(jié)合軟件編程，就可以產(chǎn)生高速率的偽隨機(jī)序列。

4 結(jié)束語

闡述了MWC系統(tǒng)的基本原理，研究了確定性測量矩陣的設(shè)計(jì)，針對調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的混頻調(diào)制波形，提出了一種基于FPGA的四通道高速偽隨機(jī)序列的設(shè)計(jì)方法。并實(shí)現(xiàn)了高速偽隨機(jī)序列的產(chǎn)生，為今后寬帶壓縮采樣處理系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ)。此外，采用此種方法可以根據(jù)需求產(chǎn)生更高頻率的混頻調(diào)制序列。在實(shí)際操作上降低了設(shè)備的復(fù)雜度，使得模塊更加簡單，占用FPGA的資源少。參數(shù)可以靈活設(shè)置，選擇合適的混頻調(diào)制波形，便于傳輸處理，減少存儲(chǔ)空間，方便實(shí)時(shí)處理，節(jié)省成本。

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Research on Deterministic Measurement Matrix of Modulated Wideband Converter

WANG Xue-ling，WANG Hua-li，GUO Ke-feng
（College of Communications Engineering，PLA University of Science and Technology，Nanjing Jiangsu 210007，China）

This paper analyzes a typical implementation structure of implementing broadband compressive sampling，i.e.，modulated wideband converter.Based on the principle of modulated wideband converter，it puts forward the design method of deterministic measurement matrix by using high-speed pseudo sequence as wideband mixed modulated waveform of modulated wideband converter. The four-channel high-speed pseudo random sequence is designed and implemented based on FPGA.The sampling and reconstruction for wideband sparse signals are performed combining with analog mixer，lowpass filter，low-speed A／D converter，digital processing platform and signal reconstruction.The main advantages of FPGA implementation are of easily generating pseudo random sequence，simply implementing structure and flexibly setting parameters.The software simulation and the hardware testing results prove the correct-ness and feasibility of the proposed method.

broadband compressive sampling；modulated wideband converter；mixed modulated waveform；high-speed pseudo sequence；FPGA

TN919

A

1003－3106（2015）10－0007－04

10.3969／j.issn.1003－3106.2015.10.02

王學(xué)玲，王華力，郭克鋒.調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的確定性測量矩陣的研究［J］.無線電工程，2015，45（10）：7－10.

王學(xué)玲女，（1989—），在讀碩士研究生。主要研究方向：壓縮感知與信號(hào)處理技術(shù)。

2015-07-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61271354）。

王華力男，（1967—），博士生導(dǎo)師。主要研究方向：信息感知與信號(hào)處理。