崔媛媛，鄭海鷹，李曉飛

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

雙參數(shù)指數(shù)分布型元件冷儲(chǔ)備系統(tǒng)可靠性的廣義近似置信限

崔媛媛，鄭海鷹?，李曉飛

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

利用廣義近似置信限的方法和E-Bayes方法對(duì)定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)下冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)進(jìn)行了估計(jì)，得到系統(tǒng)可靠性的廣義近似置信限和E-Bayes近似置信限．蒙特卡羅方法模擬結(jié)果表明：小樣本下，E-Bayes方法比廣義近似置信限具有顯著優(yōu)勢(shì)；大樣本下，廣義近似置信限比E-Bayes近似置信限有較大優(yōu)勢(shì)．

雙參數(shù)指數(shù)分布；冷儲(chǔ)備系統(tǒng)；E-Bayes方法；廣義近似置信限

系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的近似置信限研究是可靠性工程理論研究的重要組成部分．雙參數(shù)指數(shù)分布是一種應(yīng)用很廣的壽命分布，很多產(chǎn)品的壽命都可以用它很好地刻畫(huà)．吳和成[1]、嚴(yán)惠云等[2]利用經(jīng)驗(yàn)貝葉斯的方法求出了雙參數(shù)指數(shù)分布下冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的近似置信限，吳和成[1]對(duì)開(kāi)關(guān)不可靠的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的近似置信下限進(jìn)行了分析．但是由于討厭參數(shù)v的存在，我們很難精確計(jì)算其置信限．因此，本文考慮了由n個(gè)元件和一個(gè)切換開(kāi)關(guān)組成的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，試驗(yàn)終止當(dāng)且僅當(dāng)切換開(kāi)關(guān)失效或開(kāi)關(guān)不失效直到所有備用部件用完，且n個(gè)元件的壽命都相互獨(dú)立，服從雙參數(shù)指數(shù)分布；然后利用Werrahandi推廣的置信限概念[3]建立系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的廣義近似置信限和系統(tǒng)可靠度的E-Bayes近似置信下限，并將系統(tǒng)可靠度的廣義置信下限與E-Bayes近似置信下限進(jìn)行比較，得出在樣本數(shù)據(jù)不同時(shí)，廣義置信限與E-Bayes置信限的優(yōu)劣．

1 模型與基本假定

假設(shè)1 冷儲(chǔ)備系統(tǒng)由n個(gè)元件和一個(gè)切換開(kāi)關(guān)組成，開(kāi)始工作時(shí)有一個(gè)元件工作，n-1個(gè)元件做冷儲(chǔ)備．

假設(shè)2 當(dāng)工作元件失效時(shí)，開(kāi)關(guān)切換到冷儲(chǔ)備元件，出現(xiàn)以下情況之一時(shí)系統(tǒng)失效：

（1）使用切換開(kāi)關(guān)時(shí)開(kāi)關(guān)失效；

（2）開(kāi)關(guān)正常運(yùn)行，直到n-1個(gè)備用部件用完時(shí)開(kāi)關(guān)失效．

假設(shè)3 n個(gè)元件的壽命服從相互獨(dú)立的參數(shù)為u, v的雙參數(shù)指數(shù)分布，其概率密度為：

其部件可靠性函數(shù)為：

當(dāng)參數(shù)v給定時(shí)，參數(shù)u的先驗(yàn)分布為：

假設(shè)4 切換開(kāi)關(guān)壽命為0- 1型，每次使用開(kāi)關(guān)成功的概率為p，元件的壽命與開(kāi)關(guān)的好壞也相互獨(dú)立．

為求系統(tǒng)可靠度，引入隨機(jī)變量s，令：

則：

2 冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的近似置信下限

假設(shè)對(duì)部件都進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)，依據(jù)獲得的定數(shù)截尾數(shù)據(jù)建立其R(t )的近似置信下限．

設(shè)x1,x2,…xn為來(lái)自樣本的元件，對(duì)樣本進(jìn)行定數(shù)截尾試驗(yàn)，設(shè)元件的失效數(shù)目為k，x(1)＜x(2)＜…＜x(k )表示x1,x2,…xn中最小的k個(gè)壽命觀測(cè)值．

用隨機(jī)變量Y來(lái)表示冷儲(chǔ)備系統(tǒng)的壽命，有：

由于x1,x2,…xn與開(kāi)關(guān)好壞相互獨(dú)立，因此它們與隨機(jī)變量s相互獨(dú)立，故系統(tǒng)可靠度為：

2.1 系統(tǒng)可靠性的廣義置信下限

則得系統(tǒng)可靠度的廣義置信下限為（4）．

2.2 系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的E-Bayes置信下限

3 數(shù)值模擬

3.1 可靠度置信限比較

（1）考慮由5個(gè)部件3個(gè)儲(chǔ)備部件組成的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，隨機(jī)產(chǎn)生失效數(shù)目r，失效時(shí)間T，定數(shù)截尾實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)x(1)＜x(2)＜…＜x(k )，及定時(shí)截尾數(shù)據(jù)t1＜t2＜…＜tk，服從倒伽馬分布的參數(shù)u1,u2，及參數(shù)v的定值v1,v2．分別以u(píng)1,v1為真值，u2,v2為計(jì)算給出的估計(jì)值；

（2）將u1,v1,u2,v2分別代入r(t )得到參數(shù)u的置信下限，再將u1,v1,u2,v2代入冷儲(chǔ)備系統(tǒng)公式得到系統(tǒng)可靠度的置信下限；

（3）將u1,v1代入r(t )，得到部件失效率r(t )的值，將部件失效率r(t )，失效數(shù)目r，以及既定時(shí)間T分別代入R(t )得到冷儲(chǔ)備系統(tǒng)可靠性近似置信限的E-Bayes近似置信，廣義近似置信限與E-bayes置信限．

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1．

表1 隨機(jī)模擬結(jié)果

由表1可知：當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少的情況，E-Bayes近似置信限與廣義近似置信限具有顯著差異，且由模擬結(jié)果可知可靠性指標(biāo)的E-Bayes置信限與真值更為接近，且E-Bayes比廣義近似置信限更加精確．當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較大時(shí)，廣義近似置信限比E-Bayes近似置信限與真值更為接近，且可靠性較高．

3.2 置信限精度的優(yōu)劣比較

（1）給定u,v的值u*,v*，利用隨機(jī)模擬產(chǎn)生一組u,v值，選取其中一個(gè)記為真值，失效時(shí)間T，定數(shù)截尾實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)x(1)＜x(2)＜…＜x(k )，及定時(shí)截尾數(shù)據(jù)t1＜t2＜…＜tk，服從倒伽馬分布的參數(shù)u1,u2，利用得到的的u,v值分別代入可靠性公式式得到．

（2）數(shù)截尾實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)x(1)＜x(2)＜…＜x(k )，及定時(shí)截尾數(shù)據(jù)t1＜t2＜…＜tk，服從倒伽馬分布的參數(shù)u1,u2帶入公式分別得到uG、uE、RG和RB．

（3）重復(fù)步驟（1），（2）N次，分別得到N組數(shù)據(jù)，分別考慮E-Bayes近似置信限與廣義近似置信限覆蓋u*,的比例C0．計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2．

表2 精度優(yōu)劣比較模擬結(jié)果

由表2可知：樣本數(shù)據(jù)較多的情況下，廣義近似置信限比E-Bayes近似置信限具有更好的精度；而在小樣本數(shù)據(jù)情況下，E-Bayes近似置信限估計(jì)具有的優(yōu)勢(shì)較為顯著．

4 結(jié) 論

本文利用Werrahandi推廣的置信限概念[3]，建立起系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的廣義近似置信限，同時(shí)也建立了系統(tǒng)可靠度的E-Bayes近似置信下限．通過(guò)蒙特卡羅方法進(jìn)行模擬，將系統(tǒng)可靠度的廣義置信下限與E-Bayes近似置信下限進(jìn)行了比較，得出在樣本數(shù)據(jù)不同時(shí)，廣義置信限與E-Bayes置信限的優(yōu)劣．

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On the Reliability of Two-parameter Exponential Distribution for Cold Standby System and Its Generalized Approximate Confidence Limits

CUI Yuanyuan, ZHENG Haiying, LI Xiaofei
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

In this paper, the reliability index of cold standby system under the timing truncation experimental data is evaluated by means of generalized approximate confidence limit and E-Bayes methods. Therefore, the generalized method of approximate confidence limits and the E-Bayes approximate confidence limit of the system reliability are obtained. The simulated result of Monte-carlo method indicates that E-Bayes method under small samples has significant advantages over the generalized approximate confidence limit, while under large samples the result is on the contrary.

Two-parameter Exponential Distribution; Cold Standby System; E-Bayes Method; Generalized Approximate Confidence Limits

O213

A

1674-3563(2015)03-0001-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.03.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2014-08-15

崔媛媛(1988- )，女，山西長(zhǎng)治人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)．? 通訊作者，wzzhying@163.com