王海玲,肖筱南

(廈門大學嘉庚學院,福建漳州363105)

具有非局部時滯合作擴散模型行波解的存在性

王海玲*,肖筱南

(廈門大學嘉庚學院,福建漳州363105)

在前人的基礎(chǔ)上,通過改變模型結(jié)構(gòu),運用上、下解方法,研究了一類具有非局部時滯合作擴散模型的行波解的存在性,改進了前人的研究范圍,同時把這種方法推廣到一般的Lotka-Volterra方程和更廣泛的范圍.

非局部時滯;行波解;上、下解

近年來,基于各種現(xiàn)實背景,人們對反應擴散方程組的行波解給予極大的關(guān)注,并且取得了不少的成果.特別是對具有離散時滯的反應擴散方程的研究很多[1-5].另外,由于生物個體所在的空間位置通常會隨時間變化而改變,因此將它與時間滯后相結(jié)合,則產(chǎn)生了具有非局部的反應擴散方程組.因此,具有連續(xù)時滯的反應擴散方程引起了人們的較大興趣[6-9].采用文獻[9]的方法,通過加入兩個物種的內(nèi)在增長種類,考慮如下具有非局部時滯的合作擴散模型的行波解的存在性:

其中,t＞0,x∈Ω?Rm,ai,bi,ci,di(i=1,2),r1,r2是正常數(shù),r1,r2表示內(nèi)在的增長種類,u1,u2表示在t時刻x位置時的兩個合作者人口的密度,d1,d2為擴散系數(shù),gj(t,x)為非負可積函數(shù),且滿足

關(guān)于式(1)的其他各種形式已被許多作者進行研究.如時滯改為離散型,則式(1)變?yōu)?/p>

文獻[5]研究了行波解的存在性.如果b1=b2=0,則式(2)變?yōu)?/p>

文獻[10]也研究了行波解的存在性.文獻[4]采用同樣的方法,通過構(gòu)造不同的上下解研究了具有離散時滯的競爭模型行波解的存在性,模型如下:

模型(2)～(4)都只表示物種在局部范圍內(nèi)擴散,但是在生態(tài)學和流行病學等領(lǐng)域,局部反應擴散方程并不能準確描述研究對象的時空行為,所以基于以上幾個模型的研究思路,本文以核函數(shù)為例,采用同樣方法,通過引入卷積算子來描述空間擴散過程以及構(gòu)造不同于上述模型的上下解對(1)的行波解的存在性進行研究,使得我們的上下解滿足擬單調(diào)條件.

1 預備內(nèi)容

考慮下面具有非局部時滯的反應擴散方程組:

其中,

其中g(shù)j是非負可積函數(shù),且滿足

1,令u(x,t)=φ(x+ct),用t代替x+ct,則式(5)可變?yōu)?

為研究方程組(6)行波解的存在性,假設如下:
(H1)存在β=diag(β1,…,βn),βi＞0,i=1,…n,使得

其中,φ,ψ∈C(R,Rn)滿足:(i)0≤ψ(t)≤φ(t)≤k,t∈R;(ii)eβt[φ(t)ˉψ(t)]是t∈R上的單調(diào)增加函數(shù), eˉβt[φ(t)ˉψ(t)]是t∈R上的單調(diào)減少函數(shù);

(H2)當0＜μ＜k時,f(μ,…,μ)≠0;

(H3)當μ=0,k時,f(μ,…,μ)≠0.

方程組(6)的上、下解定義如下:

定理1 假設(H1,H2,H3)成立,且是一對上下解,滿足n}ˉ1時,式(5)有滿足式(7)的行波解φ*,滿足ˉφ≥

2 主要結(jié)果的證明

令ui(x,t)=φi(s),s=x+ct,用t代替s,則系統(tǒng)(1)化為:

文中,記

令式(9)的邊界條件為:

為計算方便,令

引理1 當τ1,τ4充分小,βi≥2aiki+5bikiˉri(if1,f2滿足(H)條件.

證明 令φ=(φ1,φ2),ψ=(ψ1,ψ2)∈C([ˉcτ,0], R2)且滿足(i)0≤ψ(s)≤φ(s),s∈[ˉcτ,0].(ii)eβs[φ(s) ˉψ(s)]在[ˉcτ,0]上單調(diào)不減.則

即

同理可證,

即f1,f2滿足(H)條件.

引理2 eβt[φ(t)ˉψ(t)]在t∈R上是單調(diào)不減的.

證明 當t＞0時,ψ1(t)=ε,φ1(t)=k1,則

當t≤0時,ψ1(t)=εeλ2t,φ1(t)=k1eλ1t,則

引理3 eˉβt[φ(t)ˉψ(t)]在t∈R上是單調(diào)不增的.

證明 當t＞0時,ψ1(t)=ε,φ1(t)=k1,則

當t≤0時,ψ1

綜上,φ(t)=(φ1(t),φ2(t))是系統(tǒng)(9)的上解.

由引理1～5,有如下結(jié)果.

注1 文中的τi,i=2,3對方程組(1)的行波解沒有影響;

注2 取以下不同的核時,定理2的結(jié)論仍然成立:

[1] Zou X F,Wu J H.Existence of traveling wave-fronts in delayed reaction-diffusion system via monotone iteration method[J].Amer Math Society,1997,125(9): 2589-2598.

[2] Joseph W H S,Wu J H,Zou X F.A reaction diffusion model for a single species with age structure.ⅠTraveling wave fronts on unbounded domains[J].Proc R Soc Lond A,2001,457(2012):1841-1854.

[3] Ma S.Traveling wave-fronts for delayed reaction-diffusion systems via a fixed point theorem[J].J Differential Equations,2001,171(2):294-314.

[4] Lv G Y,Wang M X.Traveling wave front in diffusive and competitive Lotka-Volterra system with delays[J]. Nonlinear Analysis Real World Applications,2009,11 (3):1323-1329.

[5] Huang J H,Zou X F.Traveling wave fronts in diffusive and cooperative Lotka-Volterra system with delays[J].J Math Anal Appl,2002,271:455-466.

[6] Stephen A G,Ruan S G.Convergence and traveling fronts in functional differential equations with non-local terms:a competition model[J].SIAM J Math Anal,2003, 35(3):806-822.

[7] Wang Z C,Li W T.Monotone traveling fronts of a foodlimited population model with non-local delay[J].Nonlinear Analysis Real World Applications,2007,8(2): 699-712.

[8] Wang Z C,Li W T,Ruan S.Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with spatio-temporal delays[J]. J Differential Equations,2006,222(1):185-232.

[9] Li W T,Wang Z C.Traveling fronts in diffusive and cooperative Lotka-Volterra system with nonlocal delays [J].J Math Phys,2007,58(4):571-591.

[10] Wu J,Zou X.Traveling wave fronts of reaction diffusion systems with delay[J].J Dynam Diff Eq,2001,13(3): 651-687.

The Existence of Traveling Wave Fronts Solution in Diffusive and Cooperative Equations with Nonlocal Delays

WANG Hai-ling*,XIAO Xiao-nan
(Tan Kah Kee Colledge,Xiamen University,Zhangzhou 363105,China)

:On the basis of pioneers′work and modified models,the existence of traveling wave-fronts solutions in diffusive and cooperative Lotka-Volterra systems with nonlocal delays is established,depending on the construction of a pair of upper-lower solutions. This method facilitates to improve previous results and is applied to general Lotka-Volterra equation or even to broader systems.

nonlocal delays;traveling fronts solutions;upper-lower solutions

O 175.26

A

0438-0479(2015)03-0364-05

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.03.013

2014-03-05 錄用日期:2014-11-20

國家自然科學基金(10871163)

*通信作者:whling@xujc.com

王海玲,肖筱南.具有非局部時滯合作擴散模型行波解的存在性[J].廈門大學學報:自然科學版,2015,54(3): 364-368.

:Wang Hailing,Xiao Xiaonan.The Existence of Traveling Wave Fronts Solution in Diffusive and Cooperative Equations with Nonlocal Delays[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(3):364-368.(in Chinese)