王自強(qiáng),曹俊英,2*

(1.貴州民族大學(xué)理學(xué)院,貴州貴陽(yáng)550025;2.廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門(mén)361005)

空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的Multiquadric擬插值解法

王自強(qiáng)1,曹俊英1,2*

(1.貴州民族大學(xué)理學(xué)院,貴州貴陽(yáng)550025;2.廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門(mén)361005)

基于擬插值算子對(duì)空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程構(gòu)造了一個(gè)新的數(shù)值格式.首先在散落點(diǎn)上用三次Multiquadric(MQ)函數(shù)的平移構(gòu)造了一個(gè)擬插值算子,分析了此擬插值算子的再生性、保形性和對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的收斂性,最后利用上述擬插值算子并結(jié)合時(shí)間差分格式構(gòu)造了空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的計(jì)算格式.收斂性分析顯示:當(dāng)時(shí)間方向用Crank-Nicolson格式時(shí),精度為O(Δt2+h4ˉα),當(dāng)時(shí)間方向用向后Euler格式時(shí),精度為O(Δt+h4ˉα),其中Δt為時(shí)間步長(zhǎng),h為空間步長(zhǎng).數(shù)值結(jié)果表明MQ擬插值方法是構(gòu)造數(shù)值格式的一個(gè)有效工具.

Multiquadric擬插值;分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程;保形性;逼近性分析

由于徑向基函數(shù)具有簡(jiǎn)單性、精確性、各向同性以及便于向高維問(wèn)題的擴(kuò)展等優(yōu)點(diǎn),越來(lái)越多的研究者用它們構(gòu)造插值函數(shù),得到了非常好的結(jié)果. Light[1]、Schaback等[2]分別在1992年和1996年用徑向基函數(shù)來(lái)構(gòu)造了一些插值函數(shù).1971年Hardy[3]首次介紹了Multiguadric(MQ)函數(shù).1982年Franke[4]指出:就精度、穩(wěn)定性、有效性、內(nèi)存要求和易于實(shí)現(xiàn)而言,MQ函數(shù)在29種散落數(shù)據(jù)插值格式中首屈一指.然而,當(dāng)插值點(diǎn)數(shù)非常大時(shí),插值矩陣可能病態(tài).與插值相比,擬插值不但避免了病態(tài)問(wèn)題,而且具有多項(xiàng)式再生性質(zhì)和保形性質(zhì).基于擬插值方法的上述優(yōu)點(diǎn),研究者們?nèi)绾螌?duì)于非均勻數(shù)據(jù)構(gòu)造出具有好性質(zhì)的擬插值算子近來(lái)已經(jīng)成為一個(gè)熱門(mén)研究課題[5-7].由于MQ擬插值算子具有許多好性質(zhì),很多研究者開(kāi)始利用MQ擬插值算子構(gòu)造求解偏微分方程的數(shù)值格式[8-11].本文構(gòu)造了一種MQ擬插值方法用它來(lái)求解空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程.該方法可以處理復(fù)雜的邊界條件和初值具有散亂數(shù)據(jù)的情況.利用三次MQ函數(shù)的平移構(gòu)造了一個(gè)高階擬插值算子,然后將該擬插值算子用在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)上,并結(jié)合時(shí)間差分格式構(gòu)造了空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的計(jì)算格式.

1 基于MQ函數(shù)的擬插值算子的構(gòu)造

假設(shè)f(x)充足光滑,我們利用MQ函數(shù)作為核函數(shù),構(gòu)造f(x)的一個(gè)擬插值算子?(x),即采用函數(shù)的平移φj(x)=φ(xˉxj)作為一組基函數(shù),其中c是形狀參數(shù)且為正的常數(shù),{(xj,為數(shù)據(jù)點(diǎn),有:

其中:

2 擬插值算子?(x)的性質(zhì)和逼近性

為了后面理論分析的需要,這里將引入文獻(xiàn)[12]證明的一些擬插值算子?(x)的多項(xiàng)式的再生性、擬凸性、三和四階導(dǎo)數(shù)的凸性及其逼近性結(jié)果.

定理4 假設(shè)f(x)的三階導(dǎo)數(shù)是Lipschitz連續(xù),則當(dāng)c=O(h2),擬插值算子?(x)的逼近階滿足

3 基于擬插值算子的數(shù)值格式

在這里,將利用擬插值算子給出求解空間分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值格式.當(dāng)1＜α＜2時(shí),α階Caputo導(dǎo)數(shù),定義為:

定理5 設(shè)f(x)具有三階導(dǎo)數(shù)Lipschitz連續(xù),則α(1＜α＜2)階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的?(x)滿足:

證明 固定x∈[a,b],設(shè)p(y)是f(y)在點(diǎn)x的局部泰勒展開(kāi),亦即:

易知,p[xjˉ2,xjˉ1,xj,xj+1,xj+2]≡0,這里p[xjˉ2,xjˉ1, xj,xj+1,xj+2]表示p(y)的差商.根據(jù)定理1,得:

并且,

其中ξj∈(xjˉ1,xj+2),ηj∈(xjˉ2,xj+1).

引入j=0,…,n的特征函數(shù)

則有

其中Ci,i=0,1是與x和h無(wú)關(guān)的正常數(shù).現(xiàn)在,我們得到了α(1＜α＜2)階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)一個(gè)擬插值近似?(x).顯然,當(dāng)時(shí),收斂階可以達(dá)到4ˉα,定理證畢.

設(shè)Ω=[a,b],I=[0,T],記QT：=Ω×I,考慮如下一維的空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(SFDEs):

滿足下列初邊值條件:

這里α∈(1,2)是空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).

在空間方向上,利用擬插值算子的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)逼近u″(τ,tk),因此

在時(shí)間方向上,用Crank-Nicolson格式和向后Euler格式,則有

定理6 (i)格式(10)的截?cái)嗾`差是O(Δt2+ h4ˉα).(ii)格式(11)的截?cái)嗾`差是O(Δt+h4ˉα).

4 數(shù)值算例

我們主要做兩個(gè)方面測(cè)試,一方面,測(cè)試擬插值算子對(duì)函數(shù)的逼近性質(zhì).設(shè)f(x)=x4是被逼近函數(shù),選擇形狀參數(shù)c和步長(zhǎng)h,來(lái)測(cè)試擬插值算子?(x)對(duì)被逼近函數(shù)的逼近度.在表1中,分別選取和c=0.1h,0.2h,0.5h,h,2h,計(jì)算.在表2中,分別取c=80h2,h=測(cè)試?(x)當(dāng)h變化時(shí)的收斂階.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),選擇等距剖分的樣點(diǎn)

通過(guò)分析表1的數(shù)值結(jié)果,發(fā)現(xiàn)擬插值算子的逼近性依賴(lài)于形狀參數(shù)c和步長(zhǎng)h.從表2中發(fā)現(xiàn),當(dāng)c= O(h),O(h1.5)和O(h2)時(shí),擬插值算子?(x)的收斂階能夠達(dá)到2,3和4.從圖1中發(fā)現(xiàn)擬插值算子?(x)能很好的逼近f(x).通過(guò)這些算例發(fā)現(xiàn)對(duì)擬插值算子數(shù)值結(jié)果和理論分析是非常吻合的.

表1 的逼近性Tab.1 The approximation capacity of

c h‖?(x)ˉf(x)‖∞1 10 7.105×10 1 ˉ3 100 1 1 5010 7.420×10ˉ31 10 9.633×10ˉ31 1 20 10 1.763×10ˉ21 1 10 10 5.094×10ˉ21 1 5 ˉ5 1 1 000100 9.846×10 1 1 100 1.028×10ˉ41 500 100 1.334×10ˉ41 1 200 100 2.425×10ˉ41 1 100 1 50100 6.796×10ˉ41 1 000 1.012×10 1 ˉ6 10 000 1 1 000 1.057×10ˉ61 1 5 000 1 000 1.371×10ˉ61 1 2 000 1 000 2.493×10ˉ61 1 1 000 1 000 6.979×10 1 ˉ6 500

表2 測(cè)的逼近階Tab.2 The convergence order of

表2 測(cè)的逼近階Tab.2 The convergence order of

c h‖?(x)ˉf(x)‖∞Rate 80 150.176 80 20 1 2 15 20 5.576×10ˉ24.003 3 8 1 2 1 2525 50 3.785×10ˉ22.015 3 65 50 1.530 81 50 50 5.036×10 1 ˉ2 1.5 65 100100 6.293×10ˉ21 1.5 3.000 6

另一方面,測(cè)試?yán)脭M插值算子構(gòu)造的SFDEs數(shù)值格式的收斂性.考慮問(wèn)題(7)～(9),其精確解為:

相應(yīng)的右端項(xiàng)為:

圖1 取,函數(shù)f(x)=x4和它的擬插值?(x)Fig.1 Function f(x)=x4and its quasiinterpolation operator?(x)when

為了觀察數(shù)值解逼近精確解的精度,計(jì)算了在L∞下的下面所有圖和表的數(shù)值結(jié)果都是在Ω=[0,1]和T=1時(shí)得到的.

首先,研究空間方向的收斂精度.為此,取時(shí)間步長(zhǎng)足夠小使得其產(chǎn)生的誤差不影響空間精度.表3顯示了最大誤差隨不同的空間步長(zhǎng)h和形狀參數(shù)c的變化行為,并列出了相應(yīng)的階數(shù).從表中看到,當(dāng)1＜α＜2時(shí),格式(10)和格式(11)的空間精度是4ˉα階.

其次,我們研究時(shí)間方向的收斂精度.表3顯示了最大誤差隨不同的空間步長(zhǎng)h和形狀參數(shù)c的變化行為,并列出了相應(yīng)的階數(shù).取Δt=h,從表中數(shù)據(jù)可以看出,格式(10)的時(shí)間收斂階接近2階.取Δt=h2,從表中發(fā)現(xiàn)格式(11)的時(shí)間收斂階接近1階.這些數(shù)值結(jié)果與理論分析相吻合.

最后,測(cè)試參數(shù)c對(duì)收斂性的影響.僅以格式(10)為例.圖2表示,不同參數(shù)c下的L∞誤差.從圖2中發(fā)現(xiàn)數(shù)值解很好的逼近精確解.進(jìn)一步地,我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)形狀參數(shù)c變小時(shí),誤差也隨著變小.

5 結(jié) 論

我們利用MQ擬插值方法求解空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程.首先,在散落點(diǎn)上利用三次MQ函數(shù)構(gòu)造了一個(gè)擬插值算子,并分析了此擬插值算子的多項(xiàng)式再生性、保形性和對(duì)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的收斂性.其次,利用上述插值算子并結(jié)合時(shí)間差分格式構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的計(jì)算格式.收斂性分析顯示:當(dāng)時(shí)間方向用Crank-Nicolson格式時(shí),精度為O(Δt2+h4ˉα);當(dāng)時(shí)間方向用向后Euler格式時(shí),精度為O(Δt+h4ˉα).最后,數(shù)值結(jié)果表明MQ擬插值方法是構(gòu)造數(shù)值格式的一個(gè)有效工具.

表3 空間和時(shí)間精度Tab.3 The spatial and temporal convergence rate of scheme

圖2 ,不同參數(shù)c下的L誤差∞Fig.2 The Lerrors when∞and different parameter c

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Multiquadric Quasi-interpolation for Space Fractional Diffusion Equations

WANG Zi-qiang1,CAO Jun-ying1,2*
(1.College of Science,Guizhou Minzu University,Guiyang 550025,China; 2.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

:In this article,we apply a new quasi-interpolation operator to solve the space fractional diffusion equation.We first construct a new univariate quasi-interpolation operator based on scattered points by cubic multiquadric functions.We discuss the polynomial reproduction,shape-preserving properties,and convergence for fractional derivative of this quasi-interpolation operator.Based on this quasi-interpolation,a spatial approximation is proposed to discretize partial differential equations.By combining the quasi-interpolation in space and finite difference schemes in time,we construct an efficient method to solve the space fractional diffusion equation. Numerical experiments show that the accuracy of our method is of order O(Δt2+h4ˉα)if the Crank-Nicholson scheme is used,and order O(Δt+h4ˉα)if Backward Euler is used,whereΔt is the time step size,and h is the space mesh size.Numerical results show that MQ quasi-interpolation method is an effective tool for constructing numerical schemes.

multiquadric quasi-interpolation;fractional diffusion equation;shape-preserving property;approximation capacity

O 241.82

A

0438-0479(2015)03-0358-06

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.03.012

2014-03-31 錄用日期:2014-08-25

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2012(B025904));國(guó)家自然科學(xué)基金(11426074);貴州省科學(xué)技術(shù)基金([2014]2098,[2013] 2144);貴州省教育廳項(xiàng)目([2013]405)

*通信作者:caojunying1000@126.com

王自強(qiáng),曹俊英.空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的Multiquadric擬插值解法[J].廈門(mén)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,54(3): 358-363.

:Wang Ziqiang,Cao Junying.Multiquadric quasi-interpolation for space fractional diffusion equations[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(3):358-363.(in Chinese)