米 楊，張曉瀛，魏急波

(國防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙 410073)

三維模型中的多普勒功率譜分析*

米 楊，張曉瀛，魏急波

(國防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙 410073)

多普勒效應(yīng)是移動通信中最常見的現(xiàn)象，研究多普勒功率譜密度的分布，對建立更準(zhǔn)確并貼合實際的無線信道模型具有重大意義。分析了兩種不同幾何模型中的多普勒功率譜，重點討論了三維模型中入射波到達(dá)角度對多普勒功率譜的影響，仿真結(jié)果表明，方位角和高度角的分布及最大角取值范圍共同決定了多普勒功率譜的分布特性。

多普勒功率譜；到達(dá)角分布；三維模型

0 引 言

在無線通信系統(tǒng)中，由于多徑、散射環(huán)境等的影響，移動信道會產(chǎn)生頻率色散，即基站發(fā)出的頻域脈沖信號，經(jīng)過多普勒頻移，使得接收信號的頻率范圍展寬，造成色散[1]。作為描述頻率色散的重要特征，多普勒功率譜在信道建模和信道估計中起著至關(guān)重要的作用。傳統(tǒng)的多普勒功率譜分析假設(shè)電磁波只存在水平面，沒有考慮整個三維空間中的信號傳播。然而在實際環(huán)境中，由于遮擋物高度的影響，在二維平面內(nèi)分析多普勒功率譜是不準(zhǔn)確的，因此需要綜合分析三維空間中多普勒功率譜，使信道建模更加貼近實際。

在對多普勒功率譜的傳統(tǒng)研究中，研究者大多使用Clark模型，該模型是一種經(jīng)典的二維模型[2]。Aulin首次提出了分析多普勒譜的三維模型[3]，在此之后，不斷有學(xué)者研究高度角分布對多普勒譜的影響，更接近全球移動通信系統(tǒng)(Global system for Mobile，GSM)角度功率譜分布的高斯分布[4]和更符合1 800 MHz數(shù)字蜂窩移動通信系統(tǒng)(Digital Cellular System 1 800 MHz, DCS1800)的拉普拉斯分布[5]相繼被應(yīng)用。本文首先給出二維模型下的多普勒功率譜推導(dǎo)，重點分析三維幾何模型下的多普勒功率譜特性及到達(dá)角對其產(chǎn)生的影響，并結(jié)合實測數(shù)據(jù)總結(jié)三種常見多普勒功率譜，分析其產(chǎn)生條件及應(yīng)用環(huán)境。

1 幾何模型

由于移動端的運(yùn)動，信號傳播過程中會產(chǎn)出多普勒頻移。設(shè)移動端相對于基站的運(yùn)動速度為v，其運(yùn)動方向與基站的夾角為θ，則多普勒頻移為：

(1)

由(1)式可知，影響多普勒頻移的因素為載頻fc，移動速度v和角度θ。其中，載頻fc只決定多普勒功率譜的中心頻率，并不改變功率譜分布特性。下面分別給出二維、三維幾何模型并在此基礎(chǔ)上對多普勒功率譜進(jìn)行分析。

圖1(b)給出了空間三維幾何模型，該模型中考慮了信號在非水平面的傳播。如圖所示為信號傳播中的任意一徑，假設(shè)移動端在水平面(x-y面)上運(yùn)動，信號經(jīng)散射體到達(dá)移動端，將x-y面稱作方位角平面，過散射體和移動端且垂直于x-y的平面稱為高度角平面，散射體和移動端的連線與在x-y面上投影所成的夾角β為高度角，投影和運(yùn)動方向所成的夾角α為方位角。到達(dá)角θ和方位角α、高度角β的關(guān)系如下[6]：

cosθ=cosα·cosβ

(2)

考慮多徑情況，在如圖1所示的幾何模型中，帶通接收信號的等效低通信號可以寫成如下形式：

(3)

(a)二維幾何模型

(b)三維幾何模型

接收信號的自相關(guān)函數(shù)為：

女子被土狼襲擊之后，青辰曾近距離地觀察過那傷口，很深。那時與現(xiàn)在只隔著六七個時辰，但現(xiàn)在的傷口，卻似乎比那時要淺著許多。青辰望向其他人，其他人似乎并沒有注意到這種異象。

(4)

將式(2)代入上式，可得三維模型下的接收信號自相關(guān)函數(shù)為：

(5)

對自相關(guān)函數(shù)做傅里葉變換，可得到接收信號的多普勒功率譜，即:

(6)

為了表述的統(tǒng)一，在此指出，在二維模型下討論到達(dá)角θ，等同于對方位角α進(jìn)行分析；在三維模型下討論到達(dá)角θ，需分別討論方位角α和高度角β。本文將先在二維模型中分析多普勒功率譜的特性；再擴(kuò)展到三維模型中，分析方位角分布一定時，高度角對多普勒功率譜的影響。

2 二維模型中的多普勒功率譜分析

(7)

式中J0為第一類0階貝塞爾函數(shù)。將該式代入到式(6)，可得到α服從均勻分布時的多普勒功率譜的表達(dá)式為:

(8)

式(8)即為U型譜的基本表達(dá)式，表明功率譜以載波為中心，分布在±fm之間。多普勒功率譜仿真曲線如圖2所示。

圖2 Jakes功率譜密度

圖3 大散射體簇場景

圖4 大散射體簇對應(yīng)多普勒譜

除到達(dá)角的分布外，移動速度v同樣對多普勒功率譜特性產(chǎn)生影響，其影響體現(xiàn)在移動速度可以改變最大多普勒頻移，進(jìn)而改變多普勒擴(kuò)展。以經(jīng)典Jakes U型譜為例，下面給出移動速度v對多普勒功率譜影響的仿真結(jié)果。設(shè)信道環(huán)境為瑞利衰落信道，采樣時間為2×10-4，采樣點數(shù)為5 000，最大多普勒頻移fm分別為10 Hz，30 Hz和100 Hz，對應(yīng)的多普勒功率譜密度如圖5所示。

從圖中可以看出，當(dāng)fm=100 Hz時，多普勒功率譜為經(jīng)典U型譜，隨著最大多普勒頻移的減小，多普勒擴(kuò)展逐漸減小，功率譜中兩個峰靠近。當(dāng)最大多普勒頻移減小到約10 Hz時，功率譜由U型演變?yōu)榧庹?，功率譜密度主要集中在中心頻率附近。

綜合以上仿真分析可知，在二維模型中，主要存在U型譜和尖窄型譜兩種多普勒功率譜，在移動速度緩慢或散射體集中的場景中，多普勒功率譜體現(xiàn)為尖窄型譜；而在移動速度較快或散射豐富且分布廣泛的環(huán)境中，則主要體現(xiàn)為U型譜。

圖5 不同移動速度對應(yīng)的多普勒功率譜

3 三維模型高度角對多普勒譜的影響

如式(2)所示，為了便于分析三維空間模型中的多普勒功率譜，將入射波的到達(dá)角分為方位角和高度角兩部分討論。本文第二節(jié)給出了方位角變化和多普勒功率譜的一般規(guī)律，下面將分析高度角分布和取值范圍對多普勒功率譜的影響。

高度角β分布可大致分為以下幾類：Aulin提出的分布模型[3]、高斯分布[4]、拉普拉斯分布[5]、Parsons提出的分布模型[6]及雙邊指數(shù)分布[8]。Aulin在文獻(xiàn)[3]中首次將入射波的到達(dá)角引入三維空間，為得到自相關(guān)函數(shù)和多普勒功率譜的閉合表達(dá)式，他提出一種高度角的PDF表達(dá)式，該分布便于進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但后來被證明并不貼近實際。Parsons在文獻(xiàn)[6]中對Aulin模型進(jìn)行了分析并提出了更貼近實際的高度角分布，在此基礎(chǔ)上，不斷有學(xué)者改進(jìn)或提出適用于不同場景的高度角分布，本文選取Aulin和Parsons分布進(jìn)行仿真分析。

(9)

該式在一般情況下無法得到確切的解析表達(dá)式，因此Aulin提出了如下所示的β分布，當(dāng)β服從式(10)分布時，對R(τ)做傅里葉變換可以得到閉合表達(dá)式：

(10)

式中βm是β可以達(dá)到的最大值，β的取值限定在±βm之間。該角度分布特性的PDF曲線如圖6中的(a)所示，其對應(yīng)的多普勒功率譜如式(11)所示[3]，其仿真結(jié)果由圖6 (b)給出，仿真中βm的取值分別為10o、15o、30o和45o。

(11)

(a)服從Aulin分布的p(β)

(b)服從Aulin分布的多普勒功率譜

然而，從圖6(a)中可以看出，該分布在±βm處存在斷點，其原因是表達(dá)式在±βm處有趨近于正負(fù)無窮的值。Aulin僅在文獻(xiàn)中證明了在βm很小時，該分布是符合實際的，但隨著βm的增大，對應(yīng)的功率譜和實際有一定偏差。為了避免角度分布中斷點的出現(xiàn)，Parsons提出了一種更加貼近實際的β分布，其表達(dá)式如下：

(12)

將上式代入到式(9)中，可得到自相關(guān)函數(shù)為：

(13)

對其做傅里葉變換可得到相應(yīng)的多普勒功率譜，服從該角度分布的PDF曲線和多普勒譜如圖7所示。

(a)Parsons分布的p(β)

(b)Parsons分布的多普勒譜

由圖7(b)可以看出，多普勒功率譜的變化規(guī)律和Aulin譜相似：βm越小，其功率譜密度越接近U型譜，在±fm出存在尖峰，當(dāng)βm<15o時，功率譜密度分布近似為U型譜，高度角對其影響很??；反之，βm越大，高度角對譜密度影響越大，f趨近于±fm處越平坦。

綜合分析圖6(b)和圖7(b)，可以看出高度角取值范圍βm對多普勒功率譜影響的一般規(guī)律：在βm取值很小時，多普勒功率譜近似于U型譜，隨著βm的逐漸增大，功率譜兩端的峰值逐漸降低，譜函數(shù)整體趨于平坦。此外，對比圖6(b)和圖7(b)，可以看出高度角分布特性不同，多普勒譜密度的分布也隨之改變，在f趨近于±fm處尤為明顯，但與方位角分布不同的是，高度角分布的不同僅對多普勒功率譜產(chǎn)生小幅度影響，并不會徹底改變其分布特性。

上文仿真得到的角度取值范圍對多普勒功率譜的影響，在實測中已得到證實。XiongwenZhao[9]等人對5.3GHz下移動環(huán)境多普勒功率譜特性進(jìn)行了測量，圖8給出了其測量結(jié)果并總結(jié)了一般規(guī)律。

如圖8所示，測量結(jié)果顯示，移動通信的功率譜可大致歸納為三種形狀：即U型譜、尖窄型譜和平坦譜。當(dāng)方位角分布均勻且分散，高度角取值范圍較小時，功率譜表現(xiàn)為圖8(a)中所示U型譜；當(dāng)方位角和高度角均集中在較小的范圍內(nèi)時，體現(xiàn)為(b)中所示的尖窄型譜；當(dāng)方位角和高度角取值范圍都較大時，體現(xiàn)為(c)中的平坦譜[9]。

(a)U型譜

(b)尖窄型譜

(c)平坦譜

4 結(jié) 語

本文首先給出了研究多普勒功率譜的二維和三維幾何模型，在二維模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了方位角均勻分布情況下的經(jīng)典U型功率譜，并分析了尖窄型功率譜的適用場景及物理意義。此外，作為三維模型的特點，重點分析和仿真了不同高度角分布及取值范圍下的多普勒譜，并通過實測結(jié)論給出一般規(guī)律。通過分析可知，在三維空間模型中，多普勒功率譜受方位角和高度角的共同制約。

除本文分析的因素之外，MIMO系統(tǒng)中天線模式和極化方式也影響著多普勒功率譜。另外，近年來研究者們不斷探究高鐵、隧道和海面等環(huán)境的多普勒效應(yīng)，高移動速率、跳頻和海雜波等將逐漸成為研究和估計多普勒功率譜的重要因素[10-12]，對這些因素進(jìn)行深入研究，有助于建立更符合實際的信道模型，以適應(yīng)新的場景和更高的移動速度。

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Doppler Power Spectrum Analysis in 3D Model

MI Yang, ZHANG Xiao-ying, WEI Ji-bo

(School of Electronic Science & Engineering, NUDT, Changsha Hunan 410073, China)

Doppler shift is one of the most common phenomena in mobile communication. Study on the distribution of Doppler PSD (Power Spectrum Density) is of great significance in constructing a more accurate and realistic wireless channel model. Doppler power spectrums in two different geometric models are analyzed and the influence of incoming wave’s arrival angle on Doppler power spectrum in 3D(three-dimensional) model is discussed in detail. Simulation results show that the distribution of azimuth angle and elevating angle and the value range of maxmum-angle jointly determine the distribution characteristics of Doppler power spectrum.

Doppler spectrum; arrival angle distribution; 3D model

date:2015-01-17；Revised date：2015-03-17

TN92

A

1002-0802(2015)04-0404-06

米 楊(1990—)，女，碩士研究生，主要研究方向為無線信道建模;

張曉瀛(1980—)，女，博士，講師，主要研究方向為無線信道建模;

魏急波(1967—)，男，博士，教授，主要研究方向為現(xiàn)代通信技術(shù)、軟件無線電。

10.3969/j.issn.1002-0802.2015.04.006

2015-01-17；

2015-03-17