王曉東， 楊紹普， 趙志宏

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

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Duffing振子和Van der Pol振子耦合的動(dòng)力學(xué)行為分析

王曉東1,2， 楊紹普1,2， 趙志宏2

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

針對(duì)耦合非線性混沌振子復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，本文將Duffing振子和Van der Pol振子進(jìn)行耦合，建立了Duffing振子和Van der Pol振子的耦合模型。與單個(gè)振子相比，耦合Duffing振子和Van der Pol振子表現(xiàn)出了更加豐富的動(dòng)力學(xué)特性，采用Simulink仿真的方法，通過(guò)不同策動(dòng)力幅值、不同耦合系數(shù)、不同頻率下耦合非線性振子的相圖和龐加萊截面圖分析了耦合非線性振子的動(dòng)力學(xué)行為，研究了耦合振子對(duì)微弱周期信號(hào)的敏感性和對(duì)噪聲的免疫力，并將此模型應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)的研究中。

混沌；耦合振子；微弱信號(hào)檢測(cè)；仿真

0 引言

近年來(lái), 對(duì)混沌的研究從低維時(shí)間系統(tǒng)轉(zhuǎn)向高維時(shí)空系統(tǒng)。將若干不同的非線性振子(如Van der Pol振子、Duffing振子等)相互耦合, 構(gòu)成的耦合非線性振子系統(tǒng), 是研究時(shí)空混沌的較為理想的模型[1-2]。由于耦合系統(tǒng)兼有兩個(gè)振子的共同特性，會(huì)表現(xiàn)出更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，所以耦合振子的動(dòng)力學(xué)行為在理論和應(yīng)用中具有重要意義, 因而日益受到重視。經(jīng)典的Duffing 及Van der Pol振子雖然在表達(dá)形式上很簡(jiǎn)單，但是由于具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性而極具代表性，它們常常被用來(lái)模擬系統(tǒng)的非線性特性，比如用耦合非線性振子系統(tǒng)描述和處理生物學(xué)、化學(xué)、光學(xué)、凝聚態(tài)物理學(xué)等眾多領(lǐng)域的物理過(guò)程。各國(guó)學(xué)者對(duì)耦合振子系統(tǒng)的研究大致包括兩方面工作，即系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為和系統(tǒng)的控制與同步[3]。長(zhǎng)期的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，耦合振子和單個(gè)振子相比具有更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

本文研究了Duffing振子和Van der Pol振子相互耦合的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)于這方面的文獻(xiàn)相對(duì)還比較少，文獻(xiàn)[4]依照它們各自的非線性特點(diǎn)耦合到一起，發(fā)現(xiàn)了一些特性，依然具有Duffing振子的特性，即對(duì)于微小擾動(dòng)的極其敏感性和對(duì)噪聲的免疫力[5-8]。鑒于此特性，對(duì)此系統(tǒng)做了實(shí)驗(yàn)分析和動(dòng)力學(xué)分析，而且上述兩大特性可以較為靈敏的將微弱信號(hào)從噪聲中提取出來(lái)，在抑制噪聲的同時(shí)，信號(hào)未被削弱，能有效降低噪聲干擾，進(jìn)行高靈敏度測(cè)量[9-11]。在混沌學(xué)中，一個(gè)非線性系統(tǒng)，其參數(shù)的變化有時(shí)會(huì)引起系統(tǒng)發(fā)生本質(zhì)變化。這種變化反映到系統(tǒng)相圖中是由混沌態(tài)變?yōu)橹芷趹B(tài)。本文通過(guò)數(shù)值仿真的方法，研究了此耦合非線性系統(tǒng)的這種本質(zhì)的變化，并將其應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)中，取得了一定的效果。

1 模型的建立

Duffing振子和Van der Pol振子組成非線性的耦合系統(tǒng)如下

(1)

式中，c表示Duffing振子的阻尼系數(shù)；k表示耦合系數(shù)；k的取值越大說(shuō)明耦合的強(qiáng)度越高，不同振子間的同步性越強(qiáng)，當(dāng)k=0時(shí)，兩個(gè)系統(tǒng)的耦合作用完全消失；ω表示角頻率；fcos(ωt)表示周期的驅(qū)動(dòng)力；μ表示VanderPol振子的阻尼系數(shù)；f為周期策動(dòng)力的幅值，當(dāng)其他參數(shù)固定的時(shí)候，系統(tǒng)隨著fcos(ωt)的幅值變化而有規(guī)律的變化。

由數(shù)學(xué)模型，可建立Duffing振子和Van der Pol振子耦合系統(tǒng)的仿真模型，如圖1所示。為了說(shuō)明耦合系統(tǒng)的工作原理取fcos (ωt)為周期策動(dòng)力，及系統(tǒng)頻率ω=1.0 rad/s,k=0.8,c=0.5,μ=0.8，隨著周期策動(dòng)力振幅f由0值逐漸增大，系統(tǒng)狀態(tài)出現(xiàn)有規(guī)律的變化：經(jīng)歷同宿軌跡，分岔軌跡，混沌軌跡和大尺度周期狀態(tài)。

圖1 Duffing振子和Van der Pol振子耦合系統(tǒng)的仿真模型

Duffing和Van der Pol耦合振子表現(xiàn)出豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性，當(dāng)策動(dòng)力幅值f比較小時(shí)，它表現(xiàn)為圍繞某一焦點(diǎn)做周期的運(yùn)動(dòng)(系統(tǒng)相圖如圖2(a)所示)，隨著策動(dòng)力幅值f的逐漸增大，當(dāng)超過(guò)某一閾值時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)(系統(tǒng)相圖如圖2(b)所示)，相軌跡局限在某一個(gè)范圍之內(nèi)，繼續(xù)增大激勵(lì)信號(hào)的幅值f,當(dāng)再次超過(guò)某個(gè)閾值之后，系統(tǒng)進(jìn)入到周期狀態(tài)(系統(tǒng)相圖如圖2(c)所示)，相軌跡不再雜亂無(wú)章，而是沿著固定的軌道重復(fù)下去。

圖2 不同激勵(lì)幅值的系統(tǒng)相圖

2 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

該實(shí)驗(yàn)用Matlab中的simulink模塊進(jìn)行仿真，對(duì)于耦合振子系統(tǒng)的狀態(tài)方程

(2)

經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)分析，耦合非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為如圖3所示，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)對(duì)微弱的信號(hào)很敏感，選擇其他的參數(shù)固定不變，當(dāng)策動(dòng)力幅值f1=0.342時(shí)，系統(tǒng)相圖表現(xiàn)為混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的龐加萊截面圖為混亂的點(diǎn)集如圖3(c)所示，當(dāng)策動(dòng)力幅值f2=0.343時(shí)，系統(tǒng)相圖表現(xiàn)為周期狀態(tài)，系統(tǒng)的龐加萊截面圖為只有3個(gè)點(diǎn)(周期3的運(yùn)動(dòng))如圖3(f)所示，由仿真實(shí)驗(yàn)看出此系統(tǒng)對(duì)于微小的擾動(dòng)是很敏感的。

圖3 不同激勵(lì)幅值下Duffing振子和Van der Pol振子耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

3 各個(gè)參數(shù)對(duì)耦合系統(tǒng)的影響

3.1 耦合系數(shù)對(duì)耦合系統(tǒng)的影響

對(duì)于上述Duffing振子和Van der pol振子耦合系統(tǒng)方程式(1)，其中k代表耦合系數(shù)，其余各參數(shù)取值分別為μ=0.8,c=0.5,f=0.343,ω=1.0 rad/s，當(dāng)k=0時(shí)，系統(tǒng)的耦合作用消失，隨著k的逐漸增大耦合作用越來(lái)越強(qiáng)，但是對(duì)于系統(tǒng)的狀態(tài)變化有了一定的影響，下面分別取k=0.1,0.5,1.0,1.5時(shí)，其它參數(shù)不變，對(duì)比下面一組系統(tǒng)的相圖(如圖4不同耦合系數(shù)取值下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為)，可以發(fā)現(xiàn)耦合系數(shù)在一定的范圍內(nèi)對(duì)于系統(tǒng)的影響不是很大，但是超過(guò)某個(gè)范圍時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生質(zhì)的變化(系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變，從周期狀態(tài)變?yōu)榛煦绲臓顟B(tài))，所以在選取耦合系數(shù)時(shí)對(duì)實(shí)驗(yàn)仿真也至關(guān)重要。

圖4 不同耦合系數(shù)系統(tǒng)的相圖

3.2 頻率ω對(duì)耦合系統(tǒng)的影響

ω代表周期策動(dòng)力的頻率，隨著周期策動(dòng)力的逐漸變化，系統(tǒng)的狀態(tài)也在發(fā)生著變化，選擇其它參數(shù)不變，即μ=0.8,c=0.8,f=0.343,k=0.5，選取ω=0.1,1.0,5.0,10.0時(shí)，分別觀察系統(tǒng)的相圖(如圖5)，仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)隨著頻率ω的改變，系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了很大的變化。

圖5 不同頻率取值下系統(tǒng)的相圖

綜上所述，各個(gè)參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)的影響還是比較大的，不合理參數(shù)的選取會(huì)對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生本質(zhì)的變化，所以在工程應(yīng)用中，對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)模型的應(yīng)用，有待于進(jìn)一步的探索，針對(duì)工程的需求，要合理地選擇參數(shù)進(jìn)行匹配，方可達(dá)到較好的效果。

4 Duffing和Van der Pol耦合振子在微弱信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用分析

本節(jié)根據(jù)以上耦合振子的性質(zhì)分析將其應(yīng)用于微弱信號(hào)的檢測(cè)，下面進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，根據(jù)上面建立的耦合系統(tǒng)模型，選取k=0.8,c=0.5,μ=0.8,并且由以上實(shí)驗(yàn)分析得到的臨界閾值f1=0.342，頻率為1.0 rad/s作為周期信號(hào)和幅值為0.01的高斯白噪聲信號(hào)一起加入進(jìn)行數(shù)值仿真。數(shù)學(xué)模型如下

(3)

式中，fcos (ωt)為內(nèi)置信號(hào)；acos (ωt)為待測(cè)的信號(hào)；σ(t)為高斯白噪聲。對(duì)上述構(gòu)造的系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)時(shí), 選擇從臨界周期到周期的軌跡相變?yōu)榕袛嘞到y(tǒng)輸入是否帶有諧波信號(hào)的依據(jù), 亦即f1，f2將設(shè)置在臨界分岔狀態(tài)附近。當(dāng)待測(cè)信號(hào)加入系統(tǒng)中經(jīng)過(guò)暫態(tài)過(guò)程以后，系統(tǒng)穩(wěn)定在某一運(yùn)動(dòng)形式上，計(jì)算機(jī)通過(guò)辨識(shí)系統(tǒng)容易得知系統(tǒng)是處于混沌還是大尺度周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由此，可判斷輸入是純?cè)肼曔€是混有微弱周期信號(hào)。

當(dāng)系統(tǒng)沒有待測(cè)的周期的信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)輸出的呈現(xiàn)如圖6(a)的混沌現(xiàn)象。當(dāng)系統(tǒng)有相同的待測(cè)周期信號(hào)acos (ωt)，其中a=0.001,輸入系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)輸出的呈現(xiàn)如圖6(b)的周期現(xiàn)象。

圖6 噪聲幅值為0.01時(shí)系統(tǒng)的相圖

5 結(jié)論

本文研究了Duffing振子和Van der Pol振子的耦合特性，耦合系統(tǒng)的各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，揭示了豐富的動(dòng)力學(xué)特性。本研究發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)仿真求解的過(guò)程中，一個(gè)非線性微分方程的解與系統(tǒng)參數(shù)有很大的關(guān)系，通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)，此系統(tǒng)具有混沌現(xiàn)象和周期現(xiàn)象。我們也借此特性應(yīng)用到微弱信號(hào)檢測(cè)方面，表現(xiàn)出了比以往傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法具有更好的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。但由于Duffing振子和Van der Pol振子耦合系統(tǒng)具有更多的復(fù)雜性，仍是今后探索的地方。

[1]Han Y J. Dynamics of coupled nonlinear oscillators of different attractors; van der Pol oscillator and damped Duffing oscillator[J].Journal of the Korean Physical Society, 2000,37(1)：3-9.

[2]李群宏，陸啟韶.耦合Van der Pol-Duffing 振子的動(dòng)力學(xué)分析[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2002,30(4):4-15.

[3]包剛，那仁滿都拉，圖布心，等.耦合混沌振子系統(tǒng)完全同步的動(dòng)力學(xué)行為[J].物理學(xué)報(bào), 2007,56(4):1971-04

[4]J Kengne， J C Chedjou， G Kenne，et al. Analog circuit implementation and synchronization of a system consisting of a van der Pol oscillator linearly coupled to a Duffing oscillator[J]. Nonlinear Dyn,2012,70:2163-2173

[5]催春夏，吳鋒民.控制周期激VanderPol-Duffing 振子的混沌[J].浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004, 32(3):6-18.

[6]李月，楊寶俊，石要武.色噪聲背景下微弱正弦信號(hào)的混沌檢測(cè)[J]. 物理學(xué)報(bào), 2003, 48(1): 19-21.

[7]Li Yue,Lu Peng,Yang Baojun,et al.Applying a special kind of two coupled Duffing oscillator system to detect periodic signals under the background of strong colored noise[J].Phys.2006; 55(4): 1672-1677

[8]聶春燕.混沌系統(tǒng)與弱信號(hào)檢測(cè)[M].北京：清華大學(xué)出版社,2009.

[9]代理，李健，鄭豫,等. 基于雙耦合Duffing 振子的隨機(jī)相位正弦信號(hào)檢測(cè)[J].成都信息工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23(1)：50-53.

[10]李亞峻,李月,盧金,等.微弱信號(hào)混沌檢測(cè)系統(tǒng)混沌閾值的確定[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào),2004, 22(2):106-110.

[11]汪金山，汪曉東，施曉鐘,等.基于Duffing混沌系統(tǒng)微弱信號(hào)檢測(cè)的數(shù)值分析[J].儀器儀表學(xué)報(bào),2005,26(8):33-34.

Analysis of Dynamical Behavior of a Van Der Pol Oscillator Coupled to a Duffing Oscillator

Wang Xiaodong1,2, Yang Shaopu1,2, Zhao Zhihong2

(1.School of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China;2.Key Laboratory of Traffic Safety and Control in Hebei, Shijiazhuang 050043, China)

For complex dynamic behaviors of coupling nonlinear chaotic oscillators, this paper makes a Van der Pol oscillator couple to a duffing oscillator and establishes a duffing oscillator and Van der Pol oscillator coupling model, which, compared with the single oscillator, shows rich dynamics. With Simulink simulation method, by coupling the phase diagrams and Poincaré maps of nonlinear chaotic oscillators under different amplitudes of the driving motivation, different coupling coefficients and different frequencies, this paper analyzes the dynamics of coupling nonlinear oscillators, and studies the coupling oscillator sensitivity to the weak periodic signals and the immunity of noise and has applied this model in weak signal detection.

chaos; coupling oscillators; weak signal detection; simulation

2014-09-03 責(zé)任編輯:劉憲福

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2015.04.10

王曉東(1989-)男，碩士研究生，研究方向?yàn)檐囕v的動(dòng)力學(xué)控制與行為研究。E-mail:1099982864@qq.com

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11172182、11227201、11472179)王曉東，楊紹普，趙志宏.Duffing振子和Van der Pol振子耦合的動(dòng)力學(xué)行為分析[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,28(4):53-57，80.

TH165+.3

A

2095-0373(2015)04-0053-06