王曉東， 楊紹普， 趙志宏

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，河北 石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點實驗室，河北 石家莊 050043)

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Duffing振子和Van der Pol振子耦合的動力學行為分析

王曉東1,2， 楊紹普1,2， 趙志宏2

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，河北 石家莊 050043；2.河北省交通安全與控制重點實驗室，河北 石家莊 050043)

針對耦合非線性混沌振子復雜的動力學行為，本文將Duffing振子和Van der Pol振子進行耦合，建立了Duffing振子和Van der Pol振子的耦合模型。與單個振子相比，耦合Duffing振子和Van der Pol振子表現(xiàn)出了更加豐富的動力學特性，采用Simulink仿真的方法，通過不同策動力幅值、不同耦合系數(shù)、不同頻率下耦合非線性振子的相圖和龐加萊截面圖分析了耦合非線性振子的動力學行為，研究了耦合振子對微弱周期信號的敏感性和對噪聲的免疫力，并將此模型應用于微弱信號檢測的研究中。

混沌；耦合振子；微弱信號檢測；仿真

0 引言

近年來, 對混沌的研究從低維時間系統(tǒng)轉向高維時空系統(tǒng)。將若干不同的非線性振子(如Van der Pol振子、Duffing振子等)相互耦合, 構成的耦合非線性振子系統(tǒng), 是研究時空混沌的較為理想的模型[1-2]。由于耦合系統(tǒng)兼有兩個振子的共同特性，會表現(xiàn)出更加復雜的動力學行為，所以耦合振子的動力學行為在理論和應用中具有重要意義, 因而日益受到重視。經(jīng)典的Duffing 及Van der Pol振子雖然在表達形式上很簡單，但是由于具有豐富的動力學特性而極具代表性，它們常常被用來模擬系統(tǒng)的非線性特性，比如用耦合非線性振子系統(tǒng)描述和處理生物學、化學、光學、凝聚態(tài)物理學等眾多領域的物理過程。各國學者對耦合振子系統(tǒng)的研究大致包括兩方面工作，即系統(tǒng)的動力學行為和系統(tǒng)的控制與同步[3]。長期的實驗發(fā)現(xiàn)，耦合振子和單個振子相比具有更加復雜的動力學行為。

本文研究了Duffing振子和Van der Pol振子相互耦合的動力學行為，對于這方面的文獻相對還比較少，文獻[4]依照它們各自的非線性特點耦合到一起，發(fā)現(xiàn)了一些特性，依然具有Duffing振子的特性，即對于微小擾動的極其敏感性和對噪聲的免疫力[5-8]。鑒于此特性，對此系統(tǒng)做了實驗分析和動力學分析，而且上述兩大特性可以較為靈敏的將微弱信號從噪聲中提取出來，在抑制噪聲的同時，信號未被削弱，能有效降低噪聲干擾，進行高靈敏度測量[9-11]。在混沌學中，一個非線性系統(tǒng)，其參數(shù)的變化有時會引起系統(tǒng)發(fā)生本質(zhì)變化。這種變化反映到系統(tǒng)相圖中是由混沌態(tài)變?yōu)橹芷趹B(tài)。本文通過數(shù)值仿真的方法，研究了此耦合非線性系統(tǒng)的這種本質(zhì)的變化，并將其應用于微弱信號檢測中，取得了一定的效果。

1 模型的建立

Duffing振子和Van der Pol振子組成非線性的耦合系統(tǒng)如下

(1)

式中，c表示Duffing振子的阻尼系數(shù)；k表示耦合系數(shù)；k的取值越大說明耦合的強度越高，不同振子間的同步性越強，當k=0時，兩個系統(tǒng)的耦合作用完全消失；ω表示角頻率；fcos(ωt)表示周期的驅(qū)動力；μ表示VanderPol振子的阻尼系數(shù)；f為周期策動力的幅值，當其他參數(shù)固定的時候，系統(tǒng)隨著fcos(ωt)的幅值變化而有規(guī)律的變化。

由數(shù)學模型，可建立Duffing振子和Van der Pol振子耦合系統(tǒng)的仿真模型，如圖1所示。為了說明耦合系統(tǒng)的工作原理取fcos (ωt)為周期策動力，及系統(tǒng)頻率ω=1.0 rad/s,k=0.8,c=0.5,μ=0.8，隨著周期策動力振幅f由0值逐漸增大，系統(tǒng)狀態(tài)出現(xiàn)有規(guī)律的變化：經(jīng)歷同宿軌跡，分岔軌跡，混沌軌跡和大尺度周期狀態(tài)。

圖1 Duffing振子和Van der Pol振子耦合系統(tǒng)的仿真模型

Duffing和Van der Pol耦合振子表現(xiàn)出豐富的非線性動力學特性，當策動力幅值f比較小時，它表現(xiàn)為圍繞某一焦點做周期的運動(系統(tǒng)相圖如圖2(a)所示)，隨著策動力幅值f的逐漸增大，當超過某一閾值時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)(系統(tǒng)相圖如圖2(b)所示)，相軌跡局限在某一個范圍之內(nèi)，繼續(xù)增大激勵信號的幅值f,當再次超過某個閾值之后，系統(tǒng)進入到周期狀態(tài)(系統(tǒng)相圖如圖2(c)所示)，相軌跡不再雜亂無章，而是沿著固定的軌道重復下去。

圖2 不同激勵幅值的系統(tǒng)相圖

2 數(shù)值仿真實驗

該實驗用Matlab中的simulink模塊進行仿真，對于耦合振子系統(tǒng)的狀態(tài)方程

(2)

經(jīng)過大量實驗分析，耦合非線性系統(tǒng)動力學行為如圖3所示，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)對微弱的信號很敏感，選擇其他的參數(shù)固定不變，當策動力幅值f1=0.342時，系統(tǒng)相圖表現(xiàn)為混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的龐加萊截面圖為混亂的點集如圖3(c)所示，當策動力幅值f2=0.343時，系統(tǒng)相圖表現(xiàn)為周期狀態(tài)，系統(tǒng)的龐加萊截面圖為只有3個點(周期3的運動)如圖3(f)所示，由仿真實驗看出此系統(tǒng)對于微小的擾動是很敏感的。

圖3 不同激勵幅值下Duffing振子和Van der Pol振子耦合系統(tǒng)的動力學行為

3 各個參數(shù)對耦合系統(tǒng)的影響

3.1 耦合系數(shù)對耦合系統(tǒng)的影響

對于上述Duffing振子和Van der pol振子耦合系統(tǒng)方程式(1)，其中k代表耦合系數(shù)，其余各參數(shù)取值分別為μ=0.8,c=0.5,f=0.343,ω=1.0 rad/s，當k=0時，系統(tǒng)的耦合作用消失，隨著k的逐漸增大耦合作用越來越強，但是對于系統(tǒng)的狀態(tài)變化有了一定的影響，下面分別取k=0.1,0.5,1.0,1.5時，其它參數(shù)不變，對比下面一組系統(tǒng)的相圖(如圖4不同耦合系數(shù)取值下系統(tǒng)的動力學行為)，可以發(fā)現(xiàn)耦合系數(shù)在一定的范圍內(nèi)對于系統(tǒng)的影響不是很大，但是超過某個范圍時，系統(tǒng)將會發(fā)生質(zhì)的變化(系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生改變，從周期狀態(tài)變?yōu)榛煦绲臓顟B(tài))，所以在選取耦合系數(shù)時對實驗仿真也至關重要。

圖4 不同耦合系數(shù)系統(tǒng)的相圖

3.2 頻率ω對耦合系統(tǒng)的影響

ω代表周期策動力的頻率，隨著周期策動力的逐漸變化，系統(tǒng)的狀態(tài)也在發(fā)生著變化，選擇其它參數(shù)不變，即μ=0.8,c=0.8,f=0.343,k=0.5，選取ω=0.1,1.0,5.0,10.0時，分別觀察系統(tǒng)的相圖(如圖5)，仿真實驗發(fā)現(xiàn)隨著頻率ω的改變，系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生了很大的變化。

圖5 不同頻率取值下系統(tǒng)的相圖

綜上所述，各個參數(shù)對于系統(tǒng)的影響還是比較大的，不合理參數(shù)的選取會對系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生本質(zhì)的變化，所以在工程應用中，對于這個系統(tǒng)模型的應用，有待于進一步的探索，針對工程的需求，要合理地選擇參數(shù)進行匹配，方可達到較好的效果。

4 Duffing和Van der Pol耦合振子在微弱信號檢測中的應用分析

本節(jié)根據(jù)以上耦合振子的性質(zhì)分析將其應用于微弱信號的檢測，下面進行數(shù)值仿真實驗，根據(jù)上面建立的耦合系統(tǒng)模型，選取k=0.8,c=0.5,μ=0.8,并且由以上實驗分析得到的臨界閾值f1=0.342，頻率為1.0 rad/s作為周期信號和幅值為0.01的高斯白噪聲信號一起加入進行數(shù)值仿真。數(shù)學模型如下

(3)

式中，fcos (ωt)為內(nèi)置信號；acos (ωt)為待測的信號；σ(t)為高斯白噪聲。對上述構造的系統(tǒng)進行仿真實驗時, 選擇從臨界周期到周期的軌跡相變?yōu)榕袛嘞到y(tǒng)輸入是否帶有諧波信號的依據(jù), 亦即f1，f2將設置在臨界分岔狀態(tài)附近。當待測信號加入系統(tǒng)中經(jīng)過暫態(tài)過程以后，系統(tǒng)穩(wěn)定在某一運動形式上，計算機通過辨識系統(tǒng)容易得知系統(tǒng)是處于混沌還是大尺度周期運動狀態(tài)。由此，可判斷輸入是純噪聲還是混有微弱周期信號。

當系統(tǒng)沒有待測的周期的信號輸入時，系統(tǒng)輸出的呈現(xiàn)如圖6(a)的混沌現(xiàn)象。當系統(tǒng)有相同的待測周期信號acos (ωt)，其中a=0.001,輸入系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出的呈現(xiàn)如圖6(b)的周期現(xiàn)象。

圖6 噪聲幅值為0.01時系統(tǒng)的相圖

5 結論

本文研究了Duffing振子和Van der Pol振子的耦合特性，耦合系統(tǒng)的各個參數(shù)對系統(tǒng)動力學行為的影響，揭示了豐富的動力學特性。本研究發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)仿真求解的過程中，一個非線性微分方程的解與系統(tǒng)參數(shù)有很大的關系，通過仿真發(fā)現(xiàn)，此系統(tǒng)具有混沌現(xiàn)象和周期現(xiàn)象。我們也借此特性應用到微弱信號檢測方面，表現(xiàn)出了比以往傳統(tǒng)的微弱信號檢測方法具有更好的穩(wěn)定性和準確性。但由于Duffing振子和Van der Pol振子耦合系統(tǒng)具有更多的復雜性，仍是今后探索的地方。

[1]Han Y J. Dynamics of coupled nonlinear oscillators of different attractors; van der Pol oscillator and damped Duffing oscillator[J].Journal of the Korean Physical Society, 2000,37(1)：3-9.

[2]李群宏，陸啟韶.耦合Van der Pol-Duffing 振子的動力學分析[J].河南師范大學學報，2002,30(4):4-15.

[3]包剛，那仁滿都拉，圖布心，等.耦合混沌振子系統(tǒng)完全同步的動力學行為[J].物理學報, 2007,56(4):1971-04

[4]J Kengne， J C Chedjou， G Kenne，et al. Analog circuit implementation and synchronization of a system consisting of a van der Pol oscillator linearly coupled to a Duffing oscillator[J]. Nonlinear Dyn,2012,70:2163-2173

[5]催春夏，吳鋒民.控制周期激VanderPol-Duffing 振子的混沌[J].浙江工業(yè)大學學報，2004, 32(3):6-18.

[6]李月，楊寶俊，石要武.色噪聲背景下微弱正弦信號的混沌檢測[J]. 物理學報, 2003, 48(1): 19-21.

[7]Li Yue,Lu Peng,Yang Baojun,et al.Applying a special kind of two coupled Duffing oscillator system to detect periodic signals under the background of strong colored noise[J].Phys.2006; 55(4): 1672-1677

[8]聶春燕.混沌系統(tǒng)與弱信號檢測[M].北京：清華大學出版社,2009.

[9]代理，李健，鄭豫,等. 基于雙耦合Duffing 振子的隨機相位正弦信號檢測[J].成都信息工程學院學報，2008，23(1)：50-53.

[10]李亞峻,李月,盧金,等.微弱信號混沌檢測系統(tǒng)混沌閾值的確定[J].吉林大學學報,2004, 22(2):106-110.

[11]汪金山，汪曉東，施曉鐘,等.基于Duffing混沌系統(tǒng)微弱信號檢測的數(shù)值分析[J].儀器儀表學報,2005,26(8):33-34.

Analysis of Dynamical Behavior of a Van Der Pol Oscillator Coupled to a Duffing Oscillator

Wang Xiaodong1,2, Yang Shaopu1,2, Zhao Zhihong2

(1.School of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China;2.Key Laboratory of Traffic Safety and Control in Hebei, Shijiazhuang 050043, China)

For complex dynamic behaviors of coupling nonlinear chaotic oscillators, this paper makes a Van der Pol oscillator couple to a duffing oscillator and establishes a duffing oscillator and Van der Pol oscillator coupling model, which, compared with the single oscillator, shows rich dynamics. With Simulink simulation method, by coupling the phase diagrams and Poincaré maps of nonlinear chaotic oscillators under different amplitudes of the driving motivation, different coupling coefficients and different frequencies, this paper analyzes the dynamics of coupling nonlinear oscillators, and studies the coupling oscillator sensitivity to the weak periodic signals and the immunity of noise and has applied this model in weak signal detection.

chaos; coupling oscillators; weak signal detection; simulation

2014-09-03 責任編輯:劉憲福

10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2015.04.10

王曉東(1989-)男，碩士研究生，研究方向為車輛的動力學控制與行為研究。E-mail:1099982864@qq.com

國家自然科學基金項目(11172182、11227201、11472179)王曉東，楊紹普，趙志宏.Duffing振子和Van der Pol振子耦合的動力學行為分析[J].石家莊鐵道大學學報:自然科學版,2015,28(4):53-57，80.

TH165+.3

A

2095-0373(2015)04-0053-06